湖北恩施土家族苗族自治州文斗长顺教联体 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

null 长顺初中2026年秋季学期期中考试九年级 数学试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的) 1.下列函数中，是二次函数的是( ) B. y=2x+3 2.把方程x(x-1)=3x+3化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 1, 4, - 3 B. 1, - 4, - 3 C. 1, - 4, 3 D.1, 4, 3 3.关于抛物线 下列说法正确的是( ) A.开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C. 顶点坐标是(2,4) D. x>2时, y随x增大而增大 4.将抛物线 的顶点平移到(4，2)，则平移的方式为( ) A.向左平移7个单位长度 B.向右平移7个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 5.已知x₁、x₂是一元二次方程 的两个根,则 x₁x₂的值是( ) A.-5 B. - 2 C. 2 D. 5 6.已知二次函数 当自变量x满足0≤x≤3时，y的取值范围是( ) A.-3≤y≤0 B.0≤y≤1 C. 0≤y≤2 D. - 3≤y≤1 7.如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块 72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为x米，则下面所列方程正确的是( ) A. x(18-x)=72 B. x(18+x)=72 8.在同一坐标系中，直线y=ax+b和抛物线 的图象可能为( ). 九年级数学试题 9.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为 由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为( ) A. 85米 B.8米 C. 10米 D.2米 10.已知二次函数 的图象如图所示,有如下结论:①abc>0;②2a+b=0;③9a+3b+c<0; ④4ac-b²<0;⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数) ,则正确结论的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C.4个 D. 5个 二、填空题(每题3分，共15分) 11.如果a是方程 的一个根，那么 12.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围为 . 13.若抛物线 的顶点在x轴上，则c的值是 . 14.已知二次函数 的图象经过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),则该抛物线的顶点坐标为 . 15. 定义: 是一元二次方程 的倒方程.则下列四个结论： ①如果x=2是 的倒方程的解，则 ②如果 ac<0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程 无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程 有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其中正确的有 (填正确的序号). 三、解答题(16~18题每小题6分, 19~21题每小题8分, 22题10分,23题11分,24题12分,共 75分) 16.解下列方程： 17.用配方法将二次函数 化为 的形式，并写出它的对称轴、顶点坐标和最值。 18.某学校在校师生及工作人员共600个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； 第 1页 共 2页 学科网（北京）股份有限公司 (2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染(第三轮传染后仍未有治愈者)? 19.已知抛物线 根据下列条件，分别求出m的值. (1)若抛物线过原点： (2)若抛物线的对称轴为直线x=2； 20.关于x的方程 (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根. 21.若关于x的一元二次方程 的两根均为整数，则称 的值为该方程的“关联值”.如：方程 两根均为整数，其“关联值”为 (1)若关于x的一元二次方程 的“关联值”为1，求m的值； (2)求证：关于x的一元二次方程 (n为整数)一定有“关联值”. 22.丹东玫瑰香葡萄从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价格收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃. (1)求个体户将这批葡萄存放10天后出售，可获得利润是多少元? (2)为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完? (3)求个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得利润是405元? 23.某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动. 【研究背景】炒菜锅和锅盖的纵截面都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形. 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为x轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.把锅盖和锅的纵截面的抛物线分别记为C₄，C₂. ​ 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为8 dm，锅深为4d m，锅盖高为2dm. 【建立模型】 (1)直接写出抛物线C₁和C₂的解析式； 【应用模型】 (2)若锅里的水位高度(水面到锅底的距离)是1 dm，求此时水面的直径长； (3)将一个底面直径为6 dm，高度为2.5 dm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上?请说明理由. 24.如图，直线y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C. (1)求点A和点B的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AB交于点E，设点P的横坐标为m，PE的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； (3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AB交于点E，连接PB，BC，CE，是否存在点P使得 若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由. 九年级数学试题 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C D C 题号 6 7 8 9 10 答案 D A C B C 二、选择题逐题解析 1．答案 A。二次函数要求右边是关于自变量的整式且最高次数为2。 符合；B 是一次函数；C、D 中自变量出现在分母上，不是整式。判断顺序：先看是不是整式，再看最高次数。 2．答案 B。去括号得 ，移项合并得 ，故二次项系数1、一次项系数−4、常数项−3。写系数时符号要一起带上。 3．答案 C。由 知 ，开口向下；对称轴 ；顶点 ；在对称轴右侧 y 随 x 增大而减小，故 A、B、D 均错。 4．答案 D。原顶点 ，目标顶点 ，纵坐标不变、横坐标增加1，所以向右平移1个单位长度。平移只盯顶点坐标的变化，不必展开解析式。 5．答案 C。由根与系数的关系 。注意两根之和是 ，积与和不要记反。 6．答案 D。配方 ，对称轴 落在 内，最大值 ；端点值 、，故 。求闭区间上的最值，先找顶点再比两个端点。 7．答案 A。见下图：两面足够长的围墙分别充当矩形的上边和左边，18米篱笆只需围右侧和下侧两边。设一边长为 x 米，另一边长为 米，由面积72平方米得 ，解得 ，都满足 。B 中另一边比篱笆总长还长；C 化为 无实数根；D 中两边之和超过18米，均不合题意。 图1　第7题墙角菜地示意（粗实线为墙，虚线为篱笆） 8．答案 C。抓住三条硬约束：① 必过原点 O；② a 同时决定抛物线开口与直线斜率，开口向上必须配上升直线，开口向下必须配下降直线；③ 直线与 x 轴交于 ，抛物线除 O 外的零点也是 ，两图象必在 x 轴上共用同一个交点。B 中抛物线不过原点，D 中开口向下却配上升直线，A 中直线与 x 轴的交点和抛物线右零点不重合，都应排除；C 中 ，开口向下、对称轴在 y 轴右侧、直线下降且与 y 轴交于正半轴，并在 x 轴上共用交点，符合条件。 图2　第8题正确图象示意（两图象在 x 轴上交于同一点） 9．答案 B。落地时 ：，两边乘−10得 ，即 ，。水平距离取正值8米，−2是出手点后方的数学根，须舍去。 10．答案 C（4个）。由图知 、、，且左交点满足 （见下图）。① ，故 ，错；② ，对；③ 右交点 满足 ，所以 ，对；④ 图象与 x 轴有两个交点，，即 ，对；⑤ 是最大值点，对任意实数 m 有 ，即 ，对。故②③④⑤正确，共4个。 图3　第10题图象信息：对称轴 x=1，左根在 −1 与 0 之间 三、填空题（每小题3分，共15分） 题号 11 12 13 14 15 答案 3 4 ①②③ 四、填空题逐题解析 11．答案 3。把 代入方程得 ，移项即得 。这是整体代入，不必解出 a 的值。 12．答案 。，解得 。“有两个实数根”包含两根相等的情形，故取等号；二次项系数为1，无其他限制。 13．答案 4。顶点在 x 轴上，即抛物线与 x 轴只有一个交点，，得 ，此时 。 14．答案 。由 A、B 是两个零点，设 ；代入 得 ，即 。于是 ，顶点为 。 15．答案 ①②③。① 倒方程为 ，代入 得 ，，正确；② 保证 ，两方程判别式同为 ，各有两个不等实根，正确；③ 原方程无解即 ，倒方程判别式也是 ，且此时 ，正确；④ 举反例 ：原方程 两根为 ，倒方程却是 ，只有一个实数根，故④错误。 五、解答题（共75分） 16．（6分）(1) 由 得 ，所以 。 (2) 提取公因式 ：，所以 。两小题分别用直接开平方法与因式分解法，运算量最小。 17．（6分）。故 ，对称轴是直线 ，顶点 。因开口向上，当 时 y 有最小值 −9，没有最大值。配方时加减的是一次项系数一半的平方 ，常数项不要漏算。 图4　第17题配方后的抛物线示意 18．（6分）(1) 设每轮传染中平均一个人传染 x 人。第一轮后患病 人；第二轮后 人。由 得 （负值不合题意舍去），故 人。 (2) 第三轮后患病总数为 人，未传染人数 人。，结果未超过全校人数，合理。 19．（8分）先因式分解：。 (1) 抛物线过原点 ，即 。 (2) 对称轴 ，解得 。先分解再读条件，比逐项代系数更快。 20．（8分）(1) ，故不论 m 取何值方程总有两个实数根（m=3 时两根相等）。也可由 直接看出两根 与 。 (2) 两根相等时 ，故 。此时 ，。 21．略 22．（10分）设存放 x 天（x 为正整数，且 ）。每千克售价 元，可售 千克，销售金额 元；总支出为收购款 元加冷藏费 元。故利润 元。 (1) 时，销售额 元，总支出 元，利润 元。 (2) 由 得 ，即 ， 或 。为尽早清空冷藏室，取 天。 (3) 由 得 ，即 ， 天。题中没有给出冷藏保鲜期的天数上限，“不保鲜最多存放一周”只是交代冷藏必要性的背景，不参与计算；45 天在可售范围内。 23．（11分）由题图，、，锅盖顶点 ，锅底顶点 （见下图）。 (1) 设锅盖 ，代入 O 得 ，，故 。设锅身 ，代入 O 得 ，，故 。 图5　第23题锅盖与锅的纵截面、水面及圆柱形器皿示意 (2) 锅底 ，水面到锅底1 dm，故水面所在直线 。代入 ：，即 ，得 ，水面直径 dm。 (3) 能正常盖上。按题图默认的居中放置方式，器皿轴线与抛物线对称轴重合，底面边缘的横坐标为 与 。代入 得锅壁此处 ，即器皿底面在 ；器皿高 dm，顶面在 。锅盖在 （或 ）处 ，且 在 上的最低值恰在两端取得。因为 ，器皿顶面整体低于锅盖内壁，所以锅盖能正常盖上。 24．（12分）(1) 直线 与 x 轴交于 ，与 y 轴交于 。把 B 代入 得 ；把 A 代入得 ，。故抛物线为 ，由 得另一交点 。见下图。 图6　第24题图象及辅助线（虚线为过 P 的竖直线） (2) 设 ，则 ，，其中 （P 在第一象限且在抛物线上）。于是 。当 时 l 取最大值 ，此时 。 (3) 存在。以 PE 为底，B 到直线 的水平距离 m 为高，；又 ，由坐标面积公式 得 。由 得 ，即 。 分类讨论：当 时，，即 ，解得 ，两根都在 内；当 时，，即 ，取正根 （负根不合 m>3，舍去）。故点 P 的横坐标为 。若按备用图只取 P 位于直线 AB 上方（第一象限）的情形，则取前两个值。 学科网（北京）股份有限公司 $null