福建宁德市第三教联体2026-2027学年度高二上学期阶段性训练数学试题

2026—2027 学年第一学期阶段性训练 高二数学 （训练时间：120 分钟，训练总分：150 分） 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本题包括 8 小题，每小题 5 分，合计 40 分，每小题只有一个选项是符合题目要求的。） 1. 直线 的倾斜角是（　） A. B. C. D. 2. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （　） A. 3 B. 5 C. 11 D. 13 3. 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中不放回地依次抽出 2 张，每次抽取 1 张，设第一次抽到卡片的号码为 ，第二次抽到卡片的号码为 ，则""的概率为（　） A. B. C. D. 4. 直线 和直线 之间的距离是（　） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知 ， 互斥， 与 是对立事件，若 ，，则 （　） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 6. 已知等比数列 中，， 分别是 的两根，则 （　） A. B. C. D. 7. 近年来，我国大力推进绿色能源转型，分布式光伏电站建设成为实现"双碳"目标的重要举措。为优化能源结构、提升清洁能源供给能力，某地区计划在 2026 年集中新安装 3 万块分布式光伏板，后续依托政策扶持与市场需求，每年新安装的光伏板数量比上一年增加 20%。按照这一稳定发展趋势，若从 2026 年起累计计算，到第 年（）时，该地区新安装的光伏板总数量超过 45 万块，则 （　）（参考数据：，，） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币 次，记事件 = " 次中既有正面朝上又有反面朝上"， = " 次中至多有一次反面朝上"，下列说法正确的是（　） A. 当 时， B. 当 时，事件 和事件 独立 C. 当 时，事件 和事件 互斥 D. 当 时，事件 和事件 独立 二、多选题（本题包括 3 小题，每小题 6 分，合计 18 分，每小题有多个选项符合题意。错选不得分，部分选对得部分分。） 9. 已知直线 ，，下列说法正确的是（　） A. 直线 的方向向量为 B. 直线 的倾斜角为 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 下列说法正确的有（　） A. " 与 对立"是" 与 互斥"的充分不必要条件 B. ""是" 与 互为对立事件"的充分不必要条件 C. ""是" 与 相互独立"的充分必要条件 D. ""是"、、 三个事件两两独立"的充分必要条件 11. 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则下列说法正确的是（　） A. B. C. 使得 成立的最大自然数 D. 使得 成立的最小自然数 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（本题包括 3 小题，每小题 5 分，合计 15 分。） 12. 若 是等差数列 的前 项和，且 ，则 ________。 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ________。 14. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了 2 个球的概率为________。 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。） 15.（13 分）已知 的三个顶点坐标分别是 ，，。 (1) 设 边的中点为点 ，试求 边上的中线 所在的直线方程； (2) 试判断 的形状，求 的面积。 16.（15 分）校乒乓球队有 3 名男队员，分别记为 、、，3 名女队员，分别记为 、、，现从中抽取 2 名运动员参加测试。 (1) 写出该试验的样本空间 ，并求事件 = "抽取到的 2 人全是女队员"的概率； (2) 若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球测试，甲发球成功的概率为 0.6，乙发球成功的概率为 0.7，两人发球互不影响。求： ① 甲、乙两人全部发球成功的概率； ② 甲、乙至少有一人发球成功的概率。 17.（15 分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，，等差数列 满足 ，。 (1) 求数列 、 的通项公式； (2) 记 ，数列 的前 项和为 ，求 。 18.（17 分）已知直线 (1) 证明：直线过定点； (2) 已知点 ，，若直线 与线段 有交点，求直线 斜率 的取值范围； (3) 若直线 交 轴的负半轴于 点，交 轴的正半轴于点 ，其中 为坐标原点，求 的最小值，并求此时直线 的一般方程。 19.（17 分）在《四元玉鉴》中数学家们曾研究过高阶等差数列的问题，我们把公差不为 0 的等差数列 称为"一阶等差数列"，记 ，若 为等差数列，则称 是"二阶等差数列"。 (1) 若 ，判断 是否为二阶等差数列？并说明理由； (2) 已知二阶等差数列 为递增数列且满足 ，，。 (i) 求数列 的通项公式； (ii) 若 ，记数列 的前 项和为 ，使得 ， 成立，求实数 的取值范围。 高二数学　— 1 —（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期阶段性训练 高二数学 参考答案 一、 单选题+多选题 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 11 答案 B 0 ACD AC BCD 7.C 【详解】从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列{an}(单位：万个)， 则数列{an}是首项为3，公比为1.2的等比数列， 设数列{an}的前n项和为Sn,则S, 31-1.2）-1512-15 1-1.2 令Sn>45,即151.2m-15>45 (1.2ym>4 故m>1og124 :1og:4=2g2-060=75,m>75 1g1.20.08 故n的最小值为8. 8.D 【详】对于A当n=2时，)分2行而P@-1P),饭A 错误： 对打B当n2时，P:}因P④8令H,同者不立，数8 133 错误； 对千C,当n=3时，因为P(4)令0，所以事件A与事件8不互斥，故D错误。 对于0，当3味，p4训=行6子P)好分子号 222 2 而=好⅓ =8月4(，即事件A与事件B相互独立，故D正确： 11.BCD 【详解】S1<Sg ∴.S11-Sg=4o+41<0 410>0 .411<0 ,·.d<0 故选项A错误； 试卷第1页（共8页） .a10+411<0,410>0 .ao<au 故选项B正确： 410>0 ∴.24o>0即4+4g>0 .S1g= 194+>0 2 40+41<0即41+☑20<0 .S20= 20(a+a2<0 2 使得S,n>0成立的最大自然数n=l9,故选项C正确： ao>0,d<0,a41<0 ∴.可得：数列{a}的前10项为正，从第11项开始为负 .T10=4142…40>0.T1=4142…40411<0 .使得T<0成立的最小自然数n=11 故选项D正确 二、填空题 12.5 13.120 14号 【详解】设4，分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，k=L23,由慰意得P4)P8,)} 且各次投篮结果相互独立。记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,事件D包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为ABA,B,; 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为AB,A,B,A: 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： P(D)=P(4B4B)+P(4B4B4P(A)P(B)P()P(B.)+P(4)P(BP()P(B.)P(A) -1×2x1×1+1x2121 232×323232 一X一十一×一×一× 111 =18+189 四.解答题 15.(13分)己知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,一1)，B(-1,3),C(3,0). (1)设AB边的中点为点D,试求AB边上的中线CD所在的直线方程： (2)试判断△ABC的形状，求△ABC的面积. 【解析】(1)，A(1,-1),B(-1,3) 试卷第2页（共8页） AB的中点D(0,1)… .2分 .C(3,0) ∴CD所在的直线方程为：+=1 即x+3y-3=0 5分 (2)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证. -10 123 法-：“4B=V(-1-)2+[3-(-1]=2W5,4C=V3-1)2+[0-(-1]=V5, BC=V(0-3)2+3-(-10]2=5… 8分 ∴.AB'+AC?=BC?,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 10分 于是|AB=2√5，|4C=V5 又∠=0,8=}l9G=3×25×V5=5. 13分 法=：知-39-2知0-号 _0-(-1)_1 -1-1 7 分 .kg·k=-1,.AB⊥AC. 9分 .△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.10分 于是|AB=2V5,14C=V5. 又：∠490,3=8l-7×25×5=5.13分 16.(15分)校乒乓球队有3名男队员，分别记为A、B、C,3名女队员，分别记为a、b、c,现从 中抽取2名运动员参加测试， (1)写出该试验的样本空间2，并求事件E=“抽取到的2人全是女队员”的概率： (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球测试，甲发球成功的概率为0.6，乙发球成功的 概率为0.7，两人发球互不影响.求： 试卷第3页（共8页） ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 解析：（1)样本空间 2-{(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,a,(B,c),(B,B)(C,d(C,b),(C,c(a,b)(a,c(b,c} ,共15个样本点（如果样本点漏写1-2个，酌情给1分）… ..3分 其中事件E={(a,b),（a,c),(b,c)》, 4分 故抽取到的2人全是女队员的概率为：P(B)=(四_3-1 2(2)155… 6分 (2)设“甲发球成功”为事件M“乙发球成功”为事件N 由题意知M与N相互独立，且P(M)=0.6,P(N)=0.7.。 7分 ①甲、乙两人全部发球成功的事件M,N同时发生，由独立事件乘法公式得： P(MN）=P(M）-P(N=0.6×0.7=0.42.10分 ②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：P(N)=P(M)P(N)=(（1-0.6)(1-0.7)=0.12,13分 故至少一人发球成功的概率为：P=1-P(W)=1-0.12=0.88.15分 17.(15分)已知数列{a}的前n项和为S%,且满足4=2，Sn+2=a+1,等差数列色}满足b=7, b+b6=24. (1)求数列{a}、色}的通项公式： (2)记cn=an+(-1)bn,数列{cn}的前n项和为Tm,求T26 解析：(1)当n=1时，4，=S,+2=4 1分 当n≥2时，a4n=Sn-S-1=a+1-2-a,+2=a+1-an 可得： #1=2 ……3分 试卷第4页（共8页） 4=4=2 又 (注：未验证扣1分) a12 数列{☑n}是以2为首项，2为公比的等比数列…4分 .an=4q-1=22m-1=2n 5分 也}是等差数列 可得 b3=b+2d=7 b+b。=2b+9d=241 6分 [b=3 解得： 7分 d=2 .b,=b,+(n-1H=2n+1 8分 (2)由(1)得cm=a+(-1.bn=2”+(1.(2n+1）9分 .T06=b+b+b+b4++b5+b026 =2-3+22+5+23-7+24+9+…+22025-4051+22026+405310分 =2'+22+23+24+.+2205+22026+(-3+5-7+9+..-4051+4053) 21-200+2. 2026 14分 1-2 2 =22027+2024 15分 18.(17分)己知直线1：x-y+2m+1=0. (1)证明：直线过定点： (2)已知点M(1,2),N(-3,2),若直线与线段MN有交点，求直线l斜率k的取值范围： (3)若直线1交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,其中0为坐标原点，求OAOB到的 最小值，并求此时直线/的一般方程。 【详解】(1)证明：：x-y+2+1=0 .x+2)-y+1=0 .1分 试卷第5页（共8页） x+2=0 x=-2 由 -y+1=0 解得： y=1 3分 .直线1过定点(2,1) 4分 (2)由①可得：直线过定点(-2,1)，记为点P k影-1-21 -2-13 f12 -2+3 =-16分 .直线1与线段N有交点 可得： -威 8分 故k的值流同：（小 9分 (3)由题可知：直线1的斜率存在 1+2m 故得：A 0 B(0,1+2m). m 10分 1+2m<0 依题意得 m 得m>0. 11分 1+2m>0, .O0= 2m+1 2m+1 1 12分 =2m+1} 13分 n 4m2+42+1 m =41+1+4 m 1 ≥24mm+4 15分 m =2.2+4=8 1 当且仅当41=二，即m=。时等号成立， 2 所以当m=，时，O4OB取得最小值，且o4OBm=8, 2 16分 此时直线/的方程为x-2y+4=0. 17分 试卷第6页（共8页） 19.(17分)在《四元玉鉴》中数学家们曾研究过高阶等差数列的问题，我们把公差不为0的等差 数列{a}称为“一阶等差数列”，记△a,=a+1-a,若△a}为等差数列，则称{a}是“二阶等 差数列” (1)若a,=2n+n-3,判断{a,}是否为二阶等差数列？并说明理由： (2)己知二阶等差数列{a}为递增数列且满足4=2，a+43=18,4·43=72. (i)求数列a}的通项公式： (ⅱ)若bn= △an+1 3”.4 ,记数列bn}的前n项和为Sn,使得n∈N,2+2≥2Sn成立，求实数2 的取值范围。 解析：(1)△，=a1-a.=2n+1+(+1-3-2n2-n+3=4n+31分 .△a+1-△a=4n+1)+3-4n-3=4 2分 △41=7 ∴.{△an}是以7为首项，4为公差的等差数列： .3分 故{a}为二阶等差数列 4分 a2+43=18 43=6a2=12 (i)由 可得： 或 a2·43=72 4=12 a3=6 数列a,}为递增数列， ∴.a2=6,a3=12 …5分 .△a1=42-41=4,.△43=43-43=6 公差d=△a,-△a=2 ∴.△an=△4+(n-1d=2n+2 6分 △a,=a+1-a=2n+2=2n+1) 7分 .当n≥2时，a-a-1=2n 8分 0m-1-a-2=2(n-1) 试卷第7页（共8页） a2-41=2×2 将上式相加得：a,-a=22+3++m=2.m+2n-1-=m+2Xm-) 2 ☑1=2 .an=n+1) 10分 当n=1时，41=1×2=2满足题意 ∴.an=n+1 11分 (ii)因为neW,22+2≥2Sn, 所以2+≥(2Sn)m 12分 6,-+1-2n+3 1 3".a3”.nn+1)n-3▣n+1-3 13分 11,11 1 8印2+2333 1 fn-3-n+1-3w .14分 =1- (n+13” 15分 .neN' .0< n+1-31 ..S<1 .16分 故可得：22+1≥2 解得：1≤-2或2≥1 所以实数入的取值范围为(0，-2U+0) 17分 试卷第8页（共8页）