精品解析：湖南长沙市湖南师大附中集团2026-2027学年九年级上学期期中联考数学试卷

九年级数学期中检测卷（问卷） 2026．11 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 3. 如图，四边形是的内接四边形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：四边形是的内接四边形，则， 故选：B． 4. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立， 那么点应该在圆内或者圆上. 故选D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定． 根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，找出符合要求的答案即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使，只要就行， ∵， ∴还需要添加条件即可得到（等量代换）， 故选：B． 6. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到抛物线的顶点坐标为，开口向上，解答即可． 【详解】解：根据题意，C符合要求． 7. 五位同学投掷实心球的成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 1.60 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（ ） A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵组内离差平方和越小，组内同学水平越接近， 四个方案的组内离差平方和分别为，，，，且， ∴方案③的组内离差平方和最小，分组最合理. 8. 若实数，为关于的方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出与，整体代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 9. 如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质与菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，结合三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 10. 若二次函数的图象经过，，，，且，，，四个数中有且只有一个小于，则的值可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，由对称性得，再按开口方向分类讨论各函数值的大小关系，结合“四个数中有且只有一个小于”列出不等式求出的取值范围，最后与各选项比对即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当时，抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， ∵， ∴， 若，则，此时小于的函数值有两个，与“四个数中有且只有一个小于”矛盾，故不成立， 若，则，此时函数值均非负，与“四个数中有且只有一个小于”矛盾，故不成立， ②当时，抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∴， ∵四个数中有且只有一个小于， ∴且， 把代入解析式，得，则， 解得， 把代入解析式，得，则， 解得， ∴的取值范围是， ∴四个选项中只有满足该范围． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将二次根式化为最简二次根式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 12. 如图，是的直径，弦于点E．若，则弦的长是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，连接，根据题意得出，，再由勾股定理确定利用垂径定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意，得， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：6． 13. 某数学兴趣小组对该校学生到校方式（①乘公共汽车；②步行；③骑自行车；④其他）进行调查，并绘制出统计图如图所示，则到校方式的众数为_____（填序号）． 【答案】① 【解析】 【详解】解：由统计图可知，乘公共汽车的人数最多，故到校方式的众数为①. 14. 在中，，，AD为中线，则与的周长之差________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线的概念得到BD=DC，△ABD的周长等于AB+AD+BD，△ACD的周长等于AD+DC+AC，把两个周长作差即可得出结果． 【详解】解：如图所示 ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC ∵， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是三角形的中线性质，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 15. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 【答案】m＞9 【解析】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 16. 如图，在过，，三点的圆中，已知，，．在圆上有一点，连接，，将沿翻折，点的对称点恰好落在线段上．当变化时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由翻折得，，，求出，根据圆内接四边形可得，结合，推出，得到，则，根据勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由翻折得，，， ， ， 、、、四点共圆， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先分别计算零指数幂，算术平方根，有理数乘方和负指数幂，再按照有理数加减混合运算计算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再代入计算结果． 【详解】解： 将代入得：原式． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线与双曲线的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2）交点坐标为 【解析】 【分析】（1）先利用点坐标求出直线的解析式，从而求出点坐标，将点坐标代入反比例函数即可求出值，从而求出反比例函数解析式． （2）利用直线解析式和反比例函数有交点，建立方程，解方程即可求出交点的横坐标，即可求出另一交点坐标． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， 得， 解得， 直线的解析式为， 直线与反比例函数的图象交于点， 把点代入直线的解析式得， ， 把点代入解析式得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得，令， 整理得， 解得，， 当时，， 直线与反比例函数的另一个交点为． 20. 某中学进行知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10． 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9． 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图如下． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 （1）填空：_______，_______； （2）七年级成绩箱线图的第一四分位数是_____； （3）该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人? 【答案】（1）6.5；7 （2）6 （3）80人 【解析】 【分析】（1）七年级12名同学的成绩按顺序排列后，中位数是第6和第7个数据的平均数；八年级12名同学成绩的众数是出现次数最多的； （2）根据箱线图的特征解答； （3）用总人数乘八年级同学成绩的优秀率即可． 【小问1详解】 解：七年级的中位数， 八年级的众数为：； 【小问2详解】 解：观察箱线图可知：七年级成绩箱线图的第一四分位数是6； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 21. 如图，在中，，点D，E分别在，上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． （1）求证：； （2）若，，且，求线段旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1）证明：由旋转的性质得，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等证明； （2）线段旋转过程中扫过的区域是扇形，根据扇形面积公式需要求圆心角度数和扇形半径，根据直角三角形三角函数即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， 则， 则线段旋转过程中扫过的面积为． 22. 某文创店购进一批国产长征系列火箭模型，原计划每盒定价元，为弘扬航天精神，推广国产航天文创产品，店家决定对这批模型降价促销，设每次降价百分率相同，经过连续两次降价后，实际每盒售价为元． （1）求每次降价的百分率； （2）已知每盒进价为元，第一次降价后销售盒，要使两次销售的总利润超过元，第二次降价后至少需要销售多少盒？ 【答案】（1） （2）至少需要销售盒 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出未知数，列一元二次方程解答即可； （2）根据小问（1）求得的结论，结合已知条件，列一元一次不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 依题意得，， 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 【小问2详解】 设第二次降价后销售盒， （元）， （元）， ， 解得． ∵为整数， ∴第二次降价后至少需要销售盒模型，总利润才能超过元． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交的边，于D，E两点，连接． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由如下： 由第（1）问得， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由为的直径，得到，再根据得到． （2）由圆周角定理得到，再结合，得到是等边三角形； （3）设，则，由，得到，．由是等边三角形，得到，直径，最后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵在中，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，， ∵在中，， ∴，． ∵，是等边三角形， ∴， ∵在中，直径，， ∴， ∴（舍负）， ∴． 24. 我们约定：在平面直角坐标系中，对于点和，规定：，．例如：，，则，．请你根据该约定，解答下列问题： （1）（ⅰ）若，，则_____，_____； （ⅱ）已知，，且，则一次函数的图象一定不经过第_____象限． A．一 B．二 C．三 D．四 （2）若点，（其中）在抛物线上，且满足，求的最小值； （3）已知直线与双曲线交于点和点（P与Q两点不重合），且满足以下条件： ①； ②； ③当时，不等式恒成立． 求此时k的值． 【答案】（1）（ⅰ）2，；（ⅱ）D （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据规定代入计算即可； （ⅱ）根据列方程解得值，代入函数解析式，根据一次函数的性质解答； （2）由得，代入，利用函数性质求最值即可； （3）联立方程，写出根与系数的关系，利用条件①求出的值，利用条件②得到的最大值，利用条件③恒成立不等式求出的最小值，综合两个范围确定的值． 【小问1详解】 解：（ⅰ），， ，； （ⅱ），， ，， ， ， ， 一次函数为， 一次项系数， 函数图象过一、三象限， 常数项， 函数图象过轴正半轴， 函数图象过一、二、三象限， 即一定不经过第四象限． 【小问2详解】 解：，，且点E，F在抛物线上， ， ，即， ， ， ， 令， ∴， 当时，取得最小值，最小值为7． 【小问3详解】 解：由题意，联立 整理得， 由根与系数的关系得 又，， ，，． ， ， 整理得， ， ，， 整理得，即， ，解得， 又， ． ， 又， ， ． 由题可知当时，不等式恒成立， 即， 令， 易知当时，， ∴，即． 综上得． 25. 在平行四边形纸片内任取一点E（不包括边界），沿折线剪开，得到，三个顶点重新记为，，． （1）如图1，将三角形纸片置于平行四边形纸片上方，使得点与点A重合，点与点D重合，点在边上方，连接，求证：； （2）如图2，将三角形纸片置于平行四边形纸片上方，使得点与点D重合，点与点A重合，点在边上方，连接与边交于点M． （ⅰ）当点M是的中点时，求与平行四边形的面积之比； （ii）连接AE，，BD，若，，，求的最小值． 【答案】（1）证明：由题可知， ∴，， 又平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据全等及平行四边形的性质说明，，即可证明； （2）（i）分别过点E，作，，垂足为I，J，延长交于点N，由得，由知，利用各边关系分别表示出与平行四边形的面积即可解答； （ii）过点D作的延长线于点H，在和中，利用勾股定理列方程求，设点E到，的距离分别为，，则． 根据全等可知点P到的距离等于点E到的距离，从而说明当P，，C三点共线，且直线时，有最小值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）如图，分别过点E，作，，垂足为I，J，延长交于点N， ， 点M是的中点， ， ∵， ， ． 又平行四边形中，， ， 且由题可知，可得， ， 故， ． （ii）如图，过点D作的延长线于点H， 在平行四边形中，， 设，则， 在和中，， ，解得， ，． 设点E到，的距离分别为，，则． 过点A作，过点作，作交于点Q， 四边形为平行四边形， ，． ，， ， ， 点P到的距离等于点E到的距离，又， 点到的距离等于点E到的距离， 点P到的距离为， 点P在一条平行于且到的距离为的直线上， 当P，，C三点共线，且直线时，有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中检测卷（问卷） 2026．11 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 如图，四边形是的内接四边形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 五位同学投掷实心球的成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 1.60 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（ ） A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案④ 8. 若实数，为关于的方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过，，，，且，，，四个数中有且只有一个小于，则的值可以是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将二次根式化为最简二次根式是_____． 12. 如图，是的直径，弦于点E．若，则弦的长是_______． 13. 某数学兴趣小组对该校学生到校方式（①乘公共汽车；②步行；③骑自行车；④其他）进行调查，并绘制出统计图如图所示，则到校方式的众数为_____（填序号）． 14. 在中，，，AD为中线，则与的周长之差________． 15. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 16. 如图，在过，，三点的圆中，已知，，．在圆上有一点，连接，，将沿翻折，点的对称点恰好落在线段上．当变化时， ______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线与双曲线的另一个交点坐标． 20. 某中学进行知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10． 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9． 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图如下． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 （1）填空：_______，_______； （2）七年级成绩箱线图的第一四分位数是_____； （3）该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人? 21. 如图，在中，，点D，E分别在，上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． （1）求证：； （2）若，，且，求线段旋转过程中扫过的面积． 22. 某文创店购进一批国产长征系列火箭模型，原计划每盒定价元，为弘扬航天精神，推广国产航天文创产品，店家决定对这批模型降价促销，设每次降价百分率相同，经过连续两次降价后，实际每盒售价为元． （1）求每次降价的百分率； （2）已知每盒进价为元，第一次降价后销售盒，要使两次销售的总利润超过元，第二次降价后至少需要销售多少盒？ 23. 如图，在中，，以为直径的分别交的边，于D，E两点，连接． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 24. 我们约定：在平面直角坐标系中，对于点和，规定：，．例如：，，则，．请你根据该约定，解答下列问题： （1）（ⅰ）若，，则_____，_____； （ⅱ）已知，，且，则一次函数的图象一定不经过第_____象限． A．一 B．二 C．三 D．四 （2）若点，（其中）在抛物线上，且满足，求的最小值； （3）已知直线与双曲线交于点和点（P与Q两点不重合），且满足以下条件： ①； ②； ③当时，不等式恒成立． 求此时k的值． 25. 在平行四边形纸片内任取一点E（不包括边界），沿折线剪开，得到，三个顶点重新记为，，． （1）如图1，将三角形纸片置于平行四边形纸片上方，使得点与点A重合，点与点D重合，点在边上方，连接，求证：； （2）如图2，将三角形纸片置于平行四边形纸片上方，使得点与点D重合，点与点A重合，点在边上方，连接与边交于点M． （ⅰ）当点M是的中点时，求与平行四边形的面积之比； （ii）连接AE，，BD，若，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $