湖北省圆创联盟2027届高三上学期11月调研测试数学试题

数 学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡 上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0)，B={x|-2≤x<2),则A∩B= A.{x|-1≤x≤2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|-2<x<2)} D.{x|-2≤x≤3} 2.复数(2一i)(1十i)在复平面内对应的点所在的象限是 A第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3(z后)》”的展开式中x的系数为 A.35 B.-35 C.280 D.-280 4函数fc)-3sim(2x+)x∈0，对)的单调递减区间是 Ab,月 B后周 c D.0.s]U 5.已知△ABC是边长为2的正三角形，D、E分别是BC、AC的中点，则BE·DE= A号 B号 C.5 D.3 6.若随机事件A和B满足条件：P(AB) 20,PA) 5,P(B)=5 ,则下列结论中错误的是 A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.PA+B)=别 40 D.PAB- y2 7.已知椭圆E:。十方=1a>6>0)的右焦点与抛物线C:y=2x(p>0)的焦点F重合，抛物线 C的准线与椭圆E相交于A、B两点.若△ABF是等边三角形，则E的离心率为 A.√2-1 B.√3-1 c 数学试卷第1页（共4页） 8.设a,b∈R.定义点M(a,b)的t-相伴集合为Aca,b)-:=(x,y)l|x-a|≤t,|y-b≤t},其中t 为正实数.给出以下两个命题： ①点M(a,b)的1一相伴集合Acab3-1所对应平面图形的面积为2； ②若b=a一3，对任意实数a,当0<t≤t。时，集合A4,b)-,所对应平面图形与曲线C:x2=4y均 无公共点，则t。<1. 以下正确的选项是 A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C,①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数fx)=号-4红十4，则 A.f(x)有最值 B.f(x)有三个零点 C.点(0,4)是曲线y=f(x)的对称中心 D.a>6>0,f(怡）<f(》 10.如图，在棱长为3的正方体ABCD一A,B1C1D1中，点E、F分别在线段BD、B1C上运动，G、H、 K分别为DD1、AD、DC的中点，则 D C A.三棱锥F一A1DC1的体积为定值 B B.不存在点F,使得FD1平面GHK C.直线DF与平面GHK所成角的正弦值的取值范围是 3,1 D.EF的最小值为√3 11.定义：平面内方向向量为n=(cosd,sin0)的直线上长度为1的线段为“9-1理想线段”，若对任意 0∈[0，π)，平移“0一1理想线段”，均可使其两端点在曲线C上，则称曲线C具有性质P.下列结 论正确的有 A.直径为1的圆具有性质P B曲线x+y= 2具有性质P 以电线乏】 千4一m2=1具有性质P D若猫圆后+之 十4=1具有性质P,则该椭圆的离心率e满足0<c<岩 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=xe,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程是 sin2x 1B.已知x1z,分别为函数f(x)=102z一8sinx在区间0，受）上的零点和极值点，则co1 ,sin(x1十x2)= 数学试卷第2页（共4页） 2an,n为奇数， 14.已知数列{a.}满足a1=1,am+1 若{an}的前n项和为Sn,则使得Sn≥2027 2a.十1，n为偶数. 成立的正整数n的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，AB=√6，∠ABC=45°，∠ACB=60°. (1)求AC的长； (2)延长BC至点D,若AD=√19，求△ACD的面积. 16.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,BD=BC=√3，AB=2. (1)若BC⊥BP,证明：AD/平面PBC; (2)若DC∥AB,求二面角A一PC-D的余弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=x-a-(a+1)lnx(a∈R). x (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数g)=fx)十a(女+）-x有2个零点x1x,红，<r,),求证：lhnx1十lnr,>2. 数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知椭圆C名+1a>力>0的长轴长为22，HG分别为左、右顶点，T为C上异于丑 G的任意一点，且直线TH,TG的斜率之积为-2F,和F,分别为椭圆的左，右焦点。 (1)求C的方程； (2)过F1的直线交C于A、B两点(A、B均异于左、右顶点). (ⅰ)求△ABF2面积的最大值； (ⅱ)设C在A,B两点处的切线分别为l1,l2,l1与l2相交于点D.试问：点D是否在定直线 上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由 19.(17分) 质点在数轴上0,1,2,3,4,5所对应的点之间游动，其中0和5所对应的点为吸收壁，即质点一旦 到达0或5所对应的点，就立刻停止游动.当质点位于k(k=1,2,3,4)所对应的点时，向右游动到 k十1所对应的点的概率是行，向左游动到k-1所对应的点的概率是号，设P,表示质点从k所 对应的点出发最终被吸收壁5吸收的概率， (1)写出P。、P5,并求数列{P}的通项公式； (2)质点从k所对应的点出发，直到被吸收停止，所游动步数的期望记为E。,求E2; (3)记事件A:质点最终被吸收壁5吸收.在事件A发生的条件下，质点从所对应的点出发所 游动步数的期望记为F。,求F2, 数学试卷第4页（共4页）数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B A D B B 0 BC ACD ABD 1.【答案】B 【详解】因为A={x|x2-2.x-3≤0}={x-1≤x≤3}，B={x|-2≤x<2, 所以A∩B={x|-1≤x<2}.所以选B. 2.【答案】A 【详解】因为(2-i)(1+i)=2一i十2i一=3十i,所以复数(2+i)(1-i)在复平面内对应的点为(3,1)， 在第一象限.所以选A. 3.【答案D 2 解女二2的展开式的通项为T-C )=C(-2)x1(k=0,1,2,…,7). 4 令7-3k=3,得=3.所以T=C(-2)x3=-280x3,所以x3的系数为-280.所以选D. 4.【答案】B 【详解】曲2必x十登≤2x十≤2kx+3受k∈Z,解得kx+晋<r<kx+当k=-0时，百<≤所 以选B. 5.【答案】B 【详解压为硫.成-专B+)·厨=+成·脑-，所以进B 6.【答案】A 【详解]由P(B)=8知PB)= 81 所以P·PB)-号X号易-PcAB.所以A与B相百骏立B正确： 因为PA一B=PA)-PB)-PAB,=号+营-号×号-别所以C正病： 因为PAB)=1-PA)·PB)-号×8-所以D正确： 因为PAB)=PA)一PAB)=号》≠Q所以A与B不互斥，A错误所以选A 23_1 7.【答案C 【详解设E的左焦点为R,则1AP1=2,所以AF-长，AF,-AP1=2 3 数学试卷参考答案与详解第1页（共7页） 因为AF十1A,-2a,所以爱-2a,屏得后-受即e- 3所以选C 8.【答案】D 【详解】由Acab)1={(x,y)|x一a≤1，|y一b≤1}，知点M(a,b)的1-相伴集合Aca,-1所对 应的平面图形为边长为2的正方形，其面积为4，所以①是假命题； 若b=a一3，则M(a,b)在直线l1:y=x-3上运动，可以求得平行于直线l1且与曲线C:x2=4y相切 的直线为l2:y=x一1，而直线l1与12间的距离为√2，所以②是真命题.所以选D. 9.【答案】BC 【详解】由f'(x)=x2一4，知∫(x)在(-0，一2)与(2，十o)上单调递增，在（一2,2）上单调递减，且 f(-2)>0,f(2)<0,f(0)=4.所以选BC. 10.【答案】ACD 【详解】因为B1C∥A1D,所以B1C/平面A1DC1,所以三棱锥F一ADC,的体积为定值，A正确： 当点F重合于C时，由CD1GK,得FD1平面GHK,B错误； 当点F运动到C和B,时，直线DF与平面GHK所成角取得最小和最大，计算得正弦值取值范围是 图.cE瑞 过点F作FRLBC于R,连接ER,则FRLR.令BE=m,CF=I,AB=a,易知FR=CR= 2n. 在△BR中，BR=。号°+m-2mla竖ms5, 所以EF2=ER2+FR2=n2+(m-√2a)n+m2-√2ma+a2 =+)+m-t, 所以EF≥ 3a.当a=3时，EF≥3，D正确.所以选ACD 11.【答案】ABD 【详解】问题可转化为曲线在任意方向上都存在两点之间的距离等于1. 考虑圆的直径为1，所以A正确： 曲线x十1-号是正方形，考虑正方形的边长为1，所以B正瑞： 考虑双曲线的实轴长，所以C错误； e2=-2n2-4 e2=4-2m2 =2 4-m2 1 m 22 考虑椭圆的短轴长不小于1，所以 或者 1 m2>4-m≥4， 4-m2>m2≥4 1 解得0<e<治所以D正确，所以选AD 数学试卷参考答案与详解第2页（共7页） 12.【答案】y=x 【详解】由f'(x)=e(x十1)，f'(0)=1,所以切线方程为y=x. 13.【答案】8 (2分) 3w7+√3 16 (3分) sin2x 【详解】f(x) 1-cos2.x -8ix=8si.由fx,)-0,得c0s1=8 coS. 因为x∈(o,2,所以si,=3 8.又f'(x)=1 cos2x 80,由f,)=0,得cos,=8 1 因为x,∈(0，)，所以cosx,= s:-所拟n,-37 16 14.【答案】11 2a,n为奇数，，a2%+1=2a2e十1=4a2%-1+1, 【详解】由a+1= 得 2an十1，n为偶数， a2k+2=2a2k+1=4a2%+2. 4-1 a2k-1= 3 41=6X4一9k-6 9 又因为a1=1,a2=2,所以 所以 2×4-2 3X4+1-9k-12 3 S2%= 计算得S1o=1359,S11=2724,所以正整数n的最小值是11. 15.【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理，得 AC AB sin∠ABC sin∠ACB …(2分) 又AB=√6，∠ABC=45°，∠ACB=60°， 所t以AC-ABsin ABC-5Xm45°=2.…（6分) sin∠ACB sin60° (2)∠ACD=180°-∠ACB=120°.…(7分) 在△ACD中，由余弦定理，得AD=AC2十CD2-2AC·CD·cOs∠ACD.…(8分) 将AC=2,AD=√19，∠ACD=120代入，得CD2-2CD-15=0.解得CD=3.…(10分) 所以，△ACD的面积为7×ACxcDxsin-ACD-号×2X3×-3y3. 221 …(13分) 16.【详解】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.… (1分) 又因为BC⊥BP,PD∩BP=P,且PB,PDC平面PBD,所以BC⊥平面PBD.…(2分) 又BDC平面PBD所以BC⊥BD.…(3分) 在△ABD中，AD=1,BD=3,AB=2,所以AD⊥BD,所以ADBC.…(5分) 又BCC平面PBC,所以AD/平面PBC.…(6分) (2)由(I)知以DA、DB、DP所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系.…(7分) 因为c,所以∠mC=30.所以(-，39.oD0,0.0A,0.0P0.01. 所以Pi=10,-1)F-(-8,3,- …(8分) 数学试卷参考答案与详解第3页（共7页） 设平面PCA的法向量为n=(x,y,之).由PA·n=(1,0,-1)·(.x,y,之)=0，得x-之=0. 由P元m=( 333 取n=(35,5,35. …(10分) 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z).由PD·m=(0,0,-1)·(x,y,之)=0，得之=0. 取m=(5,1,0）.…… (12分) m·n 147√/79 所以cosn〉=m.n=/79X279 (14分) 所以二面角A-PC-D的余弦值为丽」 791 (15分) 17.【详解】(1)f(x)的定义域为(0，十0).… …(1分) 对f(x)求导，得f'(x)=1+0-a十1D=x-a)x-1) …(2分) x ①若a≤0，当x∈(0,1)时，f'(x)<0;x∈(1，+o)时，f'(x)>0.此时f(x)在(0,1)上单调递减，在 (],十叨)上单调递增；…(3分) ②若0a<1,当x∈(0，a)时，f'(x)>0;当x∈(a,1)时，f'(x)<0;当x∈(1，+m)时，f'(x)>0. 此时f(x)在区间(0，a)和(1，十o)上单调递增，在区间(a,1)上单调递减；…(4分) ③若a=1,当x∈(0，十o)时，f'(x)≥0，此时f(x)在区间(0，十o)上单调递增；…(5分) ④若a>1,当x∈(0,1)时，f'(x)>0;当x∈(1，a)时，f'(x)<0;当x∈(a,十w)时，f'(x)>0.此 时函数f(x)在区间(0,1)和(a,十o)上单调递增，在区间(1，a)上单调递减.…(6分) (2)解法-：由ga)=fa)+a(+) -x=ax-(a+1)lnx,得 a.x1=(a+1)lnx1,a.x2=(a+1)lnx2. …（7分) fa(x1十x2）=(a十1)ln(x1x2), 两式分别相加减，得 ax-x)=(a十1)n x2 消去a,得n(x1r2)=十.n当 (8分) C1一C2 令1=0<1<1)，则1n1,)= …(9分) 要证az1+ln>2,只需i证nx1x,)-告>2，即E十1Dm一2L-1)<0.10分 设h(t)=(u+1)lnt-2(t-1)(0<t<1),则h'()=lnt+ (11分) 记pa)=lh+-1,则p')=2<0. 12 所以p(1)在(0,1)上单调递减. (12分) 数学试卷参考答案与详解第4页（共7页） 因为p(1)=0,所以h'(1)>h'(1)=0,所以h(1)在(0,1)上单调递增， (13分) 所以h(1)<h(1)=0.… (14分) 所以x1x2>e2,所以lnx1十lnx2>2. (15分) 解法二：由ga)-fa)ta(+）-x-ax-a十1D1r,知 ax1=(a十1)lnx1,ax2=(a十l)lnx2.… …(7分） fa(x1十x2）=(a十1)ln(x1x2), 两式分别相加减，得 a (I-z2)=(a+1)I 消去a,得n(x,t)=十·1h …(8分) x1一x2 令1-201<1，则1n12g）-当.（9分) 1 记9-告m0<,则u)= -2Int (t-1)2· (10分) 令R0）=1-2,则R'）-2十l0. 12 (11分) 所以R(t)在(0,1)上单调增.而R(1)=0,所以R(t)<0在t∈(0,1)上恒成立.…(12分) 即p'(t)<0,从而p(t)在t∈(0,1)时单调递减.…（13分) lnt++1 又因为lime(t)=lim [(t+1)ln]' t (t-1)' -=2,所以9(1)>2， 即ln(x1x2)>2,所以lnx1十lnx2>2.…(I5分) 18.【详解】(1)设T(c,y),由题意知，km·k=y 污·2E日化简得号+y=10≠0 y 所以指图C的方程为写+y= …(2分) (2)(1)依题意直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my一1. ,得(m2+2y22咖y-1=0. -1 设A(x1y1),B(x2y2),则y1十y2= 2m m2+2y1y2= m2+2 …(4分) 2m 12 所以|y1-y2 m2+2/ -4X1_2W2(m2+D m2+2 m2+2 …(5分) 所以SAa,=2·FF2·ly1y= 2√2(m2+1) …(6分） m2+2 224=2反<厄. 令=m+>1,则Sa,+1十 1 当且仅当t=1,即m=0时取等号. 数学试卷参考答案与详解第5页（共7页） 所以△ABF2面积的最大值为√2.… …(8分) (iⅱ)设过C上点P(xoyo)的切线方程为y-y0=k(x一xo): =1消去y,得(+a2k)x2+2ak(yo-kx)x十a2[(y0-kxo)2-b]=0.…(9分) 由△=0，得k= (10分) a"yo 代人切线方程化简，得202+=1. a2b2 (11分) 所以该椭圆上过点A(x1)的切线方程可以表示为2+y=1,过B(xy,)的切线方程可以表 示为2十5%y=1 (13分) (tize+yyp=1. 2 设D(xDyD),则 zizp+yiyp=1. 2 说明A(xy).B(1:)都满足方程十yny=1,则直线AB的方程为受十yny=1。 因为直线AB过F1(-1,0),所以号X(-1)十yX0=1,解得cn=一2. …(16分) 所以点D在定直线x=一2上…（们7分） 19.【详解】(1)由题知P。=0,P,=1. 由全概率公式，有P:=P十号P-1所以P1=3P-2P1=1,2.3,.1分) 所以P+1-P=2(P。-P-1),所以P+1-P6=(P1一Po)2, 累加得P+1=(2+1-1)P1.… …(2分) 又P,=1,所以P=3 …(3分) 所以数列{P}的通项公式为P。= 2-1 31· …(4分) (2)由题意知E。=0,E5=0. …(5分) 由E-3E+号E+, 2 得E+1=3Ek一2E-1一3.… …(6分) 设上式等价于E+1一入E。一u=(E。一入E6-1一u) t+λ=3， ft=2, 从而有一=一2，解得入=1， 4-tμ=-3， μ=3. 所以E+1一E一3=2(E6一E-1一3). 所以{E。一E6-1一3}是公比为2的等比数列。…(7分) 数学试卷参考答案与详解第6页（共7页） 不妨设E。一E61一3=A·2, 所以Ek-E6-1=A·2+3. 所以E。=(E一E-1)十…十(E1一E)十E。 =A·(2+…十2)+3k =A·(2+1-2)十3.… (8分) 由E,=0,得0=62A十15，所以A=- 15 62 …(9分) 所以R=设-一点-2列=3-g-1. 62 45141 所以E2=63引=31· (10分) (3)设位置处向左移为事件B,则P(BA)=PCAB)_3 P122 P(A) P 4=3(2-1)=.…(12分) 所以向右移的概率为1一 2-22+1-1 3(2-1)3(2-1) =1-b,k=1,2,3,4.…（13分) 因为Fk=t(Fk-1十1)+(1-t6)(F6+1十1) =tF6+(1-t)F+1+1 2-2 2-1F+1(k=2,3,4),且F,=0.…( 32-F+32- (15分) 计算列表如下： 位置k 向左移的概率t 向右移的概率1一t 1 0 1 2 2 7 9 3 7 7 4 4 4 所以R=F+1.r,=号F+号P+1R=P+F+1E=0+ 185 解得F2=31 (17分) 数学试卷参考答案与详解第7页（共7页）