精品解析：河北省沧州市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点M到其焦点的距离为，则点M到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为,点为边的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱柱的体积为V，用平行于底面的平面截该三棱柱，设三棱锥，位于平面上方部分的体积分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 10. 定义在上的函数满足：①，②的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 11. 布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动．如图所示的试验容器被分隔为1，2，3三个独立区域，某粒子进行布朗运动，粒子每次会从当前所在区域的全部通道中等可能地随机选择一条通道移动，移动结果为到达相邻区域或到达容器外部，粒子一旦到达容器外部便会被捕获，试验立即终止．设粒子初始位置为1号区域，表示粒子第n次移动后到达i号区域的概率，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 粒子最终从号区域到达容器外部的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为_______． 13. 已知函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是_______． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点P反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点P处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，C在点P处的切线与圆相切，若，则C的离心率_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床均生产同一种产品，现分别从甲、乙机床生产的产品中随机抽取56件、64件，产品质量统计结果如表所示： 甲机床 乙机床 等级 优秀 合格 优秀 合格 件数 24件 32件 48件 16件 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙机床生产的产品质量有差异？ （2）以样本估计总体，以频率估计概率，分别从甲、乙机床生产的产品中随机抽取2件，求抽取的这4件产品中，优秀产品的件数与合格产品的件数相等的概率． 附：， 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，在三棱锥中，，O是正三角形的中心． （1）证明：； （2）若，二面角为钝二面角，三棱锥的体积为，求二面角的正弦值． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，且经过点． （1）求C的方程． （2）设O为坐标原点，过F且斜率为的直线与C的左支交于A，B两点，其中A在第二象限，直线与C交于另一点D． （ⅰ）若的面积是的面积的2倍，求k． （ⅱ）若直线交x轴于点H，线段的垂直平分线交直线于点Q，探究是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数的定义域为I，若存在区间，使得，则称是“T函数”，是的一个“T区间”．已知函数是“T函数”，且是的一个“T区间”． （1）求实数m的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合交集的定义计算 的结果. 【详解】由，解得 ，即集合 ， 已知集合，所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】已知，可得 3. 已知抛物线上一点M到其焦点的距离为，则点M到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，抛物线的焦点，准线方程. 过点作准线，垂足为，交轴于点，连接，则. 根据抛物线的定义，得，则，即点M到x轴的距离为. 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的奇偶性、函数值的正负以及无穷远处的趋势，结合 的关系式对选项进行逐一判断. 【详解】由所给图象知，函数的图象关于轴对称，故为偶函数． 因为，且为奇函数，所以应为奇函数． 对于D选项，，为偶函数，不符合题意，故排除 D； 对于 B 选项，，当 时，，则，这与图象在上函数值为负不符，故排除 B； 对于 A 选项，，当 时，，即图象应有水平渐近线，但这与所给图象中时，不符，故排除A； 对于C 选项，，为奇函数．此时 ． 当时，，则； 当时，，则， 且当时，． 以上性质均与题中图象相符， 故 C正确． 5. 在中，内角的对边分别为,点为边的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过在两个相关三角形中应用余弦定理，结合已知边的关系求出三边长度关系，再代入余弦定理计算的值. 【详解】在中， 即，解得. 在中， 即，整理得，即. 所以. 6. 已知向量，，若向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量投影向量的坐标公式，结合题设给出的投影向量坐标建立方程，求解参数和，进而计算的值. 【详解】因为，， 所以， 所以向量在上的投影向量为， 所以，解得， 所以. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将化简为正弦型函数，根据图象平移规则求出，结合两函数的值域分析的成立条件，再推导对应、的表达式，最终计算的最小值. 【详解】 ， ， 由和的表达式可知，两函数的值域均为，两个取值在内的数，差的绝对值最大为， 当且仅当两数分别取到最大值和最小值时，差的绝对值为，因此分两类情况讨论： 当，时： 由，得，即， 因此，，解得，. 由，得，即， 因此，，解得，. ， 令，，则，， 当时，取得最小值； 当，时： 由，得，即， 因此，，解得，. 由，得，即， 因此，，解得，.， 令，，则， 当时，取得最小值. 综上，的最小值为. 8. 如图，三棱柱的体积为V，用平行于底面的平面截该三棱柱，设三棱锥，位于平面上方部分的体积分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查棱柱、棱锥体积及相似体体积比；连接，，，三棱柱分成三个等体积棱锥，各为；设，上方小棱柱内减去两个棱锥的对应部分即得，代入解出，再回代求. 【详解】 三棱柱被分成三个等体积的棱锥，其中 同理： 设，截面平行于底面，则. 因为，小棱锥与棱锥相似，故 因为，小棱锥与完整棱锥相似，故； 棱台 故 展开得. 化简得：，因式分解为，结合，得. 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式结合指数与对数的运算、导数研究函数的单调性与最值一一判定选项即可. 【详解】对于A项，易知，当且仅当， 即时取得等号，即A正确； 对于B项，易知， 当且仅当即时取得等号，显然与条件矛盾，即B错误； 对于C项，， 当且仅当，即时取得等号，即C正确； 对于D项，易知，所以， 又， 令，则， 即在上单调递减， 则，此时趋近于0，即D错误. 10. 定义在上的函数满足：①，②的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造辅助函数，由轴对称、中心对称推出的周期为 4；借助周期转化自变量，结合计算函数值、验证递推关系；求和时拆分为周期数列求和与等差数列求和，逐项判定选项. 【详解】条件②：由关于点中心对称，得， 令，得，即关于对称，令，得. 条件①：构造函数， 因为， 所以，故关于直线对称. 又， 所以 即关于点中心对称. 联立，得，把换成， 则，两式相减，得，故的周期为4. 求一个周期内的取值：，由对称轴得， 由，取. 选项A：由，得，故，A正确； 选项B：，B错误： 选项C：由的周期为4，得， 故，C正确； 选项D： 每一个周期，48共含12个周期，故 又，所以，D正确. 11. 布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动．如图所示的试验容器被分隔为1，2，3三个独立区域，某粒子进行布朗运动，粒子每次会从当前所在区域的全部通道中等可能地随机选择一条通道移动，移动结果为到达相邻区域或到达容器外部，粒子一旦到达容器外部便会被捕获，试验立即终止．设粒子初始位置为1号区域，表示粒子第n次移动后到达i号区域的概率，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 粒子最终从号区域到达容器外部的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先数清三个区域各有几个通道，写出一步转移概率；再用全概率公式把“第 次在 2 号”展开成上一状态的概率之和，比对系数；最后设从各区域出发、最终由 1 号区域出去的概率，列方程组. 【详解】先读图.粒子每次从所在区域的全部通道中等可能选一条： 1号区域有3个通道：左侧外壁1个、顶盖1个（都通外界），与2号区域隔板上的缺口1个（通2号）； 2号区域有3个通道：通1号、通3号、顶盖通外界，各1个； 3号区域有2个通道：与2号隔板上的缺口1个、顶盖1个. 于是一步转移概率为 ，； ； . A项：第次移动后粒子只可能在号区域，故. 第次移动后在号区域只有1→2→3一条路，.A正确. B项：第次移动后在2号区域，只能由第次在1号或3号区域转移而来， 故.B错误. C项：第次在号区域时，两步后回到号只有两条路： 2→1→2：；2→3→2：，合计. 若第次在号或号区域，每移动一次只能在相邻区域之间跳， 两步后仍回到号或号（或中途被捕获），不会落在号. 所以.C正确. D项：设为粒子从号区域出发、最终从号区域的通道出去的概率.按第一次移动的去向列式： ， ， . 得，即. 再代入，，得.D正确. 综上，正确的是A、C、D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由二项式系数的性质知，展开式中所有奇数项的二项式系数之和为. 由题意得，所以. 二项展开式的通项为. 令，得. 所以的系数为. 13. 已知函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用参变分离将零点问题转化为直线与分段函数图象的交点问题，分别讨论两段函数的单调性、极值与值域，数形结合求出满足恰有两个交点的参数范围. 【详解】参变分离构造函数： 当时，令，得；当时，令，得. 构造函数，由题知函数的图象与直线有且仅有2个交点. 当时，，单调递增，且； 当时，，令，，则在上单调递增； 令，，则在上单调递减，且. 作出的大致图象如图所示， 数形结合检验临界：恰有两个交点；时左段恰有两个交点；其余情况交点个数不为2. 实数a的取值范围是. 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点P反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点P处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，C在点P处的切线与圆相切，若，则C的离心率_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查椭圆光学性质、焦点三角形与切线到中心的距离；设切线与，的夹角为，，，中心到的距离分别为，，；求出，，再用余弦定理把用，表示，得到切线到中心距离的恒等式，代入条件求离心率. 【详解】 设切线与，的夹角均为，，到的距离分别为，， 中心到的距离为，记，. ，. 为中点，故； 由椭圆定义，故. 设，法线平分内角，切线与法线垂直， 故法线平分的外角，，. 在中，，由余弦定理， ， ，， 本题切线与圆相切，故； 又， 代入得，故. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床均生产同一种产品，现分别从甲、乙机床生产的产品中随机抽取56件、64件，产品质量统计结果如表所示： 甲机床 乙机床 等级 优秀 合格 优秀 合格 件数 24件 32件 48件 16件 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙机床生产的产品质量有差异？ （2）以样本估计总体，以频率估计概率，分别从甲、乙机床生产的产品中随机抽取2件，求抽取的这4件产品中，优秀产品的件数与合格产品的件数相等的概率． 附：， 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 依据小概率值的独立性检验，能认为甲、乙机床生产的产品质量有差异； （2） 抽取的4件产品中优秀件数与合格件数相等的概率为. 【解析】 【分析】（1）通过整理2×2列联表计算卡方统计量，与给定临界值比较完成独立性检验； （2）以频率估计概率，结合独立事件的概率运算规则，分类计算总优秀数为2的概率，即优秀与合格件数相等的概率. 【小问1详解】 零假设：甲、乙机床生产的产品质量无差异，整理2×2列联表如下： 优秀 合格 合计 甲机床 24 32 56 乙机床 48 16 64 合计 72 48 120 ，已知小概率值对应的临界值，由于， 因此拒绝零假设，即依据小概率值的独立性检验，能认为甲、乙机床生产的产品质量有差异； 【小问2详解】 以频率估计总体概率， 甲机床产品优秀率，合格率； 乙机床产品优秀率，合格率， 从甲、乙机床各随机抽取2件产品，共4件产品。若4件产品中优秀件数与合格件数相等， 则优秀件数为2、合格件数为2（总件数为4，两类件数相等时各为2件）， 设从甲机床抽取的2件产品中优秀件数为，从乙机床抽取的2件产品中优秀件数为， 由于抽取过程相互独立，与独立，且，， 包含三种互斥情形： ① ：甲抽2件均为合格，乙抽2件均为优秀， ； ② ：甲抽2件中1件优秀1件合格，乙抽2件中1件优秀1件合格， ； ③ ：甲抽2件均为优秀，乙抽2件均为合格， ； 根据互斥事件的概率加法公式，所求概率为 . 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）已知，整理得， 当时，把替换为得， 则， 整理得，即， 故是常数列，首项，故，即， 时，成立，时，， 故是首项为1、公差为1的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的递推关系作差，推出为常数列，求出通项后证明为等差数列； （2）代入通项拆分分式，通过裂项相消法计算前n项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，则， ． 17. 如图，在三棱锥中，，O是正三角形的中心． （1）证明：； （2）若，二面角为钝二面角，三棱锥的体积为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接、，因为，为的中点，得， 因为是正三角形，是它的中心，所以在中线上，且，即， 而，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）先找到二面角的平面角，再用余弦定理求出二面角的余弦值，再求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正三角形的边长为，故，是的中点，所以 ， 为中心，， 由（1）知平面，而平面，所以平面平面，且这两个平面的交线就是直线， 在平面内过作于， 因为平面且交线，由面面垂直的性质定理得平面，即就是三棱锥的高， 以为底面，， 由得， 在中，，由勾股定理 ， 而，说明不在线段上，而是落在的延长线上，如图， 所以， 是二面角的平面角，在中， ， 于是，在中 ， 再在中求：由、得 ， 在中，，，是等腰三角形，取的中点，得，且 ， 又平面，所以与关于平面对称；而平面，由对称性且是同一个垂足，， 因此就是二面角的平面角， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线C：的左焦点为，且经过点． （1）求C的方程． （2）设O为坐标原点，过F且斜率为的直线与C的左支交于A，B两点，其中A在第二象限，直线与C交于另一点D． （ⅰ）若的面积是的面积的2倍，求k． （ⅱ）若直线交x轴于点H，线段的垂直平分线交直线于点Q，探究是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）点，关于原点对称，则所以， 由题意知，，两式相减得， 又，，则， 由（i）可知，， 由题可得，（因为点在线段的垂直平分线上，所以） 所以， 因此不存在最大值. 【解析】 【分析】（1）由焦点得与的关系，代入已知点联立方程组，解出即可得方程； （2）（ⅰ）利用双曲线中心对称性转化面积关系，推导线段长度比例，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解斜率；（ⅱ）用点差法推导两条直线的斜率关系，结合垂直平分线性质转化角度，通过正切和角公式与基本不等式分析最值是否存在. 【小问1详解】 由题意得，得，，故的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题可得， 如图，过，分别作的垂线，垂足分别为，， 因为的面积是的面积的2倍， ， 所以， 又，所以，则， 设直线的方程为，，， 由，得， 则，且， 又，所以， 因为，所以，所以， 得，又，， 整理得，得，故； （ⅱ）略 19. 已知函数的定义域为I，若存在区间，使得，则称是“T函数”，是的一个“T区间”．已知函数是“T函数”，且是的一个“T区间”． （1）求实数m的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）令，则， 由得， 令，求导得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 极小值点为，则， 证明等价于证明， 当时，，而，故，即； 当时，，构造函数， 求导得， 令，求导得，时，故在上单调递减； 又时，，由单调性得， 即，故， 又得，故在上单调递减，故， 即，结合得， 由在递减，得，即， 综上可得，得证． （3）令，则是的两个零点， 求导得，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故极小值为， 令，只需证明且，则可得； 在时递增，且，故只需证， 令，则，代入得 ，代入化简， 不等式等价于， 令，，，故时，恒成立， 故，即； 在时递减，只需证，， 代入化简得不等式等价于， 令，故时，恒成立， 故，得， 故， 平方得． 【解析】 【分析】（1）利用单调递增，把T区间条件转化为方程有两不等实根，分离参数后构造函数求值域，得到m范围； （2）令，转化为的双零点问题，分区间讨论，构造辅助函数结合单调性证明； （3）把看作的两个零点，换元结合对数不等式，证明零点间距大于，平方得到结论． 【小问1详解】 因为，在上严格单调递增，由“T区间” 定义， 在上的值域为，等价于， 即方程有两个不相等的正实根，分离参数得， 令，则，若，，而，无解； 求导得，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取极小值，时；时， 当时，直线与有两个交点，对应方程有两个实根， 故的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $