精品解析：广东惠州市博罗县2026-2027学年度上学期八年级期中数学试卷

2026-2027学年秋季学期期中考试 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 4. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 8. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 2米 B. 4米 C. 6米 D. 8米 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在中，，，则的度数是________． 12. 如图，在中，，为中线，，则＝_____________． 13. 如图，在中，，，平分，则点到直线的距离为_____________． 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 15. 图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 17. 如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 综合与实践：【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接BE．如图（1）．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件作辅助线，能得到，理由是_____________． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为_____________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． （1）求A、C两点的坐标； （2）连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； （3）当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期期中考试 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选D． 【点睛】题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】根据三角形的三边关系，知 A、2+2=4，不能组成三角形； B、3+2=5＜6，不能组成三角形； C、3+6＞8，能够组成三角形； D、4+6＜11，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 4. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 6. 如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键． 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解： ， ∴． 故选B． 7. 工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 8. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 2米 B. 4米 C. 6米 D. 8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质．根据直角三角形中，所对边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图： 米， 在中，， ∴（米）， ∴这棵树在折断前的高度为（米）， 故选：C． 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．小球的运动轨迹是起点，第一次撞击点在y轴，且连线是等腰直角三角形的斜边；第二次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第三次撞击点在x轴上，连线是等腰直角三角形的斜边；第四次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第五次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第六次撞击点回到起始点，清楚了小球的运动轨迹，画图，根据循环的特点解答即可； 【详解】解：从点开始，第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为， ，小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是， 故选：C． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在中，，，则的度数是________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 12. 如图，在中，，为中线，，则＝_____________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据等腰三角形等边对等角性质可得度数，结合中线条件利用“三线合一”得出垂直关系，进而利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，为中线，即， ∴， ∴ ． 13. 如图，在中，，，平分，则点到直线的距离为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴点到直线的距离为4． 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 15. 图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质等知识点，说明是等边三角形成为解题的关键．由、得，又得，而，得，可证是等边三角形得，然后求得，由即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：20． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 【答案】 证明： ，即 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意可得，再利用即可证明结论． 【详解】略 17. 如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟知三角形的内角和为，是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴ ， 又∵是的高线， ∴， ∴． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 【答案】（1） 如图，直线DE为AB的垂直平分线． （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，作线段的垂直平分线，即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，继而可得的周长，代入数值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵DE垂直平分AB， ∴， ∵，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）5 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据题意得： ， ∴． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 如图，即为所求， 则的坐标为； （2）5 （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， ； 【小问3详解】 略 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】（1） 乙的方案可行，理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； （2） 添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． 【解析】 【分析】（）由，，得，然后通过“”证明即可； （）根据全等三角形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 综合与实践：【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接BE．如图（1）．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件作辅助线，能得到，理由是_____________． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为_____________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）A （2） （3）解：延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、三角形三边关系定理以及利用“延长中线构造全等三角形”解决几何问题的方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定条件，并通过延长中线将分散的线段和角集中到同一三角形中，从而利用已知条件推导结论． （1）根据是中线得，由对顶角相等得，结合辅助线，满足全等三角形判定的“边角边”条件，故确定选A； （2）由（1）中全等得，在中用三边关系 得，又因，两边同除以2得中线的取值范围； （3）延长至M使，先证得和；结合得，利用推导；再证得，最后由得出． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， 故选：； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）略 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． （1）求A、C两点的坐标； （2）连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； （3）当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）1或9 （3）存在；或2 ；或或或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； 【小问3详解】 解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $