精品解析：江苏苏州市常熟外国语中学2026-2027学年第一学期学情调研考试高二数学试卷

2026-2027学年第一学期期中学情调研考试试题卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 数列中，，，则（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 4. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 5. 已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 已知圆方程为，双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 8. 已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同的两点，使得直线垂直平分，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得6分，部分答对得部分分，选错或不答的得0分. 9. 已知圆，直线，下列叙述正确的为（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆所截得的弦最长时， C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线l可能与圆C相离 10. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ） A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差 B. 等差数列一定不是比等差数列 C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ） A. -7 B. -5 C. -2 D. –1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，且，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可） 13. 已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 14. 若等差数列满足则的最大值为_____ 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16. 平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. （1）求W的方程； （2）设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 17. 已知圆． （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）圆与圆交于两点，求公共弦长． 18. 已知数列前项和 ，数列为等比数列，首项，公比为，且满足成等差数列． （1）求数列，的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 19. 已知动圆过定点，且与直线相切. （1）求动圆圆心轨迹的方程； （2）设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中学情调研考试试题卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率公式以及直线斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由题意可得，即 ，因为，故. 故选：D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 3. 数列中，，，则（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由，解得. 故选：D 4. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2， 若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1， 又直线的一般方程为， ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 5. 已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称的性质求出点的坐标，设，再由可求出点的轨迹方程，由图可知中边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可求得结果. 【详解】设的坐标为，则，则的坐标为， 设，， ． 所以. 故选：C 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 7. 已知圆方程为，双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意可知，故双曲线的一条渐近线方程为， 由于的圆心为，半径为，且经过原点， 故到的距离为，解得， 故选：D 8. 已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同的两点，使得直线垂直平分，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先讨论直线的斜率不存在和为0时的情况，再根据直线的斜率存在且不为0，表示出直线方程，得出圆心到直线的距离小于半径可求出. 【详解】在圆上总存在不同的两点使得垂直平分． 若为直线与轴交点，得，此时圆上不存在不同的两点满足条件； 若为直线与轴交点，得，此时直线的方程为，满足条件，； 若P不为直线l与坐标轴的交点，则直线的斜率存在且不为0时， 因为，则，可得， 所以直线方程为，化为， 由圆心到直线的距离，得， 又因为，化为，解得：，且； 综上所述：的取值范围为． 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得6分，部分答对得部分分，选错或不答的得0分. 9. 已知圆，直线，下列叙述正确的为（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆所截得的弦最长时， C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线l可能与圆C相离 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，可将参数m提出来，通过解方程组，即可找到定点位置；选项B，过圆内一点最长的弦是直径，，即把圆心带入直线方程即可完成求解；选项C，过圆内一点最短的弦是过定点垂直于圆心与定点连线的直线交圆所得的弦，计算即可；选项D，直线经过圆内一点，与圆是相交的，可以排除选项. 【详解】选项A，直线，可化为，当时，即时，直线l过定点，故该选项正确； 选项B，直线l被圆所截得的弦最长的是直径，即直线l经过圆心，把圆心坐标代入方程，即可求解，，故该选项正确； 选项C，直线l被圆所截得的弦中最短弦是，过定点垂直于圆心与定点连线的直线交圆所得的弦，故点到直线的距离即为圆心与的距离，即，弦长为，故该选项正确； 选项D，有选项A可知，直线l过定点，而圆，该定点在圆内，故无论m取何值，直线与圆一定相交，故该选项错误. 故选：ABC. 10. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ） A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差 B. 等差数列一定不是比等差数列 C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D. 【详解】若为等比数列，公比，则，， 所以，故选项A错误； 若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误； 令，，则，此时无意义，故选项C错误； 因为数列满足，， 所以，，故， 所以不是比等差数列，故选项D正确. 故选：ABC. 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ） A. -7 B. -5 C. -2 D. –1 【答案】ABC 【解析】 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围. 【详解】设，连接，设， 则，， 所以， 又， 所以 令，则有， 解得：或 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4）， 即与圆有4个交点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）， 故选：ABC 【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，且，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】由条件可得，即有或，结合运算即可得． 【详解】因为， 即， 所以或， 又，故该数列前5项可能为：1、1、1、1、1，或1、1、1、1、2， 或1、1、1、2、2，或1、1、2、2、2，或，或1、2、4、8、8，或1、2、4、8、16， 该数列前5项和可能是5、6、7、8、、23、31. 故答案为：5（答案不唯一）. 13. 已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解. 【详解】由可得，即直线过定点， 由可得，即曲线C：， 作出曲线与直线的图象，如图， 当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 直线与曲线相切时，圆心到直线的距离， 即，解得或（由图可知不符合题意，舍去）， 由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点. 故答案为：或 14. 若等差数列满足则的最大值为_____ 【答案】1005 【解析】 【分析】由题意，，令，，则公差，再由等差数列前项和公式得，则，当取最大值时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式求出的最大值，即可求出的最大值. 【详解】由题意，，即， 令，，则等差数列的公差， 则， ，即， 表示以原点为圆心，为半径的圆内（包含圆周）， 所以取最大值时，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，此时的最大值为5， 所以. 故答案为：1005 【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16. 平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. （1）求W的方程； （2）设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求解椭圆方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，直线与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 ，因为的周长为，所以， 所以点的轨迹满足椭圆的定义，，又因为，所以， 并且点不能在轴上，所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设，直线的方程为， 与椭圆方程联立得：， 所以， 由弦长公式得 解得， 所以的方程为或. 17. 已知圆． （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）圆与圆交于两点，求公共弦长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案. （2）先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案. 【小问1详解】 由圆可得：圆心坐标为，半径为 1°若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意； 2°若直线斜率存在，设直线方程为，即. 由直线与圆相切可得：，解得． 此时直线的方程为：， 综上直线的方程为：或． 【小问2详解】 联立，得：直线方程为． 圆心到直线距离为， 故公共弦长． 18. 已知数列前项和 ，数列为等比数列，首项，公比为，且满足成等差数列． （1）求数列，的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把当时，当时，代入，化简求出，由等差中项的性质求出公比，代入等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【小问1详解】 当时，． 当时，, 验证时也成立． ∴数列的通项公式为：， ∵成等差数列， 所以，即， 因为，∴ ∴ 数列的通项公式为： 【小问2详解】 ∵ ∴，① ，② 由① - ②得：. ∴. 19. 已知动圆过定点，且与直线相切. （1）求动圆圆心轨迹的方程； （2）设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）设，，，， 因为过点，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，， 由消去x并整理，得，于是， 直线上任意点，有，而， 于是，又，因此直线的方程为， 由消去x并整理，得，则，同理得， 又，同理， 所以. （ⅱ）3； 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义求解方程作答. （2）（ⅰ）设直线的方程，与曲线的方程联立，设出，用分别表示点的纵坐标，再计算，作答.（ⅱ）由（ⅰ）求出直线的方程，直线的方程，并联立求出交点的轨迹即可求解作答. 【小问1详解】 依题意，动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等， 因此动圆圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动圆圆心轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，当不垂直于x轴时，直线的斜率， 同理直线的斜率， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 由消去得，因此直线和的交点在定直线上， 当时，由对称性不妨令，直线的方程为， 由得点，同理点，因此直线的方程为， 直线的方程为， 由解得：，点在直线上， 从而直线，的交点的轨迹为直线，点到直线的距离3，即为长度的最小值， 所以线段长度的最小值为3. 【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $