黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

期中考试答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A D B D 二、 多选题 9 10 11 AD BD ACD 三、填空题 7963 12、 1010 13、 8 14V5.69元 21 14、 15 25 四、解答题 15、(I)由正弦定理及条件可得sin Acos B=sinB(1+cosA) 所以sin Acos B-sin Bcos A=sinB, 即sin(A-B)=sinB 因为A,B是三角形的内角 所以A-B=B, 因此A=2B (2)因为△ACD与aBCD的面积的比为2：3， 所以D、2 BD 3 根据角平分线的性质可知4C-? BC3 由正弦定理得sinB_2 sinA 3 又由(I)知A=2B 所以sinB sin B 12 sin A 2sin Bcos B 2cos B 3 9 因此cosB=三.cosC= 4 16 16.（1)取P℃冲点M,连接EM、DM. ·因为E是PB中点，M是PC中点， 根据三角形中位线定理：EMBC,且EM-号BC. ·已知AD‖BC,BC=2AD,即AD=2BC 所以：EM‖AD,且EM=AD. ·.四边形AEMD是平行四边形，于是AE‖DM. 又.：DMC平面PCD,AE4平面PCD, 由线面平行判定定理，。得： AEI平面PCD 2)号a 17、证明：连接AC交BD于O点，连接PO,QO, 因为ABCD为菱形.所以BD⊥AC,O为BD的中点， 因为PB=PD,且O为BD的中点，所以BD⊥PO 因为ACOPO=O,AC,POC平面PAC,所以BD⊥平面PAC 因为OQc平面BD9,所以BD⊥O9,因为ABCD为边长为2菱形且∠BAD=60° 所以△ABD为等边三角形，所以BD=2 因为5m0-00-x2x0-9所以 在△PAC中.O0为中位线.所以PA=2OQ=V6, 在aPOA中，PO2=3,OA2=3,PA2=PO+OA2,所以P0⊥AC 因为ACOBD=O,AC,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD, 所以P到平面ABCD的距离为二V3 e)o 【分析】(1)连接AC交BD于O点，连接PO,QO,即可证明BD⊥平面PAC,即可得到BD⊥OQ,由三角形aBDQ的面积求出O2,即可求出PA,PO,从而得到PO⊥AC, 即可证明PO⊥平面ABCD,即可得解： (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】(1)略 (2)如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP的方向分别为x,,z轴的正方向建立空间直角坐标系， ZA B .c0m.0.mo.-10.o.xo 设平面PAB的法向量为m=(x,,).因为AP=（-√5,0，V5,AB=(（-51,0) 所 m=3+5=0令5=l,得m-5, m:AB=-V5x+=0. 设平看0的法狗量为i-化，小因为05-(Q1o,0-(5a号 n.0B=为2=0， 所以 .00-55+520令5=1，得月=0，) 25 23=0. 因为c0s(成，）= 同5×V25 所以平面BDQ与平面PAB夹角的余弦值为1O 18、aa.-号 (2T30=804 由(1)得Sn=n2,则 a4片 m-立-g日a小a+-引g…日4》 ++4物+1-1 =1- n+1 =4n+2-11 (n+l)2n+1" 所以T-4n=4n+2-4n=2-<2 (n+n+1-2(n+1n+1 所以T,-4n<2 .1 19、.(1)- e (2):4为A(a,f(a)处的切线.切线4的方程为：y=f'(a)(x-a)+f(a). 令h(x)=f(x)-[f(a)(x-a)+f(a].则h(a)=f(a-[f'(a(a-a)+f(a]=0, 求导得h(x)=f)-fa)=h0+田_h+@ 1+x1+a 由(1)知，f'(x)=g(t),(t=1+x),g(t)在(0，e)上递增 当-1<a<0时，0<1+a<1.则g(t)在(0,1)上递增 若x>a,即1+x>1+a,则(x)>0,h(x)单调递增 若x<a,即1+x<1+a,则h(x)<0,h(x)单调递减： 若x≥0，即1+x≥1，则g(1+x)≥g()=0.而g(1+a)<0,故(x)>0,h(x)单调递增： ∴.h(x)在x=a处取得最小值h(a=0, :当x≠a时，h(x)>0,即曲线在切线上方（除A点外），命题得证. (3) -+er=+对eht到=eh+).求号得F-e[0++司] 1+x ◆pr-aco-eh0] 令()=n0+x)+,2-1 2x2+1 1+x1+x2,求导得F'=1+x1+x}21+x)143, x>-1,H'(x)>0, “H(x)在[0，+o)上单调递增，.H(x)≥H(O)=1>0, ∴G(x)>0在[0，+o)上恒成立，故G(x)在[0，+∞)上单调递增， F(0)=0 ∴.原不等式F(s+)>F()+F(C)等价于F(s+)-F(s)>F()-F(O) 令p(x)=F(x+)-F(x)=e"n(1+x+)-en(I+x). p=e[0++0++]e[+4]c+小-c :G(x)在(0，+∞)上单调递增.1>0， G(x+)>G(x).p'(x)=G(x+)-G(x)>0,p(x)在(0，+o)上单调递增 ∴.对任意的s,1∈(0，+o),p(s)>p(O),即F(s+)-F(s)>F(I)-F(O) ∴对任意的s,1∈(0，+o),有F(s+)>F(s)+F().命题得证.哈尔滨市第六中学校2024级上学期期中测试 高三数学试题 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.您合4=-4-5叫.=号0 则A∩B=( ) A.{xl≤x<3}B.{x1≤x≤3 C.{x-1<x≤3} D.{x-1≤x<3} 2.若复数z满足(1+21)z=2-i,则z的虚部为( A.1 B.i C.-1 D.-i 3.已如圆台的上、下底面半径分别为2和，母线与底面的夹角为牙则该圆台的体积为( C.56π D.0 元 4.在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为棱AC、AD的中点，点G为棱BC的 中点，则异面直线EF与AG所成角的余弦值为( ) A.3 B.3 1 C.3 D. 6 3 2 2 5.函数f(四)=x-sim2026+,则不等式f()+f八x-2)》>-2的解集是（ A.（-0,-1) B.（-o,1) C.（-l,+oo) D.(1,+oo) 6.在三棱锥P-ABC中，O是平面ABC内一点，下列说法错误的是( A.若PA.BC=0,PC.AB=0,则PB.AC=0 B.若PO=xPA+yPB+zPC,则x+y+=0 c.若0为aABC的重心，则Po-Pi+PB+兮Pc 3 D.若PA与BC所成的角为a,PA与平面ABC所成的角为B,则B≤ 7.己知函数f)=sin(ox+p)o>0,0<p< 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是() Af的图象关于点（骨0对称 B.f(x)的图象向右平移”个单位后得到y=sin2x的图象 c.f在区间0到的最小值为- D.)在(0，m)上有两个零点，两个极值点，则m∈，7] 12’6 已知数列a}满足20.4+a=30,且4三则使不等式+++一<100成立的n的最大值为 a az an A.97 B.98 C.99 D.100 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是( ) A.p:“是第一象限角或第四象限角”，9：“cos>0”,则P是q的充分不必要条件 B.若为第一象限角，则 coSQ sina √2 V1+cos2au'√1-cos2a2 C.在△ABC中，若tanA.tanB>1,则△ABC为钝角三角形 D.已知cosa=V3,则tam(a+=23-】 cosa-sina 10.己知点P是棱长为3的正方体ABCD-AB,CD的表面上一个动点，F是线段AD的中点，则() A.当P为B,C的中点时，AP⊥B,F ⊙ 3π B B.当P在面BCC,B,上，且直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 C.三棱锥A-PB,A体积的最大值为 D D.当PF/∥平面BCD时，线段PF长度最大值为3√2 11.已知函数f(x)=e*,g(x)=lnx,其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是() A.函数y=f(x)-g(x)的极值点为1 B.x∈(0，+o),f(x)-g(x)=2 C.若P,Q分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，则IPO1的最小值为√2 D.若/a-g20-a)r对在意的tcQ+w)恒成立，则a的最小怕为} 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量a=(3,m),b=(2,1),且a1b,则向量a在向量b-a上的投影向量的坐标为一 1 18.已知函数f四=lo下，令a=f6-才6*记数列a3的前n项和为8，则S, 14.如图1，在长方形ABCD中，P是CD边上一点，且 D D AB=4,AD=2,DP=1.将△ADP沿着AP翻折至△AQP,连接 A QB,QC,得到如图2所示的四棱锥Q-ABCP,则四棱锥Q-ABCP体 图1 图2 积的最大值为 ；当平面OAP⊥平面ABCP时，三棱锥Q-BCP的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ac0sB=b(1+c0sA) (1)证明：A=2B: (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且△ACD与△BCD的面积的比为2：3，求cOSC. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD/1BC,且BC=2AD,点E为棱PB的中点. (1)求证：AE∥平面PCD: (2)若AD=DC,F为线段PC上的点且2PF=FC,过点A,E,F作四作棱锥P-ABCD的截面，交PD于点N, 求P%的值，并求出截面分四棱锥的上下两部分体积比： PD D B 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，若∠BDA=60°，PB=PD=1,Q为PC的中点， △BD0的面积为 P (1)求P到平面ABCD的距离： (2)求平面BDQ与平面PAB夹角的余弦值. D 18.已知数列a,}满足4=1a1=3a+1,数列色，}各项均为正数，前n项和为8满足S,=6+6〕， 2 (1)求{an}的通项公式并证明数列也n}为等差数列： (2)若b.=2n-1 ①将b}中的项按从小到大的顺序插入{a}中，且在任意的a,a+H之间插入(2k-1)项，从而构成一个新数列 {Cn}:a,b,a,b2,b,b4,4,,设{cn}的前n项和为In,求T如（请用数字作答）. ②设d,= b+L十 b2n+1 SS SaS1 一一，数列dn}的前n项和为n,证明：T-4n<2. p.两政r内m定文板为1o.了e),4为ao)处的切发 (1)(x)的最大值： (2)证明：-1<a<0,除点A外，曲线y=f(x)均在l上方； (3)若F(x)=(1+x)ef'(x),证明：对任意的s,t∈(0，+oo),有F(s+t)>F(s)+F()