精品解析：新疆克拉玛依市高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

克拉玛依市高级中学2026—2027—1高二年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（客观题共58分） 注意事项：1、本卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．考生将自己姓名、班级、考号分别填写在答题卷左侧装定线以内相应位置． 一．单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线经过两点，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为：，圆心，半径； 圆的标准方程为：，圆心，半径； 圆心距， 则，故两圆相交． 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，因为两条直线互相垂直，所以 ，得，解得. 4. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 5. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 6. 直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理的弦长公式计算弦长. 【详解】圆心 到直线 的距离 . 所以 ． 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 底面，底面是边长为的正方形， 以为坐标原点，分别以为的正半轴，建立空间直角坐标系， 则， 又，即为的中点，所以， ， 设平面的法向量为， ，令，则，所以， 点到平面的距离为. 8. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数解析式配方转化为轴上动点到两定点的距离之和，利用对称法结合两点之间线段最短求解最小值. 【详解】 ，根据平面内两点间距离公式， 该式表示轴上的动点 到定点 的距离 ， ， 同理，该式表示动点 到定点 的距离， 因此原函数 ，问题转化为：当点在轴上运动时，求 的最小值； 由于定点均位于轴同侧，作点 关于轴的对称点，由轴的对称性可得的坐标为 ，且对任意 恒有 , 因此 ， 当 三点共线时， 取得最小值，该最小值等于线段 的长度. . 因此原函数的最小值为5. 二．多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由点到直线距离公式求结论即可判断，对于选项B，根据截距的定义求截距即可判断，对于选项C，根据斜率关系判断两直线是否垂直即可，对于选项D，由斜率关系和截距关系判断两直线是否平行，结合平行直线距离公式求距离判断结论. 【详解】对于选项A：根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离​，A正确； 对于选项B：由，令，可得，即，直线在轴上的截距为而非，B错误； 对于选项C：直线的斜率，直线的斜率，满足，因此两直线互相垂直，C正确； 对于选项D：直线的斜率为，在轴上的截距为， 直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线的斜率相等、在轴上的截距不同，所以两直线平行； 根据平行线距离公式可得两直线间的距离，D错误. 10. 已知正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 三棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 【答案】AB 【解析】 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，． A：，，，所以 ，两异面直线所成的角为 ，正确． B： 是以 为直角边、边长为 的等腰直角三角形，面积 ； 点 到平面 的距离为 ，所以 ，正确． C：平面 的一个法向量 ．设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ，，错误． D：，．设平面 的法向量为 ， 由 ，得，取，得 ． 设两平面所成的锐二面角为 ，则 ，，错误． 11. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先得到，，由两点间距离公式可得A正确；B选项，代入原点坐标，求出，得到圆的方程，从而得到点在圆上；C选项，根据圆心距和两圆半径的关系得到方程，求出；D选项，两圆相减可得相交弦方程. 【详解】A选项，圆的圆心为，圆的圆心为， 则，A正确； B选项，若坐标原点在圆上，则，故， 故圆的方程为， 将代入可得，故点在圆上，B正确； C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由A知，， 若圆与圆内切，则，解得，C错误； D选项，时，圆：，圆：， 两圆相减得，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【详解】若方程表示圆，则，得，故的取值范围为. 13. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【解析】 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为， 直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 14. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1）， （2）与的夹角为 （3）实数的值为 【解析】 【分析】（1）由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量的夹角公式代入计算，即可得到结果； （3）由两向量垂直可得其数量积为零，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，则， ，则. 【小问2详解】 ， 则， 又，所以. 【小问3详解】 ， ， 因为向量与互相垂直， 所以， 即， 解得. 16. 已知直线：，：，：． （1）直线与直线的交点，求点的坐标； （2）直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求的面积； （3）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，解方程组即可求解； （2）分别求出点，再利用三角形面积公式即可求解； （3）根据两直线垂直的斜率关系，求出直线 的斜率，再由直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 联立 ，两式相加得 ，即 ， 代入 得 ， 故 . 【小问2详解】 令 得 ，令 得 ， 则 ． 【小问3详解】 的斜率为，故 的斜率为2， 由点斜式得 ， 所以直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别在棱，上，是的中点. （1）若是的中点，求直线与平面所成的角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系；利用空间向量法求线面角； （2）利用空间向量法求两平面夹角. 【小问1详解】 以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则，，，. 由题意，是的中点，则； 故，，； 设平面的法向量为， 则；令，得； 记与平面所成角为，则， 故；故与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，，故，故； 又，，平面， 平面，故平面； 故平面的法向量；平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】（1）（i）或. （ii）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 19. 已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，.理由如下： 因为，所以，. 设，，则， 因为点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）. 所以，即， 所以在棱上存在点，满足点到平面的距离为，此时. 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两平面所成角的余弦值. （3）利用空间向量，根据点到平面的距离确定点位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱是各棱长均为2的正三棱柱， 取中点，则两两垂直. 故可以为原点，所在射线分别为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以. 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克拉玛依市高级中学2026—2027—1高二年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（客观题共58分） 注意事项：1、本卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．考生将自己姓名、班级、考号分别填写在答题卷左侧装定线以内相应位置． 一．单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 10. 已知正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 三棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 11. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 第Ⅱ卷（共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 13. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 14. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值． 16. 已知直线：，：，：． （1）直线与直线的交点，求点的坐标； （2）直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求的面积； （3）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别在棱，上，是的中点. （1）若是的中点，求直线与平面所成的角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 19. 已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $