精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州利川市恩施“112”教联体2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

九年级十二月独立训练数学学科试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项字母代号．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形解答即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键． 3. 如图，中，弦相交于P点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 5. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A. x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步． x（x-12）=864． 故选B． 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形，熟练掌握垂径定理与垂径定理推论是解题关键．根据中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形逐个判断即可得． 【详解】解：圆是中心对称图形，则①是真命题； 垂直于弦且平分弦直线必经过圆心，则②是假命题； 平分弦（非直径）的直径必平分弦所对的两条弧，则③是假命题； 圆内接四边形的对角互补，则④是真命题； 综上，真命题的个数为2个， 故选：B． 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．当该点在圆内，则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 则A、B、C、D四个选项，只有D选项的不符合题意， 故选：D． 9. ，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 10. 抛物线经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小值一定小于 C. D. 抛物线的对称轴可能是直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，判断抛物线系数之间的关系，再根据二次函数与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴，整理得，， ∵， ∴，即，， ∴选项，， ∵， ∴无法判断的正负，故错误，不符合题意； 选项，抛物线的对称轴为， ∴函数的最值为，无法判定，故错误，不符合题意； 选项，， ∵， ∴，即正确，符合题意； 选项，抛物线的对称轴为， ∵， ∴无法判定的值，故错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的系数与对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置．本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ∴． 故答案为：． 12. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案2． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 14. 直径为的圆形管水平铺设，管内液面宽度为，则液体最大深度为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，根据题意画出图形，作出弧的中点，连接，交于点．利用垂径定理，以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，中液面，作出弧的中点，连接，交于点，则，， ∴B．， 在中，． 当在圆心下方时，； 当在圆心上方时，； ∴液体最大深度为为或； 故答案为：或． 15. 如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可． 【详解】解：过点F作交延长线于点H， ， 在正方形中，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和公式法，因式分解方法先把方程右边变成0的形式，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求解；公式法先把方程化成一般形式，分别写出，再根据公式即可求解； （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）利用求根公式法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 所以， ． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入中，可解得，将代入中，得到一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：将代入中，得 解得． 将代入 中，得 ， 解得 ，． 故，方程的另一个根为 ． 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】（1） （2）开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标，图见详解 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，画二次函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据要求，把一般式化为顶点式，即可作答． （2）根据，得开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标，再描点，连线，得出的图象，即可作答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 令，则， 令，则， 函数的图象，如图所示： 19. 如图，是的角平分线．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，分别交、于点、连接、，试判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】是菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出垂直平分线段，则，．，又因为是的角平分线，证明，则，即可作答． 【详解】解：四边形是菱形．理由如下： 设交于点 由题意，得垂直平分线段， ，，， 平分， ， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． 20. 某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路宽度是6米． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， （1）如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． （2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先认真分析题意，得出抛物线的顶点坐标为，设关系式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先理解题意，结合①不改变喷水头的角度，将水管长度增加，得出，求出又因为②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，且两种调试的水珠落地点相同，即把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式为， 观察图②得出抛物线与轴的交点坐标为， 则 ∴， ∴； 依题意，令，则， 即水管的原设计高度应为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； 则， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∵②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．且要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等）， ∴把代入， 得 ∴ 解得． 23. 在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片绕顶点顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为___________． （2）探究二：小明将矩形绕顶点顺时针旋转得到矩形，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图2，若，，求的面积． （3）探究三：小明将矩形绕顶点逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点恰好落在边上，如图3，连接交于点，连接．若，求的值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，然后由旋转可得，即可判断出是等腰直角三角形， （2）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得即可； （3）作于，作于，结合旋转可得：，，，证明，结合，可得，由已知设，，则在中由勾股定理得，证明，则，最后可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， 由旋转得， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：由矩形以及旋转可得：，， ∵ ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得． 的面积； 小问3详解】 解：如图，作于， 由旋转可得：，，， ， 如图，作于， 矩形，，，， ∴， ， ∴， ， ， ． 设， ， 同理可得 由旋转可得： 在中由勾股定理得 ， ∵ ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质． 24. 如图①，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，有最大值； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、最值问题及平移后的交点与范围问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合二次函数性质分析最值与范围． （1）将两点坐标代入抛物线解析式，列方程组求解； （2）先求直线解析式，用h表示的长度，转化为二次函数求最值； （3）先求抛物线平移后的解析式，结合直线的交点情况与顶点位置，确定m的范围． 【小问1详解】 解：把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，且点在抛物线上， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为，代入， 可得：，解得：， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 如下图所示， 设抛物线的图像向上平移个单位长度得到抛物线为， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组，得到：，（不符合题意，舍去）， 此时抛物线与线段有个公共点， 如下图所示， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组， 得到：，， 此时抛物线与线段有个公共点， 解方程组：， 可得：， 整理得：，可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有或， 当时，如果抛物线与直线没有交点，则有或， 又抛物线的顶点在内（包括边界）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十二月独立训练数学学科试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项字母代号．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 3. 如图，中，弦相交于P点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A. x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. ，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小值一定小于 C. D. 抛物线的对称轴可能是直线 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置．本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x方程是一元二次方程，则__________． 12. 用一个圆心角为120°，半径为6扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 14. 直径为的圆形管水平铺设，管内液面宽度为，则液体最大深度为__________． 15. 如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为___________． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 19. 如图，是的角平分线．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，分别交、于点、连接、，试判定四边形的形状，并说明理由． 20. 某社区为了解决停车难问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求长． 22. 某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， （1）如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． （2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 23. 在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片绕顶点顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为___________． （2）探究二：小明将矩形绕顶点顺时针旋转得到矩形，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图2，若，，求的面积． （3）探究三：小明将矩形绕顶点逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点恰好落在边上，如图3，连接交于点，连接．若，求的值． 24. 如图①，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $