精品解析：重庆市第十一中学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

重庆十一中教育集团2026-2027学年度上期八年级半期考试 数学试题 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 满足的三个正整数、、，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. 1.5，2，2.5 D. 7，24，25 4. 在平面直角坐标系中，点坐标为，则点到轴的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 40辆车运40石粮食，大车每车运3石，小车每2辆车合运1石．大车、小车各有多少辆？设大车有辆，小车有辆，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应该在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 如图，已知圆柱底面的周长为5，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点刚好是边的中点，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的等腰直角线，把这个四边形叫做等腰直角四边形；已知四边形是等腰直角四边形，对角线是它的等腰直角对角线，且恰是分得的等腰直角三角形的一条直角边．又，，则的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2 10. 如图，Rt中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积，则=（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：______． 12. 已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是_____． 13. 已知关于的方程组有非负整数解，则正整数为_____． 14. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示：化简_____． 15. 已知平面直角坐标系中，，动点从出发沿轴以每秒5个单位的速度向左运动，同时点从出发沿轴以每秒1个单位的速度向下运动．设运动时间为秒，当与的面积相等时，的值为_____． 16. 在中，，，，点在的延长线上，连接．以为边作等腰直角三角形，其中点为直角顶点，即，且点在直线上方，连接，若，则的长为_____． 三、解答题：（共86分，17，18每小题8分，19-25每小题10分） 17. 解方程（组）： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2） 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出以下顶点的坐标；_____，、_____； （2）在网格中画出关于轴对称的，并写出顶点关于轴对称的点的坐标； （3）求出的面积． 20. 如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 21. 列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． （1）求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ （2）该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 22. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）拖拉机由向移动过程中，学校受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的速度为米/分，则拖拉机噪声影响学校持续的时间有多久？ 23. 阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 24. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 25. 如图，在等腰直角中，，为线段上的一点，为延长线（含端点)上的一点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，求证：； （3）若，将沿着直线翻折到所在的平面内得到，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团2026-2027学年度上期八年级半期考试 数学试题 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是分数，是整数，是有限小数， ∴三者均为有理数， ∵是无理数， ∴是无理数． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除运算法则，二次根式的性质逐一排除即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3. 满足的三个正整数、、，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. 1.5，2，2.5 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股数必须为正整数的条件排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A选项中、不是正整数，C选项中1.5、2.5不是正整数，均不符合勾股数定义; B选项中三个数为，，，，，，不符合; D选项中7，24，25均为正整数，且，符合勾股数定义． 4. 在平面直角坐标系中，点坐标为，则点到轴的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：点到轴的距离为． 5. 40辆车运40石粮食，大车每车运3石，小车每2辆车合运1石．大车、小车各有多少辆？设大车有辆，小车有辆，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设大车有辆，小车有辆，根据“40辆车运40石粮食，大车每车运3石，小车每2辆车合运1石”．列出方程组，即可求解． 【详解】解：设大车有辆，小车有辆，根据题意得： ． 6. 估计的值应该在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式除法法则化简原式，转化为含单个无理数的形式后估算取值范围． 【详解】解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 7. 如图，已知圆柱底面的周长为5，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为5，圆柱高为3， ∴， 在中，， ∴这圈金属丝的周长最小为． 8. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点刚好是边的中点，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，由折叠的性质可知：，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵刚好是边的中点， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 9. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的等腰直角线，把这个四边形叫做等腰直角四边形；已知四边形是等腰直角四边形，对角线是它的等腰直角对角线，且恰是分得的等腰直角三角形的一条直角边．又，，则的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】先由等腰三角形三线合一及30度角的性质得到，再根据勾股定理求出的长度，再判断等腰直角三角形为，分直角顶点在、两种情况计算的长． 【详解】解：过点作于点． ∵，， ∴，． ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴不是等腰直角三角形． ∵是等腰直角对角线，且是等腰直角三角形的直角边， ∴是等腰直角三角形，为直角边． 分两种情况：①当直角顶点为时，如图， 可知，； ②当直角顶点为时，如图， 可知，， 由勾股定理得． 综上，的长为或． 10. 如图，Rt中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积，则=（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理得出三个等腰直角三角形面积之间的等量关系，结合图形面积的割补法，建立关于的方程求解． 【详解】解：设重合部分面积为，重合部分面积为， Rt中，， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ，即， 解得． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果． 【详解】解：因为 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12. 已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值，再代入计算的算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∵的立方根是， ∴，整理得， 联立得：， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为． 13. 已知关于的方程组有非负整数解，则正整数为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，结合非负整数解、正整数的限制条件，筛选出符合要求的值. 【详解】解： ∵ ①+②可消去， ∴ ， 解得， 将代入②， 得， 解得 ， ∵ 方程组的解为非负整数，且为正整数， ∴ 是5的正因数，且均为非负整数. ∵ 5的正因数为1,5， ∴ 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，此时，，均为非负整数，符合要求． 14. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示：化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据立方根和二次根式的性质化简，结合数轴化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：， 由数轴得，， ， 原式． 15. 已知平面直角坐标系中，，动点从出发沿轴以每秒5个单位的速度向左运动，同时点从出发沿轴以每秒1个单位的速度向下运动．设运动时间为秒，当与的面积相等时，的值为_____． 【答案】1或4 【解析】 【分析】根据运动速度写出t秒后P、Q的坐标，利用坐标轴上的线段作为三角形的底，对应点到坐标轴的距离作为高，分别表示两个三角形的面积，建立绝对值方程求解． 【详解】解：如图， ∵点P从出发沿x轴向左以每秒5个单位运动， ∴P的坐标为， ∴， ∵ 点Q从出发沿y轴向下以每秒1个单位运动， ∴， ∵与的面积相等， ． 解得：或， ∴ t的值为1或4． 16. 在中，，，，点在的延长线上，连接．以为边作等腰直角三角形，其中点为直角顶点，即，且点在直线上方，连接，若，则的长为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】过点E作交的延长线于点F，证明，可得，设，则，可得，，再根据，求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点E作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题：（共86分，17，18每小题8分，19-25每小题10分） 17. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 解得：或； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出以下顶点的坐标；_____，、_____； （2）在网格中画出关于轴对称的，并写出顶点关于轴对称的点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1），； （2）如图，即为所求； ，； （3）． 【解析】 【分析】根据点，在坐标系内的位置可得其坐标； 分别确定，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据点位置可得其坐标； 利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系可得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 图略， 由平面直角坐标系可得； 【小问3详解】 解：的面积为 ． 20. 如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 21. 列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． （1）求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ （2）该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 【答案】（1） 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 （2） 的值为16 【解析】 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【小问1详解】 解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； 【小问2详解】 解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． 22. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）拖拉机由向移动过程中，学校受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的速度为米/分，则拖拉机噪声影响学校持续的时间有多久？ 【答案】（1）学校受噪声影响，理由如下： 过点作，垂足为， 已知，，， ， 是直角三角形，， 由三角形面积公式：， ， 代入数值：， 解得：， ， 即点到公路的距离小于噪声影响范围， 拖拉机由向移动过程中，学校受噪声影响． （2）拖拉机噪声影响学校持续的时间为2分钟． 【解析】 【分析】（1）过点作于，先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再用等面积法求出点到公路的距离，将与噪声影响半径130m比较，若，则学校受噪声影响． （2）以为圆心，130m为半径画圆，交于、两点，拖拉机在段行驶时学校受噪声影响；利用勾股定理算出长度，得到受影响路段总长，再结合速度公式求出持续时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设以为圆心，为半径画弧，交直线于、两点， 当拖拉机在、之间行驶时，学校会受到噪声影响，， 在中，由勾股定理： ， 在中，由勾股定理： ， ． 又拖拉机速度为米/分， 持续时间：（分钟）． 23. 阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； 【小问2详解】 解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； 【小问3详解】 解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． 24. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】 （）画图如下： ； （）如图， ，； （） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 25. 如图，在等腰直角中，，为线段上的一点，为延长线（含端点)上的一点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，求证：； （3）若，将沿着直线翻折到所在的平面内得到，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）证明：如图所示， 将绕点逆时针旋转，则与重合，得到，连接， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴ （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度，最后利用二次根式的运算法则求解； （2）将绕点逆时针旋转，则与重合，得到，连接，利用旋转得出相等的边和角，得出直角三角形，然后利用直角三角形的性质以及角的和差得出，证明，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）根据翻折的性质得出相等的边，然后利用等腰三角形的定义和性质，分三种情况进行讨论，利用勾股定理以及二次根式的运算法则进行求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：示意图如图所示， 由（2）以及翻折的性质可得， ①当时，， ∴，点与点重合， ∴， ∴由勾股定理得， 解得； ②当时，， ∴，点与点重合， ∴， ∴由勾股定理得， ∴； ③当时，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，由勾股定理得， 由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $