精品解析：广东惠州市博罗县2025-2026学年八年级上学期阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年秋季学期阶段诊断 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 6，8，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，5，7，，不能构成三角形，不符合题意； B．4，4，8，，不能构成三角形，不符合题意； C．4，5，6，，能构成三角形，符合题意； D．6，8，1，，不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 2. 汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合． 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用．根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 4. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 5. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶2∶5，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 全等三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型． 【详解】解：三角形的三个角依次为，， ，所以这个三角形是钝角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的分类，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则及积的乘方是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则及积的乘方分别计算即可． 【详解】解：A、，不是同类项不能合并，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 8. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用是边上的中线，是的中点依次求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， 是的中点， ， ， ∴阴影部分的面积为12， 故选：C． 9. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ，即的最小值为2， 故选：C 10. 如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个等腰三角形的两边长分别为6和10，则这个三角形的周长____________． 【答案】22或26 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质：两边相等的三角形，可以得出两种情况：6、6、10或6、10、10，可以求出周长为：22或26，同时利用三角形的三边关系进行验证，第三边的取值范围为：4<a<16，可知符合题意． 【详解】解：由题意得，设第三边长为a， 则：三角形的三边分别为：6、6、10或6、10、10， 根据三角形三边关系可知：4<a<16， 故：a=6或a=10符合题意， 即，三角形周长为：22或26． 故答案为：22或26． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念，同时还要利用三角形的三边关系进行验证是否能够组成三角形． 13. 如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，△ABC的周长为24cm，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为点E，AE＝4cm，则△ACD的周长为______cm． 【答案】16 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，AB=2AE=8（cm），根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵△ABC的周长为24cm， ∴AB+AC+BC=24cm. ∵DE是AB的垂直平分线，AE=4cm， ∴DA=DB，AB=2AE=8（cm）， ∴AC+BC=24-8=16（cm）， ∴△ACD的周长=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=16（cm）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线， ∴点E关于AD的对应点为点F， ∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点， ∴F是AB的中点， ∴CF=AD=6， 即EP+CP的最小值为6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，属于简单题，熟悉三角形的内角和是是解题关键． 由三角形内角和定理可求得的度数，因是角平分线，有，在中，可求得的度数，再由可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵是高，， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查化简求值问题，关键是掌握多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则，会判断同类项与合并同类项法则，掌握化简求值的步骤与要求． 先利用多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项，再赋值准确计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹） （2）求证：． 【答案】（1） 线段的垂直平分线如图所示； （2） ∵，， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）首先根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求出，然后根据垂直平分线的性质得到，进而求出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为、. （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）的面积为____________. 【答案】（1） 解：坐标系如图； （2） 解：如图，即为所求； （3）4 【解析】 【分析】（1）根据、两点的坐标建立直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是作图轴对称变换及三角形的面积，解题的关键是熟知轴对称的性质． 21. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子的表面积；（用含a、b的式子表示） （2）当时，求这个盒子表面积的值． 【答案】（1） （2）159 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、多项式乘法、代数式求值等知识点，正确用代数式表示出盒子的表面积是解题的关键． （1）先求出表面积为矩形，再求出四个小正方形的面积，然后用长方形的面积减去四个小正方形的面积即可列出代数式； （2）将代入（1）所得的代数式求解即可． 【小问1详解】 解：长方形面积 ， ； 四个正方形面积 ； 盒子表面积 ． 【小问2详解】 解：当时，原式． 答：当时，表面积为159． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】； 【类比解答】； 【拓展延伸】（1）， 证明：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1）略 （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期阶段诊断 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 6，8，1 2. 汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 4. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶2∶5，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 全等三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 9. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 10. 如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 12. 若一个等腰三角形的两边长分别为6和10，则这个三角形的周长____________． 13. 如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则____________． 14. 如图，△ABC的周长为24cm，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为点E，AE＝4cm，则△ACD的周长为______cm． 15. 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹） （2）求证：． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为、. （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）的面积为____________. 21. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子的表面积；（用含a、b的式子表示） （2）当时，求这个盒子表面积的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $