精品解析：内蒙古通辽市第二中学2026-2027学年上学期高二年级10月考数学试题

内蒙古通辽市第二中学2026-2027学年上学期 高二年级10月考数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解. 【详解】由可得：，所以斜率为， 设倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：D 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得. 3. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 5. 已知直线过点，在轴、轴上截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线过点，在两坐标轴上的截距互为相反数. 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，所以方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线的方程为， 把点代入得，解得， 所以直线， 综上，直线的方程为或. 6. 在空间直角坐标系中，平面经过点，并且与向量垂直．已知点不在平面上，则与平面之间的距离等于（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量点到平面的距离公式可求解； 【详解】由题可得：， . 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 8. 在空间中，已知点，点满足，若四点共面，则（ ） A. -3 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 易知， 若四点共面，则存在唯一实数对满足， 即，解得， 即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆关于直线对称圆的方程为 B. 圆与圆恰有三条公切线 C. 过点的直线与圆相离，则直线斜率的取值范围是 D. 若圆上恰有2个点到直线距离为1，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A,圆的圆心为，半径为， 关于直线对称圆的圆心为，半径为，方程为，即A正确； 对于B，圆可化为，圆心为，半径， 圆可化为，圆心为，半径， 两圆圆心距离为，两半径之和为， 因此两圆外切，所以两圆恰有三条公切线，即B正确； 对于C，易知点在圆上，因此所有过点的直线与圆都有交点，不可能相离，因此C错误； 对于D，因为圆的圆心为，半径为， 若圆上恰有2个点到直线距离为1， 则需满足圆心到直线的距离，即， 所以的取值范围是，即D正确. 11. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为 B. 点P与圆M上点的距离的最小值为 C. 以PM为直径的圆过定点 D. 若直线PA与圆M切于点A，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果. 【详解】圆M：配方得： ， 圆M关于直线对称，直线过圆心. ,即 点P的轨迹方程为，A正确. 点P与圆M上点的距离的最小值的即为到直线的距离减去半径， 由于，则，B正确. 由，则在直线上，所以， 又，则， 则以PM为直径的圆过定点，C正确. 由于，要使取最小， 即取最小值，,，则D不正确. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点三点共线，则实数的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得. 【详解】解：因为三点共线， 所以，即，解得； 故答案为： 13. 若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【答案】 或 【解析】 【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式求解参数，排除不符合题意的情况即可得到直线方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ， 由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或, 可得直线的方程为即，或即 14. 已知点，动点满足，则点到直线的距离的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设点，利用向量数量积的坐标表示化简，即可得到点的轨迹方程，求出圆心到直线的距离，利用圆的性质可知，点到直线的距离的最小值为. 【详解】设点，则，， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径； 则圆心到直线的距离为， 由圆的性质可得，点到直线的距离的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求过点A且与直线垂直的直线方程； （2）直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直，则斜率乘积为，设出直线方程为，代入点，解出即可. （2）根据两直线平行则斜率相等，设出直线方程为，再利用平行线之间距离的公式即可求出两直线距离. 【小问1详解】 设过点且与直线垂直的直线方程为. 把点的坐标代入可得:,解得. 过点且与直线垂直的直线方程为. 【小问2详解】 设过点且和直线平行的直线的方程为:. 把点的坐标代入可得:,解得. 直线的方程为:. 平行直线的距离. 16. 已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. （1）当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； （2）若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解． （2）先确定点P与AB间的关系，再求出半径长，即可求解． 【小问1详解】 圆C的方程可化为，圆心为，半径为 因为直线l的倾斜角为且过， 所以直线的方程为，即 圆心到直线的距离， 所以弦 【小问2详解】 ， 而弦心距， 所以，所以P是AB的中点， 则以线段AB为直径的圆圆心是，半径为 故以线段AB为直径的圆的方程为 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； 【答案】（1）连结，设， 因为四边形为正方形，所以为中点． 设为的中点，连结， 则，且． 因为，且， 所以．所以四边形为平行四边形． 所以，即． 因为平面平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）利用空间向量法求解，求出平面的一个法向量，利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知平面，所以，， 因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直， 以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）， 因为， 所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得． 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以． 即直线与平面所成角为． 18. 已知点，，动点满足． （1）若点的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）若点在直线上，直线经过点且与曲线只有一个公共点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|，|PB|代入等式|PA|＝2|PB|，整理即得曲线的方程C的方程； （2）求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线l1的距离，求出的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4＝k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程． 【详解】（1）设点的坐标为，因为两定点，，动点满足， 所以，即．所以此曲线的方程为． （2）因为的圆心坐标为，半径为4， 则圆心到直线的距离为，因为点在直线上， 过点的直线与曲线只有一个公共点， 所以的最小值为．直线的方程为， 联立直线，可得，设切线方程为，即， 故圆心到切线的距离，得，切线方程为． 当切线斜率不存在时，切线方程为，因此直线的方程或． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点M位于靠近点C的四等分处 【解析】 【分析】（1）由已知易得四边形为平行四边形，有，进而有，利用面面垂直的性质有平面，最后根据面面垂直的判定证结论； （2）首先证明两两垂直，构建空间直角坐标系，设且求的坐标，再求面、面的法向量，根据已知角大小及空间向量夹角坐标表示求即可判断存在性. 【小问1详解】 因为，，Q为的中点， 所以四边形为平行四边形，则． 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，则， 又，为的中点，则， 所以两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系， 所以，，则， 假设存在点M，设且，得， 所以，又， 设平面法向量为，则，令，则． 由（2）知平面的法向量为，二面角为， 所以，解得， 故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古通辽市第二中学2026-2027学年上学期 高二年级10月考数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 3. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，在轴、轴上截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 在空间直角坐标系中，平面经过点，并且与向量垂直．已知点不在平面上，则与平面之间的距离等于（ ） A. B. 10 C. D. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在空间中，已知点，点满足，若四点共面，则（ ） A. -3 B. C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆关于直线对称圆的方程为 B. 圆与圆恰有三条公切线 C. 过点的直线与圆相离，则直线斜率的取值范围是 D. 若圆上恰有2个点到直线距离为1，则的取值范围是 11. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为 B. 点P与圆M上点的距离的最小值为 C. 以PM为直径的圆过定点 D. 若直线PA与圆M切于点A，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点三点共线，则实数的值为__________. 13. 若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 14. 已知点，动点满足，则点到直线的距离的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求过点A且与直线垂直的直线方程； （2）直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离. 16. 已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. （1）当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； （2）若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； 18. 已知点，，动点满足． （1）若点的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）若点在直线上，直线经过点且与曲线只有一个公共点，当取最小值时，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $