福建省福州市鼓楼区格致中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区格致中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共40分，每小题4分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（　　） A．2，4，6 B．3，5，7 C．4，5，10 D．3，3，8 3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于y轴的对称点为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 4．（4分）下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（3a）3＝9a B．（a3）2＝a6 C．a8÷a4＝a2 D．a•a5＝a5 6．（4分）如图，在△ABE和△ACD中，AB＝AC，AE＝AD，则能说明△ABE≌△ACD的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7．（4分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6，AB＝10，则△EBC的周长为（　　） A．14 B．16 C．24 D．26 8．（4分）若4x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（　　） A．12 B．±12 C．±72 D．±6 9．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 10．（4分）已知a＝2444，b＝3333，c＝6222，比较a、b、c的大小（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 二、填空题（本大题共24分，每小题4分） 11．（4分）（﹣3）0＝　 　． 12．（4分）一个多边形的外角和是它内角和的2倍，则这个多边形是 　 　． 13．（4分）（2y2）3﹣（y3）2＝ 　 　． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为 　 　． 15．（4分）已知3a×27b＝81，则3﹣2a﹣6b的值为 　 　． 16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是 　 　． 三.解答题（本大题共86分） 17．（8分）（1）计算：（x﹣y）（x+5y）； （2）因式分解：2x2﹣8y2． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2． 19．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，AF＝DE，AF与DE交于点G，求证：∠A＝∠D． 20．（8分）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图： （1）作出△ABC关于直线MN的对称图形； （2）△ABC的面积为 　 　． 21．（8分）如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边PA上作点N，使得∠ANM＝2∠P； （2）在上（1）问的条件下，在边PA上求作点Q，使得∠QMB＝3∠P． 22．（10分）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合）连接AP，延长BC至点Q，使CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M． （1）∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； （2）在（1）的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明PC与ME之间的数量关系，并证明． 24．（12分）如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三 角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高h．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为a+2b，宽为a+b的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式 　 　（填写选项）； A．xy＝ B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张A类纸片、2张C类纸片和若干张B类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用B类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，过点B的直线l∥AC，点E是直线l上一动点． （1）如图1，作∠ECD＝60°，交BA延长线于点D，求证：AD＝BE． （2）如图2，点F在边BC上（点F不与点B、C重合），连接FE，作∠EFG＝60°，交直线AB于点G，连接EG．①若BC＝3，CF＝1，当△FGE周长最小时，求BE的长； ②当点E在直线l上运动的过程中（点E不与点B重合），猜想BE、BF、BG之间的等量关系，并说明理由． 2024-2025学年福建省福州市鼓楼区格致中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共40分，每小题4分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（4分）下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（　　） A．2，4，6 B．3，5，7 C．4，5，10 D．3，3，8 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、4+2＝6，不能够组成三角形，故本选项不符合题意； B、3+5＞7，能够组成三角形，故本选项符合题意； C、4+5＜10，不能够组成三角形，故本选项不符合题意； D、3+3＜8，不能够组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于y轴的对称点为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：点P（3，2）关于y轴对称点的坐标是：（﹣3，2）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握对称点横、纵坐标的关系是解题关键． 4．（4分）下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC的高，再结合图形进行判断即可． 【解答】解：线段AD是△ABC中BC边上的高的图是选项C． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（3a）3＝9a B．（a3）2＝a6 C．a8÷a4＝a2 D．a•a5＝a5 【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、（3a）3＝9a3，故A不符合题意； B、（a3）2＝a6，故B符合题意； C、a8÷a4＝a4，故C不符合题意； D、a•a5＝a6，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（4分）如图，在△ABE和△ACD中，AB＝AC，AE＝AD，则能说明△ABE≌△ACD的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】根据AB＝AC，AE＝AD，∠A公用，则可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，由此可得出答案． 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 7．（4分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6，AB＝10，则△EBC的周长为（　　） A．14 B．16 C．24 D．26 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝6+10＝16， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（4分）若4x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（　　） A．12 B．±12 C．±72 D．±6 【分析】首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3乘积的2倍． 【解答】解：∵4x2+kx+9是完全平方式， ∴这两个数为2x和3， ∴kx＝±2×2x×3， ∴k＝±12． 故选：B． 【点评】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 9．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案． 【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN． 10．（4分）已知a＝2444，b＝3333，c＝6222，比较a、b、c的大小（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【分析】把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【解答】解：a＝2444＝（24）111＝16111，b＝3333＝（33）111＝27111，c＝6222＝（62）111＝36111， ∵16＜27＜36， ∴a＜b＜c； 故选：A． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共24分，每小题4分） 11．（4分）（﹣3）0＝　1　． 【分析】根据零指数幂的运算法则直接计算． 【解答】解：（﹣3）0＝1． 故应填：1． 【点评】本题主要考查了零指数幂的运算．任何非0数的0次幂等于1． 12．（4分）一个多边形的外角和是它内角和的2倍，则这个多边形是 　三角形　． 【分析】根据多边形内角和的计算方法以及多边形的外角和是360°列方程求解即可． 【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得， （n﹣2）×180°×2＝360°， 解得n＝3， 即这个多边形为三角形， 故答案为：三角形． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的外角和是360°是正确解答的关键． 13．（4分）（2y2）3﹣（y3）2＝ 　7y6　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝8y6﹣y6＝7y6． 故答案为：7y6． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为 　3cm　． 【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DC，再利用BD＝2CD，BC＝9cm计算出DC，从而得到DE的长． 【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵BD＝2CD，BC＝9cm， ∴CD＝BC＝3cm， ∴DE＝3cm， 即点D到AB的距离为3cm． 故答案为3cm． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（4分）已知3a×27b＝81，则3﹣2a﹣6b的值为 　﹣5　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a×27b＝3a×（33）b＝3a×33b＝3a+3b＝81＝34， ∴a+3b＝4， ∴3﹣2a﹣6b＝3﹣2（a+3b）＝3﹣2×4＝3﹣8＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是 　3＜m＜4　． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△BDC（AAS），得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵点A（0，3）， ∴AO＝3， ∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC， ∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC， ∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO， ∴∠BAO＝∠CBD， 在△AOB和△BDC中， ， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴AO＝BD＝3，BO＝CD＝n＝a， ∴0＜a＜1， ∵OD＝OB+BD＝3+a＝m， ∴3＜m＜4， 故答案为：3＜m＜4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三.解答题（本大题共86分） 17．（8分）（1）计算：（x﹣y）（x+5y）； （2）因式分解：2x2﹣8y2． 【分析】（1）去括号，合并同类项计算即可； （2）提取公因式2，然后用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）（x﹣y）（x+5y） ＝x2+5xy﹣xy﹣5y2 ＝x2+4xy﹣5y2； （2）2x2﹣8y2 ＝2（x2﹣4y2） ＝2（x+2y）（x﹣2y）． 【点评】本题考查了多项式乘多项式、提公因式法与公式法的综合运用，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2． 【分析】利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷（﹣b） ＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷（﹣b） ＝（4ab+2b2）÷（﹣b） ＝﹣8a﹣4b， 当a＝1，b＝﹣2时，原式＝﹣8×1﹣4×（﹣2）＝﹣8+8＝0． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，AF＝DE，AF与DE交于点G，求证：∠A＝∠D． 【分析】先证明BF＝CE，再利用SSS证明△ABF≌△DCE，由此即可证明结论． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）， ∴∠A＝∠D． 【点评】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定，证明△ABF≌△DCE是解题的关键． 20．（8分）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图： （1）作出△ABC关于直线MN的对称图形； （2）△ABC的面积为 　7　． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）把三角形的没见面看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）△ABC的面积＝3×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×1×5＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 21．（8分）如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边PA上作点N，使得∠ANM＝2∠P； （2）在上（1）问的条件下，在边PA上求作点Q，使得∠QMB＝3∠P． 【分析】（1）作线段PM的垂直平分线交AP于点N，连接MN，点N即为所求； （2）以M为圆心，MN为半径作弧交PA于点Q，连接MQ，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图，点N即为所求． （2）如图，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 【分析】画出图形，写出已知，求证，取AB的中点D，连接CD．根据直角三角形的性质得到，推出△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， 求证：， 证明：取AB的中点D，连接CD． ∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点， ∴， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴BC＝CD＝DB， ∴． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合）连接AP，延长BC至点Q，使CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M． （1）∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； （2）在（1）的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明PC与ME之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝α﹣45°，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）由AAS证明△APC≌△QME，得出PC＝ME， 【解答】解：（1）∠AMQ＝135°﹣α；理由如下： ∵∠APC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝α﹣45°， ∵QH⊥AP， ∴∠AHM＝90°， ∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝135°﹣α； 解法二：∠AMQ＝∠MQB+∠B＝90°﹣α+45°＝135°﹣α． （2）结论：PC＝ME． 理由：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示： ∵AC⊥QP，CQ＝CP， ∴∠QAC＝∠PAC＝90°﹣α， ∵∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠QAM＝135°﹣α＝∠AMQ， ∴AP＝AQ＝QM， 在△APC和△QME中， ， ∴△APC≌△QME（AAS）， ∴PC＝ME， 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24．（12分）如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三 角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高h．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为a+2b，宽为a+b的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式 　A、B、C、D　（填写选项）； A．xy＝ B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张A类纸片、2张C类纸片和若干张B类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用B类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 【分析】任务一：从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积，再进行化简即可； 任务二：根据拼图得出m＝x+y，n＝x﹣y，再根据代数式的运算逐项进行判断即可； 任务三：根据多项式乘多项式的计算方法以及图形面积的计算方法进行解答即可． 【解答】解：任务一，∵大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，拼成大正方形5个部分的面积和为ab+ab+ab+ab+c2＝2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2； 任务二：由拼图可知，m＝x+y①，n＝x﹣y②， 因此B正确； ∴mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 因此C正确； ①+②得，m+n＝2x，即x＝， ①﹣②得，m﹣n＝2y，即y＝， ∴xy＝×＝， 因此A正确； ∴x2+y2＝（）2+（）2 ＝ ＝， 因此D正确； 故答案为：A、B、C、D； 任务三：如图，用3张A类纸片、2张C类纸片和7张B类纸片拼成了一个长为3a+b，宽为a+2b的大长方形．（答案不唯一） 【点评】本题考查多项式成多项式，平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征，多项式成多项式的计算方法是正确解答的关键． 25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，过点B的直线l∥AC，点E是直线l上一动点． （1）如图1，作∠ECD＝60°，交BA延长线于点D，求证：AD＝BE． （2）如图2，点F在边BC上（点F不与点B、C重合），连接FE，作∠EFG＝60°，交直线AB于点G，连接EG．①若BC＝3，CF＝1，当△FGE周长最小时，求BE的长； ②当点E在直线l上运动的过程中（点E不与点B重合），猜想BE、BF、BG之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据ASA证明△DAC≌△EBC可得结论； （2）①如图2，过点F作FH⊥l于H，作FD⊥AB于D，证明△DGF≌△HEF（ASA），则FG＝EF，确定当FG⊥AB时，△EFG的周长最小，如图3，从而可以解答； ②分三种情况：当点E在AB的下方时，如图4，在BG上截取BM＝BE，连接EM，证明△GEM≌△FEB（SAS）；当点E在AB的上方，点G在点B的左边时，如图5，证明△GEB≌△FEN（SAS）；当点E在AB的上方，点G在点B的右边时，如图6，证明△EFK≌△GFB（SAS），从而解答即可． 【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠ECD＝60°， ∴∠ECD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵l∥AC， ∴∠ABE＝∠CAB＝60°， ∴∠CBE＝60°+60°＝120°＝∠DAC， ∴△DAC≌△EBC（ASA）， ∴AD＝BE； （2）解：①如图2，过点F作FH⊥l于H，作FD⊥AB于D， ∴∠GDF＝∠EHF＝∠BDF＝90°， ∵∠DBH＝120°， ∴∠DFH＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵∠EFG＝60°， ∴∠DFG＝∠HFE， ∵∠ABC＝∠CBH＝60°，FH⊥l，FD⊥AB， ∴DF＝FH， ∴△DGF≌△HEF（ASA）， ∴FG＝EF， ∴△EFG是等边三角形， ∴当FG最小时，△EFG的周长最小， ∴当FG⊥AB时，△EFG的周长最小，如图3， ∴∠BGF＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BFG＝30°， ∵BC＝3，CF＝1， ∴BF＝2， ∴BG＝BF＝1， ∵△EFG是等边三角形， ∴EF＝FG， ∵∠EFG＝60°， ∴∠BFE＝60°﹣30°＝30°＝∠BFG， ∵BF＝BF， ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴BE＝BG＝1； ②分三种情况： 当点E在AB的下方时，如图4，BE、BF、BG之间的等量关系是：BG＝BE+BF，理由如下： 在BG上截取BM＝BE，连接EM， ∵∠EBA＝60°， ∴△EBM是等边三角形， ∴EM＝BE，∠BEM＝60°， ∵∠BEM＝∠FEG＝60°， ∴∠FEB＝∠GEM， ∵EF＝EG， ∴△GEM≌△FEB（SAS）， ∴BF＝MG， ∵BG＝GM+BM， ∴BG＝BF+BE； 当点E在AB的上方，点G在点B的左边时，如图5，BE、BF、BG之间的等量关系是：BF＝BE+BG，理由如下： 在BF上截取BN＝BE，连接EN， ∵∠EBC＝60°， ∴△EBN是等边三角形， ∴EN＝BE，∠BEN＝60°， ∵∠BEN＝∠FEG＝60°， ∴∠FEN＝∠GEB， ∵EF＝EG， ∴△GEB≌△FEN（SAS）， ∴BG＝FN， ∵BF＝BN+FN， ∴BF＝BE+BG； 当点E在AB的上方，点G在点B的右边时，如图6，BE、BF、BG之间的等量关系是：BE＝BF+BG，理由如下： 在BE上截取BK＝BF，连接FK， ∵∠EBC＝60°， ∴△BFK是等边三角形， ∴FK＝BF，∠BFK＝60°， ∵∠BFK＝∠EFG＝60°， ∴∠EFK＝∠BFG， ∵EF＝FG， ∴△EFK≌△GFB（SAS）， ∴BG＝EK， ∵BE＝BK+EK， ∴BE＝BF+BG； 综上，BE、BF、BG之间的等量关系是：BG＝BE+BF或BF＝BE+BG或BE＝BF+BG． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，垂线段最短等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$