精品解析：上海市黄浦区2026-2027学年七年级数学第一学期期中考试

七年级数学学科 （满分100分，考试时间90分钟） 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知那么、的取值依次为（ ） A. 2，3 B. 4，3 C. 1，3 D. 4，1 4. 根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A. B. C. D. 5. 若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（ ） A. 一定是关于x的十二次整式 B. 一定是关于x的三十五次整式 C. 一定是关于x的低于十二次的整式 D. 无法确定其关于x的次数 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 单项式的系数是______． 8. 将整式按的降幂排列为_____． 9. 已知单项式与的和是单项式，那么___________ 10. 计算：_____． 11. 计算的结果等于_______． 12. 已知，，那么__________． 13. 因式分解：______． 14. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 15. 阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 16. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时，________． 17. 如果关于的方程无解，则______． 18. 有张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，则小长方形的长与宽的比__________． 三、简答题（每题5分，共30分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 因式分解： 22. 因式分解： 23. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 24. 解方程：. 四、解答题（第25题6分，26～27每题7分，第28题8分，共28分） 25. 先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 26. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 27. 赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到； （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： （1）的值＝ ； （2）的值＝ ； （3）求的值． 28. 定义：如果分式A与分式B的差等于它们的积，即，那么称分式B是分式A的“友好分式”，如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）判断是否是的“友好分式”，并说明理由． （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为N，则， 所以，所以． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，并直接写出分式（a、b为常数）的“友好分式” ； ②已知（m、n为常数）是的“友好分式”，那么的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科 （满分100分，考试时间90分钟） 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算法则的运用，关键是掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及零指数幂与负整理指数幂运算法则． 利用幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、零指数幂与负整理指数幂的计算法则逐一计算分析即可． 【详解】解：、，原计算错误，故选项不符合题意； 、和不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； 、，原计算正确，故选项符合题意； D、，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. 仅提取第一项的常数公因式，未对多项式的整体进行分解，不符合因式分解的核心要求，不属于因式分解； B. 左边是单项式，因式分解的对象是多项式，不属于因式分解； C. 左边是整式的积，右边是多项式，是整式乘法的变形，不属于因式分解； D. 左边是多项式，右边是两个一次整式的积的形式，符合因式分解的定义，属于因式分解． 3. 已知那么、的取值依次为（ ） A. 2，3 B. 4，3 C. 1，3 D. 4，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 4. 根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 5. 若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（ ） A. 一定是关于x的十二次整式 B. 一定是关于x的三十五次整式 C. 一定是关于x的低于十二次的整式 D. 无法确定其关于x的次数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式的运算法则可进行求解． 【详解】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则一定是关于x的十二次整式； 故选A． 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 单项式的系数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数和次数的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义．根据单项式的定义即可得答案． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为： 8. 将整式按的降幂排列为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：按x的降幂排列：． 故答案为：． 9. 已知单项式与的和是单项式，那么___________ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义；单项式与的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项能够合并，同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同，据此求解即可. 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得， ∴. 故答案为：10. 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 11. 计算的结果等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，先计算出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 14. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 15. 阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 16. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是理解题意正确计算．先将可得，再进行化简，最后将，代入求值即可． 【详解】解： 将代入得：， 故答案为：． 17. 如果关于的方程无解，则______． 【答案】或0##或 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， 即， 整理得， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解； 综上，或 故答案为：或 18. 有张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，则小长方形的长与宽的比__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ， ， 故答案为：． 三、简答题（每题5分，共30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法计算求解即可． 【详解】解： 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 22. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 23. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【解析】 【分析】先将负整数指数幂转化为正指数的分式形式，统一分式分母后通分合并，约去公因式得到最简结果． 【详解】解： 原式 ． 24. 解方程：. 【答案】x=3. 【解析】 【详解】分析：根据分式方程的解法，先把分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验后确定是否为分式方程的解即可. 详解： 1-3（x-2）=1-x 解得x=3 检验：把x=3代入x-2=3-2=1≠0， 所以x=3时原分式方程的解 点睛：此题主要考查了分式方程的解法，通过去分母把方程化为整式方程是解题关键，注意解分式方程一定要检验，容易遗忘漏掉. 四、解答题（第25题6分，26～27每题7分，第28题8分，共28分） 25. 先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 26. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际应用问题，设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则实际平均每小时行驶千米，根据时间关系列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则 ， 解得：， 经检验符合题意； 答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 27. 赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到； （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： （1）的值＝ ； （2）的值＝ ； （3）求的值． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据所给等式即可求出的值； （2）令，根据所给等式即可求出的值； （3）令，根据所给等式即可求出的值，再结合（1）（2）所求可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴得， ∴． 28. 定义：如果分式A与分式B的差等于它们的积，即，那么称分式B是分式A的“友好分式”，如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）判断是否是的“友好分式”，并说明理由． （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为N，则， 所以，所以． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，并直接写出分式（a、b为常数）的“友好分式” ； ②已知（m、n为常数）是的“友好分式”，那么的值为 ． 【答案】（1）是的“友好分式”，理由是： ∵ ∴是的“友好分式”； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）设的“友好分式”为N，则，进一步求解即可； （3）①根据题意写出规律即可；②根据规律得到的“友好分式”为，则，列出关于的一元二次方程进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的“友好分式”为N，则， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：①设的“友好分式”为N，则， 所以， 所以． ∴分式（a、b为常数）的“友好分式”为； ②由题意可得，的“友好分式”为， ∵是的“友好分式”， ∴ ∴ 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $