浙江省杭州地区(含周边)重点中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C A C B D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AB BD ABD 三、填空题 13. 14 4 4月 四、简答题 15.(1)由(0.01×2+n+m+0.035)×10=1,又m=2n 则n=0.015,m=0.03 2分 所以100位游客的平均数为： 55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5 4分 设第75百分位数为x 0.75-(0.1+0.15+0.35)=0.15, .(x-80)×0.03=0.15 .x=85 .6分 (2)由图知，打分在[60,70)有15人，打分在[80,90)有30人： 则按分层抽样在[60,70)抽取2人，在[80,90)抽取4人 .8分 记从6人中随机抽取的2人，至少有1人来自[80,90)的事件为A 则从6人选取2人包含的样本点5 事件A包含的样本点共 4×3+4×2=14 ..12分 则P(A)=14 15 13分 16.(1)设∠DCB=0, A0.LACD--0 在△ACD中，由正弦定理得 AD DC sin∠ACD sin A .4分 高二数学参考答案第1页共6页 cs0=3sim,则an0=5 4 又0∈0，π ”2 :0= .7分 6 (2)设CD=t SABC=SAACD+SBCD且∠ACD=∠BCD= 3 则bsim2= 1 1 1 3 at sinπ+bt sinπ 21 “32 3 .I=ab a+b 9分 又在△BCD中，由余弦定理得m+b:-c2=2bcos号石，且c=25 d2+b2-12=-ab 10分 则(a+b)2-12=ab :a+b2-12≤a+，当且仅当a=b=2时，取到等号 4 则(a+b)≤4 12分 ..1=ab (a+b)-1 2=a+b-12≤4-12=1 .14分 a+b a+b a+b4 当且仅当a=b=2时，CD取到最大值为115分 17.(1)S4边形As=4 .S.a-2---vop-loaF.o--4.2 op2=8=m2+① 4分 又点P(,m)在直x+2y=6,即m+2n=6② 自0e可得22成P保) .7分 (2)过P(L,n)引出的切点弦所在直线AB的方程为r+w=4........10分 又m+2n=6,即m=6-2n代入上式， 得(6-2n)x+y=4,即6x-4+n(y-2m=0, “直线4B恒过点学 13分 ∴点Q到直线AB的距离的最大值 d=c国+1-得3+4+1-号 15分 高二数学参考答案第2页共6页 18.(1)证明：在梯形ABCD中，AB/CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为CD的中点， ∴.AB/1CE,且AB=CE=BC, 则四边形ABCE为菱形，所以AE=BC, 则AD=AE=DE=2, 所以△ADE为等边三角形，翻折后△PAE为等边三角形，且PA=PE=2, 取AE的中点F,连结PF,BF,故PF⊥AE,PF=V3 同理，四边形ABED为菱形，△ABE为等边三角形，BF⊥AB,BF=√5 在△PFB中，PF=√5，BF=√5，又PB=√6，则PF2+BF2=PB2,所以PF⊥BF 因为AEBE=F,AE,BFC平面ABCE, 所以PF⊥平面ABCE 又PFC平面PAE,故平面PAE⊥平面ABCE ..6分 (2)以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为ABCE是菱形，故BC//AE,又由(1)易知，AE⊥面PFB,故BC⊥面PFB 那么，F(0,0,0),P0,0,V3)A1,0,0),E(-1,0,0),C(-2,V3,0),B(0,V3,0), 则PE=(-1,0,-5),PB=(0,5,-3),CE=4,-√3,0) PS B RE 又 =1,即P=(-元，0，-V3),TB=0,V5元-√5)，RE=(元，-52,0)， PE PB CE 则 S7=S乎+PB+BT=(亿，-V3+V3,-V3+2W3)S=S乎+PE+ER=(-1,V3,-V3+V3) 0若4-那么T-90,顾-l9马 设平面a的法向量为=(x,y,z), 高二数学参考答案第3页共6页 7m=+ -y=0 则有 死m=-x+3- ，则m可取(-51,3) .10分 1y 2 2 z=0 又Ac=(←3,5,0，那么cos(m,AC)= mAC 45 213 AC V3+1+9V9+313 则直线4C与平面¤所成角的正弦值为2E ...12分 13 (i)整理可得7=（亿，V51-),3(2-1),S丞=（1，V5,V5(-1),∈(0,1） ①若S为直角，则 S7.SR=32-71+3=0 解得名=7+（舍去）.无-7- 6 14分 6 ②若∠R为直角， R=SR-7=(-1-元，V3(2-1),-V5 由s京，TR=0,得 SRTR=322++1=0,方程无实数解，则以R为直角不可能15分 ③若∠T为直角，则 S7R=-1322+111-3=0,方程无实数解，则以T为直角不可能 ..16分 综上所述，当2=7-时，△SR为直角三角形 ...17分 6 19.(1)顶点(2,0)在x轴上，故a=2 又：e=c=2 a2,得c=√万 .b=a2-c2=4-2=2 以椭圆B的方程为4十入1 .4分 (2)设直线BC:y=k(x-1),B(:,4),C(x2,),则D(,-为)，Q(m,0) x2y2 联立 4+2-1得1+262)x-4x+22-4到=0 y=k(x-1) 4k2 △83k+2>0,由韦达定理：出++2=2 1+2k2 ......6分 又由D、C、O三点共线可得：kp=Kcn .+ m-为1X2-为 m=(色)+5=当+ y2+y1 出+y2 高二数学参考答案第4页共6页 m-(5-+x山_25-G+2 k(:-1)+k(x3-1) 为+x3-2 1+28245(3+5)62-8 又：3+3-2=，2 4k2 -8 Γ1+2k21+2k21+2k2 .m=4 9分 直线DC恒过定点Q(4,0),故Ag=3为定值。 ,△ABQ与△4C0同底（底Ag=3),高分别为以与， 小seeS引++名-2斗， g及-1 2k2-3+1=0, 州=1或内=月 即发=片或 经检验，四个值均满足k≠0且使面积差为1，全部为所求..11分 其他解法酌情给分 (3)M是△OBC的重心，设M(x,y) .M 4+￥1+x2+ 3 3 即M 41+3k2） 2k 且k≠0 31+2k)’31+2k) 41+3k2) ..x= + k2 31+2k2)3 +2k 2=3x-4 12-6x y2= 42 (3x-4)(2-x) 91+2k2)2 6 化简得：3x2+6y2-10x+8=0(y≠0) 14分 9x-+18w2-10w学0叭 M的对称中心为[信0】 证明：设P(x,)为M上任意一点，且o≠0 则P()关于(0的对称点P侣-6%】 高二数学参考答案第5页共6页 9918-9g-+81 .P也在M上。 ∴M的对称中心为 ....17分 说明：若直接化简M的轨迹方程为： =1(y≠0) 9 18 说出M为以 〔为中心的精图并降去点〔信0】 与点(2,0)，给满分。 高二数学参考答案第6页共6页绝密★考试结束前 2026学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 命题：永嘉中学陈献娟等 审校：严州中学钱大林缙云中学方志明 校稿：徐苏红 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.某样本数据x,x2,x,x4,x的方差为3，则数据2x-1,2x2-1,2x-1,2x4-1,2x-1的方差为 A.5 B.6 C.11 D.12 2.若复数z满足z(2+)=3-4，则2 A.1 B.5 C.5 D.5V5 3.点P(3,3)关于直线x-y+3=0的对称点坐标是 A.(0,0) B.(0,6) C.(6,0) D.(6,6) 4.己如圆台的母线与下底面所成角为号，下底面半径R=2,上底面半径r=1,则圆台的侧面积为 A.35 B.4元 C.6π D.12π 2 5.正三角形ABC的边长为3，AD=2DB,DP=PC,则AP= A.19 B.19 C.14 D.7 2 4 2 6.已知R,5是椭圆云+上=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且△PR5的面积为35，则P丽在 12 9 PE,上的投影向量为 A.-5P丽 B.P丽 C.E D.5丽 2 2 2 7.一个不透明的袋子里有3个红球和3个白球，除颜色外完全相同。每次从袋中随机摸出1个球， 记录颜色后放回，共摸3次。计分规则如下： (1)摸到红球得1分，摸到白球得0分； (2)若某次摸到的球与前一次颜色相同，则这次额外加1分（第1次没有前一次，不额外加分)· 则3次摸球后，总得分为2分的概率是 1 A.4 D. 5 8 高二数学试题卷第1页共4页 风汉王扫描王秀 扫描识别王中王 8.在平面直角坐标系x0y中，对于任意点P(,y)（P不与原点O重合)，称直线xox+yy=4为点 P的伴随直线，记作P*.若点P在直线l:x+y=4上运动，点2在直线I,:x+y=12上运动，且 直线P*与直线Q*垂直，则Pg的最小值为 A.4V2 B.4V3 C.8 D.8W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知在某一次试验E中，定义两个随机事件A和事件B,若P心④=写，P(倒=行，则 1 A若AEB,则P4+8)月 ®、若事件A和事件B是相互独立事件，则P(AB){ C.若事件A和事件B是互斥事件，则P(4B)5 D.0sP(AB)s 15 10.关于空间向量，以下说法正确的是 A.若a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则a与b共线 B.已知四面体OABC,M,N分别是棱OA,BC的中点，若G为MN的中点， 则oG=1(Oi+0丽+0C) C.已知a=g+26+3g,6=-g+4e,+26,c=38+46,其中{8,6,8}为空间的-个基底， 则{a,©也是空间的一个基底 D.设两个单位向量O1=(a,0,O丽=0，%p)与0C=LL1的夹角都为号，则cos∠40B=日 11.已知圆O:(x-2)2+y2=16,圆02：x2+y2+x=0,直线1：a-y+2k+1=0.下列说法正确 的是 A.若直线(cos0)x+(sin0)y-2cos0-1=0与圆O相交于A,B两点，则AB=2√15 B.若圆O上有且仅有4个点到直线1的距离为2，则k的取值范围是(2-飞，2+13 6 6 C.若圆O与圆O2恰有两条公切线，则2的取值范围是(2，+∞) D.若1=4，直线1与圆O,圆O2均有两个交点，记被圆O,圆O2截得的弦长分别为a,b, 则满足b=2a的直线l共有2条 高二数学试题卷第2页共4页 风汉王扫描王 扫描识别王中王 第Ⅱ卷 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知u=(3,2a,a)(a∈R)是直线1的方向向量，n=(1,2,1)是平面a的法向量.若l11a, 则a=▲ 13.已知点P在椭圆c: 2+1a>2)上，若P到直线x+y+8=0的最小距离为√2，则椭圆的 离心率为▲一· 14.已知正四棱锥P-ABCD,底面ABCD边长为√2，侧棱长为√5，B',D'分别是侧棱PB,PD的 中点，过直线B'D'作一平面分别与侧棱PA,PC相交于A',C',若球O与四棱锥P-A'B'CD'每 个面都相切，当球O体积最大时，此时O到直线B'D'的距离d与线段OP长度之比为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)某地为了了解游客对某景区的体验感和满意度，为今后更好地提升旅游的品质， 促进文旅事业的更好发展，在国庆假期期间面向部分游客发起满意度调查，调查内容包括交通、 住宿、饮食、景区服务等方面该地旅游公司随机选择100名游客对该景区出行体验进行满意度 评分，满分100分且最低分不低于50分.根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，图中 m=2n. (1)估计这100位游客满意度打分的平均数和第75百分位数： (2)若采用分层随机抽样的方法从打分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取6人，再从6人中随 机抽取2人进行面对面交流，求选取2人中至少有1人来自打分在[80,90)的概率. ◆频率/组距 0.035 m n 0.01 05060708090100满意度/分 16。(本题15分)已知△1BC中，内角4BC的对边分别为a6,cC-子，D为边B上一点 (1)若CD=BD=】AD,求∠DCB: (2)若CD为∠ACB的角平分线，且AB=2√3，求CD的最大值 高二数学试题卷第3页共4页 风汉王扫描王 扫描识别王中王 17.（本题15分)已知点P(m,n)在直线x+2y=6上，过点P作圆0：x2+y2=4的两条切线，切点 分别为A,B (1)当四边形PAOB面积为4时，求点P的坐标； 2)点0在圆C(x-+0-4=1上，求点0到直线B的距离最大位 18.(本题17分)如图，在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为CD的中 点，将△DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置，且PB=√6. (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE; (2)设平面a与线段PE、PB、EC分别交于S、T、R三点， 且-7=职=元，1e(0,1). PE BP EC (i)当2=】时，求直线AC与平面a所成角的正弦值： (i)是否存在2，使得△STR为直角三角形，若存在，求 所有入的值；若不存在，说明理由. 本题7分)已知椭圆E仁+名@>6>0的一个顶点为2，，离心率为2，过点A 2 作不垂直x轴的直线I与椭圆E交于B,C两点(B在x轴上方)，设D为点B关于x轴的对称点， 直线DC与x轴交于点2. (1)求椭圆E的方程； (2)若SAMB2-SA4cg=1,求直线1的斜率； (3)设△QBC重心的轨迹为M,试问M是否有对称中心？并说明理由. 高二数学试题卷第4页共4页 汉汉王扫描王洲 扫描识别王中王螺额