精品解析：福建省福州屏东中学2026-2027学年第一学期八年级期中考试数学试题

福州屏东中学2026-2027学年第一学期期中试卷 八年级数学 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 厦门珠绣是国家级非遗，它曾亮相央视《非遗里的中国》，为了更好地推广非遗，文创店推出四种珠绣杯垫，下列四个杯垫是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断是否存在对称轴． 【详解】解：A、选项中的图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； B、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形； C、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形； D、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，运算错误； B选项：，运算正确； C选项：，运算错误； D选项：与不是同类项，不能合并，运算错误. 4. 如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，在和中，已知，若要使得，则不能添加下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理一一判断即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、若添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； B、若添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； C、若添加，满足边边角，无法证明，故本选项符合题意； D、若添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴对称性质得出对应角相等，结合三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 8. 下列各式能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征进行判断各选项即可． 【详解】解：A.，不符合平方差公式特征； B.，不符合平方差公式特征； C.，不符合平方差公式特征； D.，符合平方差公式特征． 9. 如图，在中，，分别平分和，设，，则下列关于，的等量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 移项得． 10. 已知、是两个不相等的实数，满足，令，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过完全平方公式将已知等式转化为含与的形式，结合平方的非负性及的条件确定的取值范围. 【详解】解：∵，， ∴. ∵， ∴， ∴，解得. 又∵， 且， ∴，解得. 综上，. 第Ⅱ卷 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了0指数幂．利用0指数幂的定义“任何非零数的零次幂等于1”即可求解． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 点关于轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是 故答案为：． 13. 已知，，则的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】已知同底数幂，，待求，可通过同底数幂的除法法则将待求式转化为已知两幂的商求解． 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图，在中，是它的角平分线，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作的垂线，利用角平分线的性质得到两三角形的高相等，从而将面积比转化为底边与的比. 【详解】解：过点D作于点E，于点F， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15. 已知，，则的值是__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：19． 16. 如图，边长为6的等边三角形中，是高上的一个动点，连结，点在三角形外部，且，，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】取的中点G，连接，利用等边三角形性质和旋转性质证明，从而将转化为，根据垂线段最短确定时最小，结合含30度角的直角三角形性质求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∴， ∵是等边三角形，是高， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 在和中 ，　 ， ∴， ∴． 根据垂线段最短，当时最小，即最短， 此时在中，，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：共9小题，共86分． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）拆分被除式的每一项，分别除以除式后合并结果； （2）展开多项式乘法的所有乘积项，合并同类项化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连续匹配平方差结构分解，确保分解彻底； （2）将视为整体，匹配完全平方结构分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，中， （1）求作点D，使点D在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，的周长为13．求的周长． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】（1）根据，得到点在的垂直平分线上，作的垂直平分线交于点即可； （2）将的周长转化为的长，再根据周长公式求出的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴的周长为， ∵， ∴，即的周长为. 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接，交于点O． （1）求证：， （2）从下列两个结论中选择一个正确的结论，并给予证明． ①垂直平分；②垂直平分． 【答案】（1）证明：∵是的角平分线 ，∴， ∵，分别是和的高， ∴， 在和中，， ∴； （2）①结论正确， 证明：∵， ∴， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】（1）用证明即可； （2）①结论正确，根据全等三角形的性质，得出，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半． （1）根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，为锐角，，_____．求证：_____． （2）证明上述命题： 【答案】（1）于点， （2） 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）依据题意即可补充完整； （2）根据等边对等角结合三角形内角和定理得到，由直角三角形锐角互余得到，再由角的和差即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得， 已知：在中，为锐角，，于点． 求证：． 故答案为：于点，； 【小问2详解】 略 23. 如表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高h．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 边长为的正方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 （1）如图3，长为，宽为的长方形，按如图3分割为若干个正方形和长方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 （2）如图4，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图4，指出下列正确的关系式________（填写所有正确结论的序号）； ① ② ③ ④ 任务3 （3）图案设计：如图5，请用1张A类纸片、5张B类纸片和若干张C类纸片拼成一个大长方形（三种纸片都要使用），请求出所用C类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可） 【答案】（1） （2）①②③ （3）6；或 【解析】 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式可直接得出答案； （2）根据拼图得出，，再根据代数式的运算逐项进行判断即可； （3）根据多项式乘多项式的计算方法以及图形面积的计算方法进行解答即可． 【小问1详解】 解：把图3当作长为，宽为的长方形计算面积为：； 分割成几个小正方形与小长方形进行计算面积为：， 整理得：； 【小问2详解】 解：由拼图可知，，， 因此①正确； ∴，即， 因此②正确； 得，，即； 得，，即， ∴， 因此③正确； ∴ ， 因此④错误； 故正确的关系式是①②③； 【小问3详解】 解：设需要张类纸片，则总面积为：， 设， ∴， 对比系数得：（是正整数）， ∴或， ∴或， ∴所用C类纸片需要4张或6张． 画图略． 24. 在实数范围内定义一种新运算，规定．（其中常数，） （1）若，，求； （2）若成立，求的值； （3）设，，且，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ，理由如下： 由新运算定义得： ， ， 则， ∴， ∵ ，， ∴ ， 当且仅当时等号成立， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即． 【解析】 【分析】（1）因为题目给出了两组新运算的具体值，所以将其代入新运算的定义式，可得到关于常数、的二元一次方程组，求解出、后，再将目标自变量代入新运算定义式计算结果． （2）因为等式恒成立，所以先将左右两边分别代入新运算定义式展开，再根据等式成立的条件（对应项系数相等）建立关系，进而推导的值． （3）因为要比较和的大小，所以先分别将、的表达式代入新运算定义式展开化简，再通过作差法计算，结合已知条件、判断差的正负，从而确定大小关系． 【小问1详解】 解：根据新运算定义，将已知条件代入得到二元一次方程组： 代入，得，即． 代入，得，化简得． 用加减消元法解方程组，两式相减得， 代入，得． ∴新运算为， 代入， 得． 【小问2详解】 解：按新运算展开等式两边： 左边． 右边． 两边相同的项可以直接消去，等式简化为：  ， 展开平方后整理，得， 已知， ∴． 【小问3详解】 略 25. 如图1，在中，，以为腰构造等腰，，点是边上一动点，连接，，，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）如图2，当时，若，，求线段的长； （3）用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）8 （3）解：，证明如下： 设，由（1）可知，， ∴， 在内部作射线，使，在射线上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， 又 ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴三点共线，即点在线段上， 作，则，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【解析】 【分析】（1）等边对等角，结合平行线的性质以及等量代换即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，平行线的性质，求出，进而求出的长，得到的长，再利用勾股定理即可得出结果； （3）在内部作射线，使，在射线上截取，连接，证明，得到，，等边对等角，求出，进而得到，推出点在线段上，作，证明，得到，进而得到，根据等角对等边，推出，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理，得； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2026-2027学年第一学期期中试卷 八年级数学 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 厦门珠绣是国家级非遗，它曾亮相央视《非遗里的中国》，为了更好地推广非遗，文创店推出四种珠绣杯垫，下列四个杯垫是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，已知，若要使得，则不能添加下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 8. 下列各式能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别平分和，设，，则下列关于，的等量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、是两个不相等的实数，满足，令，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 12. 点关于轴的对称点的坐标是_____． 13. 已知，，则的值为_______． 14. 如图，在中，是它的角平分线，，则_____． 15. 已知，，则的值是__________． 16. 如图，边长为6的等边三角形中，是高上的一个动点，连结，点在三角形外部，且，，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是_______． 三、解答题：共9小题，共86分． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，中， （1）求作点D，使点D在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，的周长为13．求的周长． 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接，交于点O． （1）求证：， （2）从下列两个结论中选择一个正确的结论，并给予证明． ①垂直平分；②垂直平分． 22. 求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半． （1）根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，为锐角，，_____．求证：_____． （2）证明上述命题： 23. 如表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高h．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 边长为的正方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 （1）如图3，长为，宽为的长方形，按如图3分割为若干个正方形和长方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 （2）如图4，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图4，指出下列正确的关系式________（填写所有正确结论的序号）； ① ② ③ ④ 任务3 （3）图案设计：如图5，请用1张A类纸片、5张B类纸片和若干张C类纸片拼成一个大长方形（三种纸片都要使用），请求出所用C类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可） 24. 在实数范围内定义一种新运算，规定．（其中常数，） （1）若，，求； （2）若成立，求的值； （3）设，，且，试比较，的大小，并说明理由． 25. 如图1，在中，，以为腰构造等腰，，点是边上一动点，连接，，，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）如图2，当时，若，，求线段的长； （3）用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $