精品解析：贵州省贵阳市修文县修文中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

修文中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学 2026年11月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，即可求得. 【详解】因为，所以，所以的虚部为. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 3. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，， 则过点，点的直线斜率， 设直线的倾斜角为，满足， 则， 所以，即直线的倾斜角为． 4. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 5. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，通过计算圆心距判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 将圆的一般方程配方，得，故圆心，半径； 两圆圆心距： ， 由，可知两圆外切， 故两圆公切线的条数为3. 6. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的取值，再根据充分必要条件定义进行判断即可. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，即，解得：或. 则由可以推出两直线垂直，故充分性成立； 由两直线垂直，不一定推出，故必要性不成立， 所以是两直线垂直的充分不必要条件. 7. 若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的斜率，所以， 即，且倾斜角为锐角； 又因为，所以，则， 所以. 8. 已知圆，直线，则不正确的是（     ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心、半径，再计算圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式、弦长公式、直线交点求解等知识逐一判断即可. 【详解】由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 对于A，因为，所以直线上不存在点，使得，故A符合题意； 对于B，因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B不符合题意； 对于C，因为圆上的点到直线的最大距离为，故C不符合题意； 对于D，过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为， 所以直线方程为，联立， 可解得，所以垂足坐标为，故D不符合题意. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过点与直线平行的直线方程是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可得A；利用斜率可得B；利用点到直线距离公式计算可得C；利用待定系数法计算可得D. 【详解】对A：，则，即直线的倾斜角是，故A正确； 对B：若直线，两直线斜率都为，则，故B错误； 对C：点到直线的距离为，故C错误； 对D：设该直线方程为，则，解得， 即过点与直线平行的直线方程是，故D正确. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面所成的角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算异面直线夹角的余弦值判断A；利用线面平行的性质及锥体体积公式判断B；利用面面平行的性质确定截面形状判断C；利用向量法求出线面角的正弦值关于动点位置的函数，进而求出范围判断D。 【详解】选项A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 . 因为为中点，所以. 若是的中点，则.故. 设异面直线与所成角为，， 则，A正确； 选项B：由题知. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为在上运动，所以到平面的距离为定值. 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确； 选项C：若是的中点，平面平面， 平面平面， 平面平面（在上），所以. 在矩形中，，. 在矩形中，，设，. 由得，解得. 因为，所以在棱上. 所以截面图形为四边形，C错误； 选项D：.设平面的法向量为， 则，取，得. 设，则. . 令，又函数在上单调递增 . 当时，最小为，； 当时，最大为，. 所以，D正确. 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线间的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【详解】直线可化为， 所以直线与直线间的距离. 13. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数），若，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的向量关系，列出方程，求解即可. 【详解】由题意，因为，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 又，，所以， 解得. 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得平面法向量与，根据，分析判断，即可得答案；根据向量的线性运算法则，可求得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】以为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设， 则， 所以， 所以， 因为平面， 所以为平面的法向量， 因为， 所以与不垂直，即直线AG与直线不垂直， 所以直线AG与平面相交. 由题意 ， 所以，则. 故答案为：是； 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）2. （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用空间向量的坐标线性运算，分别求出和的坐标，再代入数量积的坐标公式计算即可； （2）先利用数乘与减法运算求出向量的坐标，再代入空间向量的模长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得，， 则； 【小问2详解】 由题意得，， 则； 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的第百分位数； （3）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第百分位数所在区间，进而即可计算第百分位数； （3）先确定从第，组中分别抽取的人数，再用枚举法列出从名中选取名作重点发言的所有情况，再得到至少有一人的年龄在内的情况，进而根据古典概型公式即可求解概率． 【小问1详解】 由图可得，解得． 【小问2详解】 前三组的频率和为， 第四组的频率为， 所以第百分位数在第四组， 所以第百分位数为． 【小问3详解】 由题意得第组的人数，第组人数频率之比为∶， 又共抽取名参加座谈，所以应从第组抽取人，从第组中抽取人， 记第组的名分别为，，，第组的名分别为，， 则从名中选取名作重点发言的所有情况为：，，， ，，，，，，，共有10种， 其中第组的名，至少有一名被选中的有，，， ，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 17. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 18. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在正四棱锥中，为底面的中心， 所以为的中点， 又为线段的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可证得，然后利用线面平行的判定定理即可求证； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正四棱锥中，为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以． 所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 因为，， 所以，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则即 令，得，，所以是平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 19. 在平面直角坐标系中，，，动点R满足． 求点R的轨迹方程C； 过点的直线l与中的轨迹方程C交于点A，B，与x轴交于点Q，设，，求证：为定值． 【答案】；. 【解析】 【分析】设动点，则，由此能求出点R的轨迹方程求出椭圆方程；斜率不为0，设直线l：，联立方程组由此利用韦达定理结合已知条件能证明为定值. 【详解】设动点，则， 整理，得点R的轨迹方程C为：． 证明：由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为；， 联立，整理，得：， 设、， ，， 令，可得，即， ，，，， ，， ． 为定值． 【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查两数和为定值的证明，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 修文中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学 2026年11月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 3. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，则不正确的是（     ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过点与直线平行的直线方程是 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面所成的角为，则 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线间的距离为_______． 13. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数），若，则实数的值为_____________． 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求； （2）求的值. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的第百分位数； （3）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 18. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，，，动点R满足． 求点R的轨迹方程C； 过点的直线l与中的轨迹方程C交于点A，B，与x轴交于点Q，设，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $