湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026年秋季高二期中考试

数学

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

2. 已知，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. “NBA”篮球联赛正如火如荼举行，一次比赛中，某运动员获得连续罚球2次的机会，则至多有一次投中的对立事件是（    ）

A. 两次都不中 B. 至少有一次投中 C. 恰有一次投中 D. 两次都投中

4. 已知，，在上的投影向量为，则（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

5. 已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，连接并延长交轴于点，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A. 4 B.  C.  D.

8. 已知点，，点在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ）

A.  B. 平面

C.  D. 平面

10. 已知点是圆：上一动点，点是直线：上一动点，则下列说法正确的有（    ）

A. 点关于直线对称的点的坐标为

B. 圆上恰有两个点到直线的距离为

C. 的最小值为

D. 的最小值为

11. 在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（    ）

A.

B.

C. 的取值范围为

D. 的取值范围为

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，84，78，86，91，则这组数据的上四分位数为______.

13. “米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线：，：构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则______.

14. 已知函数设，，是三个不同的实数，且满足，则的最小值为______．

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知圆心为的圆经过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知直线过点，且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.

16. 已知函数的最大值为1.

（1）求常数的值；

（2）求使成立的的取值集合.

17. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时