内蒙古鄂尔多斯市准格尔中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

准格尔中学2026～2027学年上学期高二年级期中考试·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．AD 10．ABD 11．ABD 12． 13．13 14． 15．解：（1）因为抛物线的焦点为，所以，解得． 3分 所以的方程为． 5分 （2）联立方程得，解得或12． 8分 不妨设在第一象限，所以，． 10分 又，所以轴， 所以的面积为． 13分 16．解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，，分别为，的中点， 所以，，，，， 2分 所以，． 4分 设直线和所成角为，则， 即直线和所成角的余弦值为． 7分 （2）由（1）知，，， 设是平面的法向量，则即 令，则，，所以是平面的一个法向量， 11分 设点到平面的距离为，则， 即点到平面的距离为． 15分 17．解：（1）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 2分 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 3分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 4分 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 5分 解得． 6分 所以直线的方程为，即． 7分 综上所述，直线的方程为或． 8分 （2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为， 圆心到直线的距离． 10分 所以， 11分 解得，或． 13分 所以直线的方程为或，即或． 15分 18．（1）证明：因为，，且，，平面，所以平面， 因为平面，故． 4分 （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 5分 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 6分 （i），，， 设为平面的一个法向量， 可得令，可得， 8分 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11分 （ii）设，则，， 又，，所以，， 14分 所以，，使， 所以解得，所以． 17分 19．（1）解：设椭圆的焦距为，则由题意得 1分 解得 2分 所以， 3分 所以的方程为． 4分 （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时． 5分 若直线与直线的斜率都存在时， 设直线的方程为，，， 由得， 所以，． 6分 所以 ． 7分 因为，将换成，得， 8分 所以． 9分 综上所述，的值为定值． 10分 （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 11分 将换成，得，即． 12分 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 13分 所以直线的方程为，即， 14分 所以直线过定点． 15分 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点． 16分 所以直线过定点． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 准格尔中学2026~2027学年上学期高二年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为 A．0 B． C． D． 2．已知双曲线的两个焦点分别是，，若是上的动点，则 A．5 B．7 C．10 D．14 3．椭圆的离心率为 A． B． C． D． 4．若抛物线的准线方程为，是上一点，则 A．12 B．9 C．6 D．3 5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，，若是的中点，则的长度为 A． B． C． D．7 7．若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，若是圆，的根轴上一点，则的最大值为 A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的左、右焦点分别是，，的一条渐近线为（经过第二象限），则 A． B．的离心率为 C．的方程为 D．到直线的距离为2 10．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则 A． B．若，则直线过定点 C．若，则直线的斜率为 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且与直线平行的直线方程为__________． 13．已知圆与圆外切，则__________． 14．已知实数，满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，求的面积． 16．（本小题满分15分） 如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点． （1）求直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 已知圆，直线过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，，求直线的方程． 18．（本小题满分17分） 如图所示，在四棱锥中，，，，，． （1）求证：； （2）若平面平面， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）已知，分别为，的中点，点在线段上，若，，，四点共面，求的值． 19．（本小题满分17分） 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $