山东青岛市即墨区2026-2027学年度第一学期高二教学质量检测数学试题

高二数学试题参考答案 2026.11 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B D B A A BC BC ACD 二、填空题 12. 13. 14.M N A E x y O 三、解答题 15. 解：（1）点在上 所以有，又，所以， 的方程为·········6分 （2）直线的斜率为， 的方程为 z A B C D B1 A1 C1 D1 x y 与联立得： 分 所以点坐标为··················10分 因为所以，直线的方程为 联立解得 所以，直线方程为，直线轴.·······13分 16.（1）解：以为原点，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。因为 的坐标分别为 ，，，所以， 设是平面的法向量，则 则解得········4分 所以直线与平面所成角的正弦值 所以，直线与平面所成角的正弦值为········6分 （2），面，面，所以面 所以，到面的距离即为到面的距离 ，平面的法向量， 所以，到面的距离······10分 （3）因为的坐标分别为得，，设 所以，，令，得， 此时面，这样的点存在，即为的中点时， 面·················15分 17. 解：（1）设点，，则 因为线段的中点为，所以·············3分 因为点在椭圆上，所以，······① 将代入①得的轨迹为圆，其方程为········7分 （2）设圆的方程为 则两圆的公共弦为 即···································10分 又公共弦方程为 所以，S A B C x y z 又圆的半径为，所以··················13分 即 解得：或 因为圆圆心在第二象限，所以 所以圆的方程为······················15分 18. 解：(1)面面 面面，在平面内，过作 则面 在平面内，过作，则面 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系·····2分 ，， ， 设面的一个法向量为 则 解得··························4分 显然是平面的一个法向量 所以面与面夹角的余弦值················6分 （2）①因为，所以 设，则， 由，化简得：······9分 所以点的轨迹是平面内，以点为圆心的一段圆弧 因为，所以此段圆弧的长为···················10分 ②设 ， 则直线与直线所成角的余弦值 令 则 令，，易得 当时， 所以，直线与直线所成角的余弦值的范围是········17分 19. 解（1），到定直线的距离， 所以有 化简得：····································4分 （2）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为 当的方程为， ，所以 同理当当的方程为也有··················5分 当直线的斜率存在时，设方程为 因为圆心到直线的距离为，所以，即····6分 联立得 ···································8分 所以， 又由 所以 即····································10分 （3）直线的斜率不存在时，的方程为，此时， 当直线的斜率存在时，设 由直线与圆相切，可得：，即····12分 联立得 ·····························14分 所以， 当且仅当时，即取等号 的最大值为·····························17分 1（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期教学质量检测 高二数学试题 2026.11 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试用时 120分钟.考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l₁的倾斜角为60°，直线l₂与l₁垂直，则直线l₂的斜率为 2.若 是空间的一个基底，且向量 则可以与向量 构成空间的另一个基底的向量是 C. 3.已知直线l₁的斜率 直线l₂经过A(1,2), B(a+1,3)两点,若 则实数a= D. - 3 4.已知向量 则下列结论不正确的是 5.如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式 则点M 的轨迹方程为 高二数学试题第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.已知圆 过直线4x+3y-10=0上的动点P 作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为 A. 1 B. C. 2 D. 7.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱两两垂直，且(OA=OB=2OC=2.点 P满足 当OP 取最小值时，面AOP与面BOP 的夹角余弦值为 A. B. C. D. 8.已知椭圆 的左右焦点分别为F₁,F₂, 过F₂的直线与C 交于A,B 两点, 若 则C的离心率为 B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l:x-y+1=0,直线m: kx+2y+4=0, 则下列结论正确的是 A.直线l的倾斜角是 B. 若k=2, 则l⊥m C. 若k =1, 直线l和m的交点坐标为(-2,-1) D. 若k =-2,直线l与m 的距离为 10. 设F₁,F₂是椭圆 的左、右焦点，离心率 点M 为C上一点且在第一象限，若△MF₁F₂为等腰三角形，则 A. C 的短轴长为2 C. △F₁MF₂的面积为4 D.点M 的坐标为点((3 , ) 11.已知曲线C:x²+y²=|x|+|y|,A(-1,0),B(1,0)是曲线C上两点,下列说法正确的是 A.曲线C关于直线y-x=0对称 B. 曲线C上存在一点P(m,n) ,使得 C.曲线C上不存在一点 P ，使得 D. 曲线C上存在一点P ,使得|PA|=3|PB| 高二数学试题第2页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F 分别是AB，AD的中点，则 = . 13.已知直线.y= kx+b(k>0)与圆 和圆 均相切,则k+b= ; 14.如图，一束与地面成30°角的平行光线，投射到一个球面上，球在地面上的影子形状是一个椭圆，该球与地面的接触点恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率= . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题13分) 已知椭圆 右顶点为A，长轴长为2 ,点M( , )在C 上. (1) 求C 的方程; (2)过点M 倾斜角为的直线l₁交C于点N ，过N，A两点的直线l₂交直线 于点E,证明: 直线ME∥x轴. 16.(本小题15分) 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AB=4,BC=3, (1)求直线BC与平面ACD₁所成角的正弦值； (2) 求直线BC₁到平面ACD₁的距离; (3) 线段B₁C上是否存在点P,使得A₁P//面ACD₁? 高二数学试题第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17. (本小题15分) 在椭圆C: 上任取一点M ，过点M 作x轴的垂线段MD，D为垂足，线段PD的中点为M ，当点M 在C上运动时，点P 的运动轨迹为N. (1)求N 的轨迹方程； (2)圆E的半径为2 ，圆心在第二象限，且与曲线N的公共弦直线方程为y-x-1=0，求圆 E 的方程. 18. (本小题17 分) 如图, 在三棱锥S-ABC中, 平面SAB⊥平面ABC, AB=AC=BC=SA=2,∠BAS=120°. (1)求面SAB与面SBC夹角的余弦值； (2) 若点E在棱AC上, 且CE=3EA,侧面SAB内中一动点P, 满足CP=2PE. ①求动点P的轨迹的长度； ②求直线CP与直线AB 所成角的余弦值的范围. 19. (本小题17分) 已知动点M(x,y)与定点F( ，0)的距离和M 到定直线l： 的距离比是常数 点M 的轨迹为曲线C，A，B是曲线C上两点，圆 (1) 求C的方程; (2)若圆心O到直线 AB 的距离为 求证: OA⊥OB; (3)若直线AB 与圆O相切,求|AB|的最大值. 高二数学试题第4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $