内蒙古包头市景泰高级中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试题

2026-2027年第一学期包头景泰高级中学数学期中考试试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。 1．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 2在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 3已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣1＝0．若l1⊥l2，则a＝（　　） A．1 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣1 6在三棱锥中，是平面内一点，且，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 7在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（　　） A． B． C． D． 8过定点A的直线（a+1）x﹣y+2＝0与过定点B的直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（　　） A．4 B． C．2 D． 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。 9若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别是k1，k2，则下列命题正确的是（　　） A．若k1＝k2，则α1＝α2 B．若k1＜k2，则α1＜α2 C．若α1＜α2，则k1＜k2 D．若k2＜0＜k1，则α1＜90°＜α2 10直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 11 已知正方体，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知，，，若，，，四点共面，则=______ 13已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 14 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为_______ 4、 解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 已知，.(1)求的值； (2)已知，若，求的值. 16求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） (1)经过，两点． (2)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 17如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 18在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 19如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上（异于端点）． （1）若点是棱的中点，求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年第一学期包头景泰高级中学数学期中考试试卷解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。 1．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 答：B 解：这段时间内至少1人回老家过节的概率为，故选B。 2在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 答：A 解：根据题意，=，选A。 3已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 答：B 解：根据题意，，则点的坐标是。 4 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 答：A 解：根据题意，向量在向量上的投影向量，对应的坐标为，选A。 5设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣1＝0．若l1⊥l2，则a＝（　　） A．1 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣1 答：C 解：因为l1⊥l2，则a+a（a﹣2）＝a（a﹣1）＝0，解得a＝0或1．故选：C． 6在三棱锥中，是平面内一点，且，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 答：D 解：根据题意可知，在三棱锥中，是平面内一点， 根据空间向量线性运算法则可知，， 所以，即， 又点是平面内一点， 所以，解得．故选：D． 7在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（　　） A． B． C． D． 答：C 解；设点到平面的距离为， 在棱长为4的正方体中，， 由等体积法可知，即， 解得．故选：． 8过定点A的直线（a+1）x﹣y+2＝0与过定点B的直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（　　） A．4 B． C．2 D． 答：B 解：直线（a+1）x﹣y+2＝0化为y＝（a+1）x+2，可知定点A（0，2）， 动直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0化为a（y﹣5）+x+y﹣2＝0，令， 解得y＝5，x＝﹣3，可知定点B（﹣3，5）， 又（a+1）×1﹣1×（a+1）＝0， 所以直线（a+1）x﹣y+2＝0与直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0垂直，P为交点， ∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝（0+3）2+（2﹣5）2＝18， ∴，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时，等号成立， 即△PAB面积的最大值为．故选：B． 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。 9若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别是k1，k2，则下列命题正确的是（　　） A．若k1＝k2，则α1＝α2 B．若k1＜k2，则α1＜α2 C．若α1＜α2，则k1＜k2 D．若k2＜0＜k1，则α1＜90°＜α2 答：AD 解：A：由k1＝k2表明斜率存在，则tanα1＝tanα2，由正切函数在[0°，90°）∪（90°，180°）上，倾斜角和斜率一一对应，故α1＝α2，所以A对； B：当直线l2的倾斜角为锐角，而直线l1的倾斜角为钝角时，满足k1＜k2，但不满足α1＜α2，所以B错； C：由正切函数的图象知：当时，不满足k1＜k2；所以C错； D：因为k2＜0＜k1，可知0°＜α1＜90°，90°＜α2＜180°，所以α1＜90°＜α2，所以D对． 故选：AD． 10直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 答：AC 解：直线的一个方向向量为，， 对于，，故可为平面的法向量； 对于，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于，，故可为平面的法向量； 对于，若，则，无解，故不为平面的法向量．故选：． 11 已知正方体，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等 答：BC 解：如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系： 设正方体棱长为2，则， 故 ,由于，故不垂直，即直线与直线不垂直，A错误；又 ,所以,, ，设平面的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，即 ，故 ，而平面，∴直线与平面平行，故B正确； ,设平面的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，即 ，因为，故平面与平面垂直，C正确；,则点C到平面的距离为 ，,则点到平面的距离为,即点C和点到平面的距离不相等，D错误，故选：。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知，，，若，，，四点共面，则=______ 解：因为，，，四点共面，所以，，共面，不妨设，所以，解得． 13已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 解：由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足，即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 14 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为_______ 解：如图， ，且，， 所以 4、 解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 已知，.(1)求的值； (2)已知，若，求的值. 解：（1） . （2）， ， 由于，则，解得，符合题意，故的值为 16求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） (1)经过，两点． (2)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 解：（1）因为直线经过，两点，由两点式可得直线方程为：， 整理得：. （2）若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意； 若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为， 则直线方程为， 因为直线过点，所以.所以直线方程为：. 综上，所求直线方程为：或. 17如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 解：（1）由题意知 ， +4 ， 即线段的长为. （2）因为，所以 ， 又 . +13 所以， 即直线与所成角的余弦值为 18在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 解：(1)以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为，各点坐标： +2 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：，，即. （2）设直线与平面所成角，，是平面法向量， 平面的向量：， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， . （3）平面是底面，法向量可取， 平面：， 向量，设平面法向量， ，又第一式：，代入第二式： ，令，取， ，锐二面角余弦值为. 19如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上（异于端点）． （1）若点是棱的中点，求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 解：（1）证明：由题意得，正四棱锥所有棱长均为， 因为是的中点，故，，又，且，平面， 故平面，又平面，故平面平面； （2）如图，连接，易知，，两两垂直， 以为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，1，，，0，，，0，， 所以， 设，则， 所以，0，，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量为， 易知平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 即，解得或（不合题意，舍去）， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $