精品解析：河北省唐山市丰南区第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年丰南一中高二期中考试数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 3. 已知圆与，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，以及公切线的数数量.由两圆的标准方程及两圆心的距离可得两圆相切，因此两圆的公切线的条数为3条. 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条. 故选：C. 4. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称的关系代入得到所求直线方程； 【详解】直线 关于直线 对称，互换 、得 ， 即 . 5. 已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，渐近线方程为， 因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，得， 故的实轴长为. 6. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由以为直径的圆与的某一个交点为，得；由得到平分，根据，是的中点，利用中位线、角平分线的性质等，结合，整理得；由椭圆定义得，由勾股定理得，以及，，即可计算出离心率. 【详解】设直线交直线于点. 由点在以为直径的圆上，得； ，平分，即. ，是的中点， ，，，； ； ，，整理得； 由椭圆定义得； 联立 ，解得，； 在中，，即，整理得 ； 由椭圆得，得； ，得，即； 由，得，，即的离心率为. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的长度为 D. 设是空间的一个基底，则不是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用点坐标的对称求解；B选项，利用向量的夹角取值范围求解；C选项，根据投影向量的长度计算公式求解；D选项，利用基底的定义求解. 【详解】A选项，点关于平面对称的点的坐标是，所以A选项正确； B选项，当与反向共线时，时，但向量，的夹角是不是钝角，所以B选项错误； C选项，在上的投影向量的长度为，所以C选项正确； D选项，令，解得：，即：存在， 使得，所以三个向量共面，则不能作为基底，所以D选项正确. 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出直线的斜率即可判断；对于B，根据求出，再利用平行直线距离公式即可计算；对于C，根据在两坐标轴上的截距相等列出方程即可计算；对于D，先求出直线过定点，进而原点到的距离的最大值即为，因此计算即可． 【详解】对于A，，即，斜率为2，故直线的方向向量为, 而,故是直线的一个方向向量，A正确； 对于B，由得，解得， 此时，两直线不重合， 故与的距离，B正确 对于C，令解得，令解得， 则，解得或2， 当时，，在两坐标轴上的截距都为0，满足条件， 当时，，在两坐标轴上的截距都为5，满足条件， 所以或，C错误； 对于D，由得， 令，得，故直线过定点， 因此原点到动直线的距离最大值就是， 而，故D正确． 11. 如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，点到平面的距离为1 C. 直线与所成的角可能是 D. 若二面角的平面角的正弦值为，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解点的坐标，利用点的坐标得到向量坐标，即可利用点到面的建立公式，以及空间角的计算公式，结合选项逐一求解. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， 因为，所以， 所以，，，A正确； ，， 因为，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则即 设，则， 所以点到平面的距离为，B正确； 设，则，所以， 又，所以， 解得，所以直线与所成的角不可能是，C错误； ，， 由C知， 设平面，平面的一个法向量分别为，， 所以 即 分别令，，则，， 设二面角的平面角为，， 则， 解得或，故或，D正确. 故选:ABD. 三、填空题 12. 已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则________ 【答案】29 【解析】 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同得，求解可得答案. 【详解】由题意，解得，， 故. 13. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 14. 已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为______. 【答案】6 【解析】 【分析】由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积. 【详解】由椭圆知，所以. 双曲线：的渐近线方程为. 以线段为直径的圆的方程为. 由，得，所以，所以. 记线段的中点为，则. 点在上，所以，解得，所以. 所以双曲线的方程为：. 由，得，所以. 所以（为坐标原点）的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用中垂线组方程组来求圆心和半径，可得圆的标准方程； (2)利用直线过原点和直线不过原点且截距互为相反数，再用待定系数法来求解即可. 【小问1详解】 由可知中点， 设过的中垂线斜率为， ，则. 所以，即 由，解得，故， 圆的半径为， 故圆的标准方程为 【小问2详解】 ①若直线过原点，满足题意，则可设， 因为直线过，所以，则. ②若直线不过原点，由于直线在轴，轴上的截距是互为相反数， 设，因为直线过， 所以，则，即 综上所述：直线的方程为或. 16. 已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． （1）求的方程； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）依题意写出过点，的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，可得，解得 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知椭圆的右焦点坐标为， 点，所在直线方程为． 联立，消去并整理得． 设，，则，， ． 17. 已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【小问1详解】 的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． 【小问2详解】 略． 18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）设，则且， 所以，． 又，，所以，． 所以，为定值． 设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分． （ii）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．① 由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为． 由，，三点共线，得， 整理，得， 代入，及①， 得， 故直线过定点，该定点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）结合拼接条件和离心率求椭圆方程. （2）（i）通过联立与的方程消参，证明斜率乘积为定值，就此得到双曲线轨迹. （ii）设直线，联立双曲线，利用、对称，结合韦达定理证明直线过定点. 【小问1详解】 由：，得． 由，得，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年丰南一中高二期中考试数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 1 D. 不存在 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 3. 已知圆与，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的长度为 D. 设是空间的一个基底，则不是空间的一个基底 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 11. 如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，点到平面的距离为1 C. 直线与所成的角可能是 D. 若二面角的平面角的正弦值为，则或 三、填空题 12. 已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则________ 13. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14. 已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为______. 四、解答题 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 16. 已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． （1）求的方程； （2）求． 17. 已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $