精品解析：山东青岛市即墨区2026-2027学年度第一学期高二教学质量检测数学试题

2026—2027学年度第一学期教学质量检测 高二数学试题 2026.11 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试用时 120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 若是空间的一个基底，且向量则可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的斜率，直线经过，两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. - 3 4. 已知向量 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果点在运动过程中，总满足关系式 ，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，过直线上的动点P 作圆O的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且.点满足,当取最小值时，面与面的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左右焦点分别为，过的直线与交于A，B两点， 若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（） A. 直线的倾斜角是 B. 若，则 C. 若，直线和的交点坐标为 D. 若，直线与的距离为 10. 设、是椭圆的左、右焦点，离心率，点为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则（ ） A. 的短轴长为 B. C. 的面积为 D. 点的坐标为 11. 已知曲线，，是曲线上两点，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在一点，使得 C. 曲线上不存在一点，使得 D. 曲线上存在一点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则______． 13. 已知直线.y= kx+b(k>0)与圆 和圆 均相切，则k+b=____; 14. 如图，一束与地面成30°角的平行光线，投射到一个球面上，球在地面上的影子形状是一个椭圆，该球与地面的接触点恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率=____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆 右顶点为，长轴长为，点在上. （1）求的方程; （2）过点倾斜角为的直线交于点，过两点的直线交直线 于点，证明: 直线轴. 16. 在长方体中，，， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求直线到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得面? 17. 在椭圆 上任取一点 ，过点 作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为，当点在上运动时，点 的运动轨迹为. （1）求的轨迹方程； （2）圆E的半径为，圆心在第二象限，且与曲线的公共弦直线方程为，求圆 的方程. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，. （1）求面与面夹角的余弦值； （2）若点在棱上，且，侧面内有一动点，满足. ①求动点的轨迹的长度； ②求直线与直线所成角的余弦值的范围. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离比是常数，点M的轨迹为曲线C，A，B是曲线C上两点，圆 （1）求C的方程； （2）若圆心O到直线的距离为，求证：； （3）若直线与圆O相切，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期教学质量检测 高二数学试题 2026.11 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试用时 120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即. 故选：C. 2. 若是空间的一个基底，且向量则可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，则与共面， 即不能与构成空间的另一组基底，故A错误； 对于B，由，则与共面， 即不能与构成空间的另一组基底，故B错误； 对于C，由，则与共面， 即不能与构成空间的另一组基底，故C错误； 对于D，假设存在，使得, 则可得，可得与共面， 这与是空间的一个基底矛盾，所以不存在，使得， 即与不共面，所以能与构成空间的另一组基底，故D正确. 3. 已知直线的斜率，直线经过，两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. - 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以直线和的斜率相等， 即，解得. 4. 已知向量 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A、，A选项正确； 对于B、，B选项错误； 对于C、，C选项正确； 对于D、因为，，， 所以，D选项正确． 5. 如果点在运动过程中，总满足关系式 ，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义识别点的轨迹类型，再结合焦点位置与椭圆参数关系推导轨迹方程． 【详解】根据平面内两点间的距离公式，表示点到定点的距离， 表示点到定点的距离， 则可转化为， 两定点的距离， 因为，且， 所以点的轨迹是椭圆． 由于椭圆的焦点在轴上， 设点的轨迹方程为， 其中，即，， 则， 所以点的轨迹方程为． 6. 已知圆，过直线上的动点P 作圆O的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，当最小时，最小，由点到直线的距离公式计算可求解. 【详解】如图所示：连接， 由圆，可得圆心，半径， 因为是圆的切线，所以， 当最小时，最小， 又，所以. 故的最小值为.. 7. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且.点满足,当取最小值时，面与面的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧棱两两垂直的条件建立空间直角坐标系，先求出取得最小值时的参数值，再通过求解两平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值，得到两平面夹角的余弦值. 【详解】由两两垂直，则以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系. 由，则，，，. . 所以， 则当时，取得最小值，此时点坐标为，. 又，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即. 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即. 设面与面的夹角为， 所以 即面与面的夹角余弦值为. 8. 已知椭圆 的左右焦点分别为，过的直线与交于A，B两点， 若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合椭圆的定义可得，在、中，利用余弦定理计算可得，进而化简即可求解. 【详解】设，则，， 由椭圆的定义可知， 所以，得，所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，， 则，即， 因为，所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（） A. 直线的倾斜角是 B. 若，则 C. 若，直线和的交点坐标为 D. 若，直线与的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出直线斜率，根据倾斜角与斜率的关系即可判断；对于B，根据两直线斜率的关系即可判断；对于C，联立方程即可判断；对于D，利用两平行线间的距离公式即可判断. 【详解】选项A：直线可整理为，斜率为. 设倾斜角为（），由得，并非，因此A错误. 选项B：当时，直线的方程为，整理为，斜率为. 直线的斜率为，两直线斜率乘积为，满足垂直判定条件， 因此，B正确. 选项C：当时，直线的方程为， 联立的方程，解得，即两直线交点为，C正确. 选项D：当时，直线的方程为，整理为，与平行. 根据平行线距离公式，两直线距离为，并非，因此D错误. 10. 设、是椭圆的左、右焦点，离心率，点为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则（ ） A. 的短轴长为 B. C. 的面积为 D. 点的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用椭圆的方程与离心率求出参数、、以及焦距，判断选项 A；根据椭圆定义及点在第一象限的几何特征，分类讨论等腰三角形的情形，确定线段与的长度，利用余弦定理、三角形面积公式及椭圆方程逐一验证BCD的正误. 【详解】由题意知，得， 因为，所以，由，得， 则椭圆的短轴长为，故 A 错误. 由椭圆定义知， 因为点在第一象限，所以. 由于为等腰三角形，分情形讨论： 若，则，此时满足，符合三角形构成条件； 若，则，此时，与在第一象限不符. 综上得，. 对于 B，在中，由余弦定理得 ，故B正确； 对于 C，由， 则，故C正确； 对于 D，设，则，， 则，可得， 将点的坐标代入椭圆方程得， 因为，解得，即点，故 D 错误. 11. 已知曲线，，是曲线上两点，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在一点，使得 C. 曲线上不存在一点，使得 D. 曲线上存在一点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线方程的对称性判断A，利用参数方程求线性式最值判断B，结合椭圆定义及两曲线交点判断C，通过阿波罗尼斯圆与圆弧的位置关系判断D. 【详解】由方程：，同时把换成，，均不变， 故曲线关于轴，轴，原点均对称；按象限去绝对值： 第一象限：当时，，圆心，半径， 其余三象限由对称得到另外三个等圆的相应弧段。 对于A：把换成，左边，右边，等式不变， 故曲线关于直线对称，A正确； 对于B：在第一象限弧上，令，， 则， 等号在，即点处取得。由对称性，整条曲线上， 而，要求或，均大于，不可能成立，B错误； 对于C：，表示以，为焦点的椭圆， 其中，方程为， ，消去得，代入， 得， 记，在第一象限弧上， 而在该区间内仅有一个零点， 且，，，，均为正， 故第一象限弧上无解。由对称性，其余象限也无解， 因此曲线上不存在满足的点，C正确； 对于D：两边平方：， 整理得，圆心，半径的圆， 它与第一象限弧所在圆的圆心距为 ， 满足， 故两圆相交，存在同时在曲线上的交点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定向量的夹角，根据空间向量的数量积的定义即可求得答案. 【详解】由题意知为正三角形，则； 因为点E，F分别是的中点，所以，且， 而，的夹角为， 所以，的夹角为，则，的夹角为， 所以， 故答案为： 13. 已知直线.y= kx+b(k>0)与圆 和圆 均相切，则k+b=____; 【答案】 【解析】 【分析】用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，结合题设的条件列方程求解、的值，进而计算 【详解】首先确定两圆的基本参数：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径. 将直线方程整理为一般式. 根据直线与圆相切的性质，圆心到直线的距离等于对应半径，因此可得： 圆心到直线的距离； 圆心到直线的距离. 由上述两式可知，两距离的分母相同，因此分子的绝对值相等，即. 对该等式去绝对值分两种情况讨论： 若，化简得，即，与题设矛盾，舍去该情况； 若，化简得，即. 将代入的表达式，得. 由于，因此，上式可化为. 将等式两边同时平方，得，整理得，即，解得. 结合，可得. 将代入，得. 因此. 【点睛】 14. 如图，一束与地面成30°角的平行光线，投射到一个球面上，球在地面上的影子形状是一个椭圆，该球与地面的接触点恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率=____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先明确，的数量关系，再求，的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】椭圆的短轴长为球的直径，设球的直径为，则， 平行光线与地面成角，则，得，， 所以，离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆 右顶点为，长轴长为，点在上. （1）求的方程; （2）过点倾斜角为的直线交于点，过两点的直线交直线 于点，证明: 直线轴. 【答案】（1） （2）证明如下： 椭圆方程为：，所以， 过点倾斜角为的直线的方程为：，所以， 则过两点的直线方程为：， 联立，解得：，所以，所以直线轴，即得证. 【解析】 【分析】（1）利用长轴长和点坐标可计算椭圆方程； （2）利用直线方程和椭圆联立，求得点坐标，对比纵坐标即可证明. 【小问1详解】 长轴长为，所以，，因为点在椭圆上， 所以，解得：，所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 16. 在长方体中，，， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求直线到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得面? 【答案】（1） （2） （3）存在，为线段中点时，面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算求解即可； （2）根据点到平面距离空间向量法计算求解即可； （3），当垂直于平面的法向量时平面，求的值即可. 【小问1详解】 因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为； 【小问3详解】 设线段上存在点使得平面，则， 由（1）得，， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 17. 在椭圆 上任取一点 ，过点 作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为，当点在上运动时，点 的运动轨迹为. （1）求的轨迹方程； （2）圆E的半径为，圆心在第二象限，且与曲线的公共弦直线方程为，求圆 的方程. 【答案】（1） ； （2） 。 【解析】 【分析】（1）设点坐标，利用中点公式得到坐标关系，代入椭圆方程求轨迹； （2）设圆心，两圆方程相减得公共弦，由直线重合结合象限条件求圆心. 【小问1详解】 设点，，由题意可知， 因为为线段的中点，由中点坐标公式得， 所以，解得， 又点在椭圆上， 代入得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 设圆的圆心为，由圆心在第二象限知， 圆半径，则圆的方程为， 曲线的方程为，将两圆方程相减， 得到公共弦所在直线方程为， 展开化简得， 已知公共弦直线方程为，即， 由两直线为同一直线可得，得， 代入得，解得或， 因为，所以，此时，满足， 所以圆的方程为. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，. （1）求面与面夹角的余弦值； （2）若点在棱上，且，侧面内有一动点，满足. ①求动点的轨迹的长度； ②求直线与直线所成角的余弦值的范围. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用法向量的数量积求两平面夹角. （2）①由动点到两定点的距离关系求出圆的方程，再结合三角形的边界确定轨迹的圆弧及其长度. ②用向量夹角公式表示两条直线所成角的余弦，再用单调性求取值范围. 【小问1详解】 如图，以为原点，射线为轴正半轴，在平面内过作的垂线为轴，在平面内过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，.由等边三角形得.又因为，， 所以点的坐标为. 平面为平面，取它的一个法向量.设平面的一个法向量为. 由，，且，， 得 取，由①得，代入②得，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 ①由，得.设，则，. 由，即，化简得. 取的中点.因为，所以，且，故. 因此圆与边相切于，圆上其余各点与在直线的同侧. 下图为平面内的轨迹图，横、纵轴分别为轴、轴.圆与线段、分别交于、.侧面包含边界， 所以轨迹为经过的圆弧，含端点、.圆心角，所以弧长为. ②设，则，且.则， 设直线与所成的角为， 则，. 由空间向量的夹角公式及，得. 令，则. 当时，， 当时，，因为， 则，所以， 综上. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离比是常数，点M的轨迹为曲线C，A，B是曲线C上两点，圆 （1）求C的方程； （2）若圆心O到直线的距离为，求证：； （3）若直线与圆O相切，求的最大值. 【答案】（1）C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，如图所示： 则，， ，， 因为，所以； 若直线的斜率存在，如图所示： 设直线的斜率为，直线的方程为， 由圆心O到直线的距离为得，，整理得， 联立，得， 设，， 由韦达定理得，，， 则， ， 因为，所以， 故. （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式以及点到直线的距离，再根据两距离的比为，即可求出C的方程； （2）先讨论直线的斜率不存在，符合题意；再讨论直线的斜率存在，联立直线的方程和C的方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，，先证，即可证明； （3）根据（2）小问的韦达定理得出的，，再利用弦长公式计算出，最后利用换元法，转化为求二次函数的最值即可. 【小问1详解】 动点与定点的距离， 点到定直线的距离， 由题意得，， 两边平方得，， 整理得，，即， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 直线与圆O相切，故，即， ， 将，代入可得， ，， 将代入化简可得，， 令，则，代入可得， ， 当时，即时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $