精品解析：陕西榆林市榆阳区2026～2027学年度第一学期期中素养测评九年级数学

2026～2027学年度第一学期期中素养测评 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 已知某长方体的体积为，则该长方体的高（单位：）与底面积（单位：）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个关于的一元二次方程，且其中一个根是，则这个一元二次方程可以是：_______________．（只写一个） 10. 已知点在反比例函数的图象上，则_________ 11. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，某桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于轴对称．已知左侧的抛物线可以用表示，则两条抛物线最低点之间的距离是____________． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在轴负半轴上，，连接，以、为邻边作，若的面积为，点的纵坐标为，则的值为_______________． 14. 如图，菱形的一边在轴负半轴上，顶点在轴上．若抛物线经过、两点，则点的坐标为______________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 已知反比例函数（为常数）的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ 17. 定义：如果关于的一元二次方程（）有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“方程”．若关于的一元二次方程是“方程”，求的值． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围 19. 将抛物线：先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线，求新抛物线与轴的交点坐标． 20. 已知抛物线（为常数）经过点，求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． 21. 某工厂生产一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系，已知生产个零件时，每个零件的生产成本为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若要使每个零件的生产成本为元，那么可以生产多少个零件？ 22. 已知二次函数（为常数）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 6 2 … （1）填空：_____________，_____________，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）请根据你所画出的图象写出当时，的取值范围为_____________． 23. 如图，一次函数的图象交反比例函数（为常数，且，）的图象于、两点，交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数第二象限的图象上，连接、，若，求点的坐标． 24. 某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率． （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 25. 远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备，它的形状可近似看作抛物线．如图是该款帐篷搭建完成后的平面示意图，其张开的宽度，顶部最大高度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图为矩形置物架摆入该帐篷后的简易视图，点、在轴上，置物架的高度，，若要使置物架的顶端恰好接触到帐篷，则应将矩形置物架沿方向平移多少米？ 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是斜边上的动点（点与点、不重合），连接，以为边在上方作正方形，已知，设，正方形的面积为，求关于的函数解析式； 【问题解决】 （2）如图2，某市有一块形如矩形的地块，其中米，米，现计划在边上找一点，连接，过点作，且，点在矩形的内部，连接并延长交边于点，形成四边形区域，将四边形区域修建为艺术馆，并沿修建艺术展示长街．（艺术展示长街的宽度忽略不计） ①设，四边形艺术馆区域的面积为，求关于的函数解析式； ②求当四边形艺术馆区域的面积为平方米时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中素养测评 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】解：由抛物线顶点式，得对称轴为直线． 3. 已知某长方体的体积为，则该长方体的高（单位：）与底面积（单位：）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由长方体体积公式得， 变形得． 4. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象经过原点，把坐标代入函数解析式，求解参数即可． 【详解】解：二次函数的图象过原点， ∴把代入解析式得 解得：． 5. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得，，． ∵， ∴， 解得． 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 7. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴ . 8. 已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数可得对称轴为直线，然后分当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下即可求解． 【详解】解：由二次函数可得对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，函数由最小值， 当时，函数由最大值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，函数由最大值， 当时，函数由最小值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个关于的一元二次方程，且其中一个根是，则这个一元二次方程可以是：_______________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根为，通过因式分解的思路反向构造符合要求的方程即可． 【详解】解：∵ 若是关于的一元二次方程的根，则是该方程的一个因式， ∴ 可构造方程为， 整理得， 该方程满足一元二次方程的定义，且代入时等式成立，符合题目要求． 10. 已知点在反比例函数的图象上，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】把点的坐标代入函数关系式即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ． 11. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，理解题意找到等量关系是解题关键． 劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：． 故答案为：． 12. 如图，某桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于轴对称．已知左侧的抛物线可以用表示，则两条抛物线最低点之间的距离是____________． 【答案】40 【解析】 【分析】求出左侧抛物线的顶点，可得右侧的抛物线的顶点，即可求解． 【详解】解：∵左侧的抛物线为， ∴该抛物线的顶点为， ∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴右侧的抛物线的顶点为， ∴两条抛物线最低点之间的距离是． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在轴负半轴上，，连接，以、为邻边作，若的面积为，点的纵坐标为，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于点D，根据平行四边形的性质求出的长，结合点B的纵坐标求出点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D， ∵的面积为， ∴，，， ∵， ∴，， ∴点A的横坐标为， ∵点B的纵坐标为1，且点A在点B上方， ∴点A的纵坐标为3， ∴点A的坐标为， ∴． 14. 如图，菱形的一边在轴负半轴上，顶点在轴上．若抛物线经过、两点，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点B的坐标，根据菱形的性质得到，则由对称性可求出点A的坐标，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∴点A与点B关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】x1=-3，x2=9 【解析】 【分析】将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x+3=0，x-9=0， ∴x1=-3，x2=9． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 16. 已知反比例函数（为常数）的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支位于第四象限，常数的取值范围是 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的两支分别位于第二、四象限，则比例系数小于，计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数（为常数）的图象的一支位于第二象限， ∴图象的另一支位于第四象限，且， 解得， ∴图象的另一支位于第四象限，常数的取值范围是． 17. 定义：如果关于的一元二次方程（）有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“方程”．若关于的一元二次方程是“方程”，求的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】由题意可得该方程的一个解为，将代入方程，计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴该方程的一个解为， 将代入方程可得， 解得， ∴的值为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 19. 将抛物线：先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线，求新抛物线与轴的交点坐标． 【答案】新抛物线与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，求出新抛物线的解析式为，令，求出此时的值即可． 【详解】解：∵将抛物线：先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令，则， ∴新抛物线与轴的交点坐标为． 20. 已知抛物线（为常数）经过点，求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． 【答案】的值为，此抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式求出的值，再将抛物线解析式化为顶点式得到顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． 21. 某工厂生产一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系，已知生产个零件时，每个零件的生产成本为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若要使每个零件的生产成本为元，那么可以生产多少个零件？ 【答案】（1） （2） 125个 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，代入已知的生产数量与对应成本值，求出反比例函数的比例系数，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将给定的生产成本代入已求得的函数解析式，计算对应的生产数量． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， ∵生产数量需为正数， ∴， ∴关于的函数解析式为 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得， 答：可以生产125个零件． 22. 已知二次函数（为常数）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 6 2 … （1）填空：_____________，_____________，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）请根据你所画出的图象写出当时，的取值范围为_____________． 【答案】（1）；5； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而可求出m、n的值，再画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，当时，， ∴， ∴二次函数的解析式为 当时，，即， 当时，，即， 函数图象见答案； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 23. 如图，一次函数的图象交反比例函数（为常数，且，）的图象于、两点，交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数第二象限的图象上，连接、，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出m的值，再将代入反比例函数求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求出中边上的高，即的值，代入反比例函数的解析式中计算即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， ∴， 将代入得：， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：如下图： 当时， 解得：， 即， ∴， 设中边上的高为h， ∴， 解得：， 即， 将代入得， 解得：， 即． 24. 某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率． （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 【答案】（1） 该专卖店核桃销售量的月增长率为. （2） 每千克核桃应降价元或元. 【解析】 【分析】（1）根据月增长率相同，结合7月与9月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据“每千克利润日销售量日总利润”的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解： 设该专卖店核桃销售量的月增长率为， ∵7月份销售量为4000千克，从7月到9月销售量的月增长率相同，9月份销售量为5760千克， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克核桃应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价后售价需高于进价，即， 解得， ∴，均符合题意， 答：每千克核桃应降价元或元． 25. 远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备，它的形状可近似看作抛物线．如图是该款帐篷搭建完成后的平面示意图，其张开的宽度，顶部最大高度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图为矩形置物架摆入该帐篷后的简易视图，点、在轴上，置物架的高度，，若要使置物架的顶端恰好接触到帐篷，则应将矩形置物架沿方向平移多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，该抛物线的顶点坐标为，据此把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 代入原点坐标得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时， ， 解得或， ∵， ∴平移距离为， 答：应将矩形置物架沿方向平移． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是斜边上的动点（点与点、不重合），连接，以为边在上方作正方形，已知，设，正方形的面积为，求关于的函数解析式； 【问题解决】 （2）如图2，某市有一块形如矩形的地块，其中米，米，现计划在边上找一点，连接，过点作，且，点在矩形的内部，连接并延长交边于点，形成四边形区域，将四边形区域修建为艺术馆，并沿修建艺术展示长街．（艺术展示长街的宽度忽略不计） ①设，四边形艺术馆区域的面积为，求关于的函数解析式； ②求当四边形艺术馆区域的面积为平方米时的长． 【答案】（1） （2）①；②当四边形艺术馆区域的面积为平方米时为米. 【解析】 【分析】（1）求解，，如图，过作于，进一步利用勾股定理与正方形的性质可得解析式； （2）①如图，连接，过作于，延长交于，证明，可得，（米），结合四边形艺术馆区域的面积：进一步可得答案；②当平方米时,，进一步解方程即可. 【小问1详解】 解：在中，，， ∴，，， 如图，过作于， ∴， ∴，， ∴， 而 ∴正方形的面积为； ∵点是斜边上的动点（点与点、不重合）， ∴， 综上. 【小问2详解】 解：①如图，连接，过作于，延长交于， ∵矩形的地块，米，米， ∴，（米）， ∴四边形是矩形，， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（米）， ∴米， ∵， ∴， ∴四边形艺术馆区域的面积： ； 如图，当在上时， 同理可得：， ∴，， ∵点在矩形的内部， ∴， 综上：. ②当平方米时, ∴， 整理得：，， ∵， ∴， 综上：当四边形艺术馆区域的面积为平方米时为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $