山东省聊城市、济宁市2026-2027学年第一学期期中教学质量检测高三数学试题

2026-2027学年度上学期期中考试 高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的条形码黏贴在答题卡的规定区域内，并将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡指定区域内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 6．已知锐角的外心，，．若存在，使得，且．则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间内的两个极值点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知为数列的前项和，满足，则数列的最大项的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线是函数对应曲线的切线，则（ ） A．直线可能是曲线的切线. B．函数的极大值点为. C．曲线在直线的下方. D．直线也是曲线的切线. 10. 如图，为等腰直角三角形，以直角边的中点为圆心，作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点（包括边界），若，则（ ）（第10题） A．. B．. C．的最大值为. D．若，则的最小值为. 11．已知函数 ，，则（ ） A．函数的最小正周期为. B．当时，函数的值域为. C．当时，函数在区间上单调递增. D．当时，若函数在区间 内恰有个零点，则. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积，若是与的等差中项，则该扇形的半径为 . 13. 在□中，点分别是的中点，连结分别与交于两点，若，则的长为 . 14. 已知函数与直线有两个不同的交点，当（其中为坐标原点）的面积最小时，则实数的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15.（13分） 如图，在四边形中，，，，分别为、的中点．（第15题） （1）求； （2）在线段上是否存在点，使得为直角三角形？ 若存在，确定的值；若不存在，说明理由． 16.（15分） 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及其图象的对称轴方程；（第16题） （2）若函数，， 求满足不等式的解集． 17. （15分） 已知函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）求函数的最值； （3）当时，试判断函数的函数值的符号. 18.（17分） 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）若数列满足，求数列的前项和. 19.（17分） 已知：①对任意的，总有；②对于任意的，且，总有.若函数同时满足①②两个条件时，则称函数为“优美函数”. （1）在一次函数、指数函数、幂函数中是否存在相应的“优美函数”？若存在，请求出函数的解析式；若不存在，请说明理由； （2）若当时，试判断“优美函数”在上的单调性，并说明理由； （3）求证：对于“优美函数”，，恒有. 高三数学试题第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题详解答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合，，则集合的真子集个数为 A. B. C. D. 1.【答案】A 【详解】只有一个元素，则其子集个数为1个. 2.已知向量，若，则实数 A. B. C. 1 D. 2 2.【答案】C 【详解】由，得，则，， 由，得，所以.故选：C. 3.复数满足，则 A. B. C. D. 3.【答案】D 【详解】 巧解：复数模的运算性质可得，则所以 4．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4.【答案】C 【详解】若“，”为真命题，即，恒成立，则，而，故只需，即．要求充分不必要条件，即求的真子集，观察选项可知，C选项满足题意． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 5.【答案】B 【详解】由得. 6.已知锐角的外心，，.若，使得，且.则的面积为（ ） A． B． C． D． 6.【答案】C 【详解】设，连接交于，设，则，因为三点共线，所以，又，所以，即，所以为中点，又为锐角的外心，所以，在中，，，所以，则， 则. 7．已知函数在区间内的两个极值点，则的值为（  ） A． B． C． D． 7.【答案】D 【详解】，令，解得 其中，舍去，则，. 8．已知为数列的前项和，满足，则数列的最大项的值为（    ） A． B． C． D． 8.【答案】C 【详解】由可得，解得， 当时，，则，则数列是首项，公比的等比数列， 所以，所以. 当为奇数时，；当为偶数时，， 所以数列的奇数项递增，偶数项递减，因此最大项一定出现在偶数项中， 则最小的偶数的对应项最大，此时，故最大项为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线是函数对应曲线的切线，则（ ） A．直线可能是曲线的切线 B．函数的极大值点为 C．曲线在直线的下方 D．直线也是曲线的切线 9.【答案】ACD 【详解】直线的斜率为，设切点为，由得，所以有，即切点为，即. A：由，得，设切点为， 由，所以直线可能是曲线的切线，正确； B：由上可知当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是的极大值点，但极大值点不是点，错误； C：由可知，曲线在直线的下方，正确. D：由可得，令解得，则曲线在处的切线为，即直线，正确； 故答案应选ACD. 10.如图，为等腰直角三角形，以直角边的中点为圆心，作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点（包括边界），若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最小值为. 10.【答案】AC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 而，，所以， 由，则， 当时的最大值为，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以，其中， 由得，当时，取到最小值，最小值为，故D错误. 故选：AC. 11．已知函数，，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．当时，若函数在区间 内恰有个零点，则. 11.【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为 ，函数不是周期函数，当时，不是周期函数 ，故A错误； 对于B选项，当时， ， 令，则，，， 当时，；当时， ；所以当时，函数的值域为 ，故B正确； 对于C选项，当时， ，则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，函数为增函数，所以， ； 当时，则内层函数单调递减时，函数为增函数，所以， ． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，故函数在上单调递增， 正确； 对于D选项，当时， ，可得或， 由于函数的最小正周期为，且 ，现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或，所以，函数在上的零点个数为， 因为，则在区间内有个零点，在区间内有一个零点，则在区间内总共个零点，所以 ，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一扇形的圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积，若是与的等差中项，则该扇形的半径为 . 12.【答案】 【详解】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，则扇形的弧长为，面积为， 则，即，解得（负值舍去）. 13.在□中，点分别是的中点，连结分别与交于两点，若，则的长为 . 13.【答案】 【详解】在□中，连结与交于点，则， 所以，由可得, ， 14.已知函数与直线有两个不同的交点，当（其中为坐标原点）的面积最小时，则实数的值为 . 14.【答案】 【详解】设，的面积，要使的面积最小，只需最小，即最小，设， 而，则， 设，则单调递减， 则当最小，则最大； 设，， 设，单调递减， ，所以存在，使得， 当递增；当递减， 所以当时，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15.（13分）如图，在四边形中，，，，分别为、的中点． （1）求； （2）在线段上是否存在的一个点，使得为直角三角形？若存在，确定的长；若不存在，说明理由． 15.【详解】由题意可得，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系， 则，（1分） （1）（3分） ，（5分） （2）设，， （6分） 所以， （7分） 由，得，所以，则为锐角； （8分） 又，当时，，， 即当时，是以为直角的直角三角形，此时； （10分） 又，当时，， 即当时，是以为直角的直角三角形，此时. （12分） 综上，当或时是直角三角形. （13分） 16.（15分）已知函数的部分图象如右图所示． (1)求函数的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数，，求满足不等式的解集． 16.【详解】（1）的最小值为，所以，（1分） 由图可知，即，，或（2分）， 结合图象可知函数在处的切线的斜率为负数可得，而，所以（3分） 函数的最小正周期满足，又，即，则；（4） 而，所以（5分） 所以，（6分） 令，，解得， 即函数的图象的对称轴方程为.（8分） （2） ，（11分） ∴令，即， 则，解得，（13分） 又，则当，（14分） 即， 所以满足不等式的解集为.（或写作）（15分） 17.（15分）已知函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）求函数的最值； （3）当时，试判断函数的函数值的符号. 17.【详解】（1）由函数的图象关于轴对称，可得，（1分） 即，移项得，（2分） 即恒成立，则，解得.（4分） （2）由（1）得，，（5分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增. （6分） 所以在处取得极小值，即函数有最小值，（7分） 当时，；当时，，所以无最大值.（8分） （3），，（9分） ，且，（10分） 设，即， ，（11分） 当时，则，（12分） 所以单调递减，而，（13分） 当，单调递增；当，单调递减， 所以当且仅当时，（14分） 故当时，即的函数值的符号为负.（15分） 18.（17分）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）若数列满足，求数列的前项和. 18.【详解】（1）当时，，；（1分） 由可得，（2分） 当时，（3分） 所以当时，解得；而，所以.（4分） （2）由及（1）可得，（5分） 即，（6分） 则，（7分） ，（8分） 即.（9分） （3）设，（10分） 其前项和为 ，（12分） 而（13分） 当时，；（14分） 当时，， ，（16分） 即（17分） 19.（17分） 已知：①对任意的，总有；②对于任意的，且，总有.若函数同时满足①②两个条件时，则称函数为“优美函数”. （1）在一次函数、指数函数、幂函数中是否存在相应的“优美函数”？若存在，请求出函数的详解式；若不存在，请说明理由； （2）若当时，试判断“优美函数”在上的单调性，并说明理由； （3）求证：对于“优美函数”，，恒有. 19.【详解】（1）由①得；由②可令，可得可得，于是.（1分） 设一次函数，则， 解得，所以，（2分） 任意的，且，总有；（3分） 指数函数，则，，所以，（4分） 任意的，且，总有.（5分） 幂函数，则，即，不符合题意； 故在一次函数、指数函数中是均存在相应的“优美函数”分别为、，在幂函数中不存在“优美函数”.（6分） （2）设，且，则，，（7分） 由对于任意的，且，总有， 即，所以，（8分） 所以“优美函数”在上的单调递增.（9分） （3）由任意的，且，总有 令得，当时， 依此类推可得时，.（12分） 于是，，则， 则，（14分） 所以 （16分） 即，恒有.（17分） 另证：数学归纳法证明： （i）当时，即，命题成立；（11分） （ii）假设当时，命题成立，即，（12分） 则当时，， 整理得，（15分） 也就是说当时，命题也成立.（16分） 由（i）（ii）可得即，恒有.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $