精品解析：江苏南通市市直学校调研2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 3. 已知点A(2，m)，B(﹣1，6)在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣6 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先将A、B的坐标分别代入函数解析式，得到列出方程组，解方程组即可求得k、m的值． 【详解】解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得 ． 解得k＝﹣6，m＝﹣3． 故答案为A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，将A、B的坐标代入解析式得到方程组是解答本题的关键. 4. 的半径是，圆心O到直线a的距离为，直线a与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线a的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交．根据，得出直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：的半径是，圆心O到直线a的距离为，且， ∴直线a与⊙O的位置关系是相离． 故选：C． 5. 如果反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，那么值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】∵在反比例函数的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小， ∴， 即， 故选C． 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，图象在第一、三象限，在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限，在每个象限，y随着x的增大而增大． 6. 若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，利用图象的对称性求出对称点进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，， ． 7. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A. 150元 B. 160元 C. 170元 D. 180元 【答案】A 【解析】 【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得： ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键． 8. 如图，是的直径，点，在上，，，的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用邻补角性质求出的度数，根据平行线的性质得出的度数，再结合圆的半径相等及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接．小明、小红经过探索，分别得到以下结论．小明：的内切圆半径为；小红：的最小值为．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ） A. 小明和小红的结论都正确 B. 小明和小红的结论都错误 C. 小明的结论正确，小红的结论错误 D. 小明的结论错误，小红的结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】令点为的内切圆圆心，设其内切圆半径为，根据求解即可；设的中点为，连接，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，进而推导出，根据三线合一得到，则点在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当在线段上即点处时，最小，过作于，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：在中， ， 如图，令点为的内切圆圆心，设其内切圆半径为，连接， 则点到的三边的距离相等，为， ∴ ， 又， ∴， ，小明的结论正确； 如图，设的中点为，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ， 则点在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当在线段上（即点处）时，最小，过作于， 则， ， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴， ∴的最小值为，故小红的结论正确． 二、填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题6分，每空3分，共26分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为1，则__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】数形结合，设点A的坐标为，根据三角形面积可得，代入反比例函数即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ， ， 反比例函数的图象经过点A， ． 12. 一个扇形的弧长为，半径为9，则这个扇形的圆心角为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的弧长与半径，可直接套用弧长公式建立关于圆心角度数的方程，求解得到结果． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为 ∵扇形弧长公式为，其中为弧长，为扇形半径 ∴代入已知条件，，可得 两边同时除以，得 化简得 解得 即这个扇形的圆心角为． 13. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 【答案】39 【解析】 【分析】根据旋转性质得，旋转角为，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵按顺时针方向旋转一个角后成为，， ∴，旋转角为， ∵， ∴， 故旋转角等于． 14. 如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心角定义求出和的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵是正五边形的外接圆， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，是反比例函数的图象上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于点，，连接，，则的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，根据平行线性质表示出点、的坐标，进而求出线段、的长，利用面积分割法求解； 【详解】解：设，其中，连接， ∵轴，在上， ∴， ∵轴，在上， ∴，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，两条抛物线交于点． （1）_______________； （2）若点是新抛物线上一动点，当时，恒有，则t的取值范围为________ 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线平移规则得到新抛物线解析式，联立两式求交点横坐标； （2）结合新抛物线的开口方向，确定满足的x范围，分两种情况，求解t的取值范围； 【详解】解：（1）抛物线向右平移3个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为， ∵两条抛物线交于点， ∴联立两个抛物线的方程，得， ∵，两边同时除以，得， 展开右边并化简，得， 解得，即； （2）将代入原抛物线解析式，得， ∵新抛物线中，开口向上，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 分两种情况讨论： 1. 当点在直线左侧时，要使当时，恒有， 则， 解得； 2. 当点在直线右侧时，要使当时，恒有， 则， 综上，t的取值范围为或． 三、解答题（本大题共9小题，共94分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求解参数即可得到解析式． （2）将抛物线一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式得 ， 解得， ∴该抛物线解析式为． 【小问2详解】  ， ∴该抛物线的顶点坐标为． 18. 如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求的度数． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 【解析】 【分析】（1）分别作和的垂直平分线，它们相交于点，连接，然后以点为圆心，为半径作圆即可； （2）根据圆周角定理直接求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. （1）写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； （2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键． （1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解； （2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围； 【小问1详解】 路程，甲、乙两地距离为定值， v与t的函数关系为反比例函数， 设v与t的函数关系式为，将代入解析式， 得：，解得：， v与t的函数关系式为， ； 【小问2详解】 若当天10时40分到达乙地，则所用时间， ， 若当天11时到达乙地，则， ， 客车平均速度的范围为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，点，，的对应点分别为点，，； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出，点，的对应点分别为点，； （3）若是由绕点旋转得到的（点，，的对应点分别是点，，， ． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出结果； （2）根据旋转的性质作图，即可得出结果； （3）连接、，作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，结合图象写出坐标即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：连接、，作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点， 由图可得，点的坐标为． 21. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 22. 如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． （1）请你选择其中一个方案解决有关问题，你的选择是方案 ． （2）你选择的方案中点坐标是 ； （3）求出你所选方案中的抛物线的解析式； （4）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】（1）一（答案不唯一） （2）方案一：；方案二：；方案三： （3）方案一：；方案二：；方案三： （4） 【解析】 【分析】（1）直接选择即可； （2）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求解即可； （3）求出顶点坐标，设解析式为顶点式，待定系数法求解即可； （4）根据水位上升，求出水位所在抛物线的纵坐标，代入抛物线解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：选择方案一（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：方案一：由题意得， ∴； 方案二：由题意得， ∴； 方案三：如图： 由题意得，， ∴； 【小问3详解】 解：方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得，解得， ∴抛物线解析式为； 方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得，解得， ∴抛物线解析式为； 方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得，解得， ∴抛物线解析式为． 【小问4详解】 解：方案一：∵水位上升， ∴， 把代入得，， 解得：，， ∴水面宽为； 方案二：∵水位上升， ∴， 把代入得，， 解得：，， ∴水面宽为； 方案三：∵水位上升， ∴， 把代入得，， 解得：，， ∴水面宽为． 23. 如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． （1）求证：所在的直线与相切； （2）若直径，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，， ∴，即， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴所在的直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明是的中位线，推出，即可证明所在的直线与相切； （2）根据阴影部分的面积，代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，求扇形的面积，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为． （1） ； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）如图2，若点在第一象限，点的坐标为，现将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，的对应点分别是点，）． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②当线段与反比例函数在第四象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出，再将代入一次函数，计算即可得出结果； （2）联立，求出，再找出反比例函数的图象在一次函数的图象的上方部分即可； （3）①过点作直线：，过点作于点，过点作于点，则，由旋转的性质可得，，证明，得出，，从而即可得出结果；②同理可得，求出直线的解析式为，联立，求出交点坐标为，再结合题意分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 将代入一次函数得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得一次函数， 联立， 解得或， ∴， 由函数图象可得，关于的不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：①如图，过点作直线：，过点作于点，过点作于点， 则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； ②同理可得， 设直线的解析式为， 将、代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∵交点在第四象限， ∴， ∴交点坐标为， ∵线段与反比例函数在第四象限的图象有交点，且点在线段上， ∴， ∴， ∴． 25. 数学兴趣小组的同学们在王老师的指导下，对某些特殊的等腰三角形的有关旋转问题展开了探究，王老师先给出一道题，小军同学分享了自己的做法，然后小红和小姚两位同学分别对王老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）王老师的问题：如图1，在中，，，点D，E在边上，且，，连接，．若，求的长． 小军的做法：如图2，把绕点A顺时针旋转得到，得，且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据小军的做法，直接写出的长为 ． （2）小红的变式：如图3，在等边中，点D，E在边上，且，，连接，．若，求的长． 任务2：请你类比小军的做法，写出完整的求解过程． （3）小姚的变式：如图4，在中，，，点D在边上且，点E在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比小军的做法，直接写出的长为 ． 【答案】（1） （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，再结合全等三角形的性质即可得出结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，证明，得出，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果； （3）分两种情况：当点在点左侧时，将绕点逆时针旋转得到，过点作于点；当点在点右侧时，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点；分别利用直角三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 由可得； 【小问2详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时，将绕点逆时针旋转得到，过点作于点， 同（2）可得， 在中，， ∴， ∴，， 设的长为，则，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当点在点右侧时，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点， ∴， ∴，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，， 设的长为，则，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知点A(2，m)，B(﹣1，6)在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣6 C. 3 D. 6 4. 的半径是，圆心O到直线a的距离为，直线a与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 5. 如果反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，那么值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A. 150元 B. 160元 C. 170元 D. 180元 8. 如图，是的直径，点，在上，，，的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接．小明、小红经过探索，分别得到以下结论．小明：的内切圆半径为；小红：的最小值为．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ） A. 小明和小红的结论都正确 B. 小明和小红的结论都错误 C. 小明的结论正确，小红的结论错误 D. 小明的结论错误，小红的结论正确 二、填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题6分，每空3分，共26分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为1，则__________． 12. 一个扇形的弧长为，半径为9，则这个扇形的圆心角为_______________． 13. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 14. 如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 15. 如图，是反比例函数的图象上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于点，，连接，，则的面积为_______________． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，两条抛物线交于点． （1）_______________； （2）若点是新抛物线上一动点，当时，恒有，则t的取值范围为________ 三、解答题（本大题共9小题，共94分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 18. 如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求的度数． 19. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. （1）写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； （2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，点，，的对应点分别为点，，； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出，点，的对应点分别为点，； （3）若是由绕点旋转得到的（点，，的对应点分别是点，，， ． 21. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 22. 如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． （1）请你选择其中一个方案解决有关问题，你的选择是方案 ． （2）你选择的方案中点坐标是 ； （3）求出你所选方案中的抛物线的解析式； （4）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 23. 如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． （1）求证：所在的直线与相切； （2）若直径，求阴影部分的面积． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为． （1） ； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）如图2，若点在第一象限，点的坐标为，现将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，的对应点分别是点，）． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②当线段与反比例函数在第四象限的图象有交点时，求的取值范围． 25. 数学兴趣小组的同学们在王老师的指导下，对某些特殊的等腰三角形的有关旋转问题展开了探究，王老师先给出一道题，小军同学分享了自己的做法，然后小红和小姚两位同学分别对王老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）王老师的问题：如图1，在中，，，点D，E在边上，且，，连接，．若，求的长． 小军的做法：如图2，把绕点A顺时针旋转得到，得，且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据小军的做法，直接写出的长为 ． （2）小红的变式：如图3，在等边中，点D，E在边上，且，，连接，．若，求的长． 任务2：请你类比小军的做法，写出完整的求解过程． （3）小姚的变式：如图4，在中，，，点D在边上且，点E在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比小军的做法，直接写出的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $