山东济南市平阴县2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

2026—2027学年度第一学期期中学习诊断检测 九 年 级 数 学 试 题 答 案 1、 单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D D C A A B 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 6 12. 2 -7 13. 14. 15. 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16．(本题6分)解下列方程： （1） 解：， 化简为：，·································1分 配方得：，即，··············································2分 开方得． ∴，．·····································3分 （2）解： ，··········································1分 ，················································2分 或， ，．····················································3分 17. (本题8分) （1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，············································2分 ∴ ················································3分 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴，················································5分 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，················································7分 ∵， ∴． ················································8分 18.(本题8分) 证明：∵， ∴，，············2分 ∴，··································3分 ∴；··································4分 (2)解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ··································6分 ∵， ∴．········································8分 19. (本题8分) (1)(100+200x) ··································2分 (2)解:根据题意，得(4-2-x)(100+200x)=300,··································5分 解得x1=0.5, x2=1。··································7分 当x=0.5时，销售量是100+200×0.5=200(kg); 当x=1时，销售量是100+200×1=300(kg)。:每天至少售出260 kg,:.x=1. 4-1=3(元)。 :.老板需将每千克的售价定为3元。··········································8分 20.(本题8分) 解：（1）； ··································2分 （2）树状图如下： ··································6分 由上可得，一共有9种等可能性，其中指针所落区域颜色不同的可能性有6种，······7分 ∴指针所落区域颜色不同的概率为．··································8分 21.(本题8分) (1) 如图所示， ··································6分 (2)·······················8分 22.(本题10分) 解：（1）解：∵， ∴顶点坐标为，··································2分 ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ····························4分 解得； ···············································5分 （2）当时，，····························7分 ，····························9分 ∴抛物线与x轴有两个交点． ···············································10分 23.(本题10分) 解：(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为， ···················2分 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ····························4分 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． ····························5分 或将x=10代入得y≠0 （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为····························7分 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为，····························9分 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． ···························10分 24.(本题12分) 解：（1）解：∵抛物线过点， ∴， ………………………1分 ∴， ………………………2分 ∴； ………………………3分 （2）四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， ………………………4分 连接， ∵， ∴， ………………………5分 ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ………………………7分 ∵， ∴， ∴， ………………………8分 ∵轴，轴， ∴， ………………………9分 ∴四边形是平行四边形； ………………………10分 （3）的最小值为 ………………………12分 如图2，由题意得，，连接． 在上方作△OMQ，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 25.(本题12分) 解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC．………………………1分 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得ADAC，BNBC＝2，………………………2分 故a． ………………………3分 （2）∵，AD＝aBN， ∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，， ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°， 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN∽△BMN时，则， 即， ………………………5分 此方程无解，不符合题意；………………………6分 ②当△CND∽△BMN时，则， ∴ ………………………8分 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得． ………………………9分 （3）法一（几何法）： ∵，AD＝aBN， ∴． 以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°， 如图所示： ∴， ∴AE＝DE＝BN， ∵∠ADE＝∠C＝45°， ∴DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN， …………………10分 将AB绕点B顺时针旋转90度得到BF，连接NF，MF， 则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE， 又∵AB＝BF，AE＝BN， ∴△AEB≌△BNF（SAS）， ∴BE＝NF， …………………11分 ∴DN＝NF， ∴MN+ND＝MN+NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，，， 故， ∴MN+ND的最小值为． …………………12分 法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BM， ∴BE＝ME＝1，设BN＝x， 则AD，CD＝AC﹣AD， ∵∠C＝45°， ∴DF＝CFCD＝2﹣x， …………………10分 ∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2， 由勾股定理可得MN+ND ，…………………11分 上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和， 欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1）， 则MN+ND的最小值为．…………………12分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中学习诊断检测 九年级数学试题 温馨提示： 1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 考试时间120分钟,满分150分. 2.答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题. 第Ⅰ卷 选择题（40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求。 1.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是 A． B． C． D． 2.若抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的解为 A．， B． C． D．， 3.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与 △OCD的周长之比是 A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 4.若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 A． B． C． D． 5.若方程没有实数根，则m的值可以是 A． B． C． D． 6.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是 A． B． C． D． 7.若点都在抛物线上，则关于的大小关系，下列说法正确的是 A． B． C． D．条件不足无法判断 8.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为 A． B． C．（） D．（） 9.如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是 4 0 A． B． C． D． 10.在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示．给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案。 11.如图，．若，，则的长为______ ． 12.函数，当______时，y的最小值等于______． 13.如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“”应补全的代数式为______． 14.数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点是______． 15.对某条路线的长度进行10次测量，得到，，，，⋯，这10个数据（如表）：设，若当时，y有最小值，则m的值为______． 数据 对应值 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本题6分)解下列方程： （1） （2） 2（x1）2 = x1 17.(本题8分)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若，求a的值． 18.(本题8分)如图，四边形是某校一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园，△CDB是水果园，已知． （1）求证： （2）若蔬菜园△ABD的面积为，求水果园△CDB的面积． 19.（本题8分）水果店老板以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100kg。通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20kg，为保证每天至少售出260kg，老板决定降价销售。设这种水果每千克售价降低x元。 （1）每天的销售量是 kg.(用含x的代数式表示，需要化简) （2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每千克的售价定为多少元? 20.(本题8分)如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　 ； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 21.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别是，，．以点为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到（点、的对应点分别为、），使得点在第一象限． （1）在图中画出； （2）设点为△AOB内一点，直接写出点在内的对应点的坐标． 22.(本题10分)已知抛物线的顶点在直线上 （1）求k的值； （2）请判断抛物线与x轴交点的个数，并说明理由． 23.(本题10分)综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过建立适当的平面直角坐标系计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 24.(本题12分)如图1，抛物线与轴交于点A，与直线交于点，点在轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，直接写出的最小值． 25.(本题12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 答案第2页，共2页 九年级数学试题 第4页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $