精品解析：浙江宁波市2026-2027学年高三第一学期高考模拟考试数学试卷

宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. “”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】先看充分性：当时，对，，当且仅当时取等号.所以“”是“，”的充分条件； 再看必要性：对，. 设， 要使在上恒成立，须有，即，而不是必须要. 所以“”不是“，”的必要条件. 综上，“”是“，”的充分不必要条件. 3. 全集，集合满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以集合可能是， 因为，所以可能是， 因为，所以 4. 在宁波某景点的正东方向处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，该景点受到此次台风影响的持续时间为（） A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时 【答案】C 【解析】 【分析】先求景点到台风行进路线的垂距，再用垂径定理算出受影响的台风移动弦长，除以速度得到影响时长. 【详解】设景点为点，台风初始位置为点，由题意可知点在点的正东方向，km， 台风移动路径为从出发的西北方向直线， 过点作台风移动路径的垂线，垂足为，可得， 因为km小于km，所以景点会受到台风影响， 以景点为圆心、km为半径作圆，与台风移动路径交于两点，两点间的线段长度即为台风影响景点时台风中心移动的总路程， 由勾股定理得半段路程长度，总路程为， 台风中心以50km/h移动，故该景点受到此次台风影响的持续时间为. 5. 两个线性相关变量与的统计数据如下表： 由一元线性回归模型，得到经验回归直线方程，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， ，所以. 所以. 当时，. 所以样本点在处的残差为. 6. 给定平面向量，，甲、乙、丙、丁四人分别做出以下判断 甲：，乙：，丙：，丁：． 若四个人中三个人的判断是正确的，一个人的判断是错误的，则判断错误的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】若，则， 若，则， 若甲的判断正确（即），则可推出丙、丁的判断必然正确， 此时三个正确判断为甲、丙、丁，结合题干“三对一错”的要求，乙的判断必然错误； 若甲的判断错误，其余三个判断正确时，会由丙、乙的判断推出，再结合丁的判断推出， 此时甲的判断也正确，与甲错矛盾； 若丙或丁的判断错误，结合甲的判断正确可推出丙、丁的判断必然正确，与丙或丁错矛盾， 因此仅乙为错误判断的情形符合题干要求时，甲，丙，丁判断正确，乙判断错误，符合题意，所以判断错误的人是乙. 7. 函数在区间上有两个不同的极值点，（）满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据极值点及余弦对称性求出，代入 ，求出取值范围，利用余弦单调性算出的取值范围. 【详解】， ，是的极值点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 8. 在无穷正整数数列中，，，，若（），则的取值不可能为（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列递推式，构造差数列，利用其单调不增的性质，代值推导得出，继而求出差数列的前5项，根据差数列的不增性，枚举所有合理情况即得答案. 【详解】由变形得， 记，则差数列为单调不增的整数数列. 因，，，由得，即； 由得，即；由得，即. 若，则，结合可得，则，这与矛盾，故， 则，，进而推得，， 枚举不同差数列取值对应的总和情况：此时前5项差，后续差数列单调不增，且无穷正整数数列的差不能为负， 因此从开始的后续差数列的每一项只能取1或0，且一旦取0后续所有项均为0. 若，后续所有项恒为8，则总和为；若，后续所有项恒为9，则总和为； 若，后续所有项恒为10，总和为； 若，后续所有项恒为11，总和为； 若所有差恒为1，总和为. 故所有可能取值中不存在33，因此33不可能. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断ABC选项；令，结合以及两角和差公式、倍角公式求出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，故A正确； 因为在上单调递增，所以，故B正确； 因为在上单调递增，所以， 则，即，故C错误； 令，则，则， 即， 即， 即，即， 得，故D正确. 10. 在正四棱台中，，，，则（ ） A. 正四棱台表面积为 B. 正四棱台体积为 C. 点到平面的距离为 D. 正四棱台外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先求出棱台的斜高，再由表面积公式计算即得；对于B，先求出棱台的高，代入体积公式计算即得；对于C，利用等体积即可求得点面距离；对于D，先判断外接球球心在上，借助于高线长及勾股定理列出关于的方程，求出代入表面积公式即得. 【详解】对于A，因，，，则该棱台的斜高， 故其表面积为，故A错误； 对于B，连接，分别取的中点为，连接， 则是棱台两底面的中心，为棱台的高，则， 于是棱台的体积为，故B正确； 对于C，连接，则点到平面的距离可看成三棱锥的底面上的高， 因，则由等体积可得： ，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由对称性，可知正四棱台外接球球心在上，设其半径为，连接， 则，因，则， 即，两边取平方，整理得，解得， 故外接球的表面积为，故D正确. 11. 将，，，…，这个数填入图中的九个圈中，每个圈只填一个数，每个数只用一次，且同一列下方的数均小于上方的数（例如：第一列需满足）．现从满足条件的填法中随机选取一种，则（ ） A. 的概率为 B. 的概率为 C. 的概率为 D. 的概率大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】将9个数填入三列，每列内部按从大到小排列，等价于将9个数随机分成三个有标签的集合，每个集合3个数，组内顺序唯一确定，总填法数为.对于A，利用第一列与第二列的对称性判断；对于B，将转化为第一列所有数均小于第三列所有数，计算概率；对于C，按第二列中间数的秩分类计算；对于D，将转化为标签序列中的首次出现位置、的第二次出现位置、的第三次出现位置的相对顺序，分类计数后判断概率是否大于. 【详解】将随机分成三组，每组3个数，分别填入第一、二、三列，组内按从大到小排列，总填法数为. 对于A，第一列与第二列地位完全对称，交换两列后与一一对应，且，所以，故A正确； 对于B，等价于第一列的最大值小于第三列的最小值，即第一列的3个数均小于第三列的3个数.先从9个数中选出6个数作为第一列与第三列的数， 第一列只能取这6个数中最小的3个，第三列取最大的3个，剩余3个数作为第二列，故有利填法数为，概率为，故B错误； 对于C，设为第小的数，则是第二列的中间数，第二列另有一个数小于、一个数大于. 要使，第一列的3个数均需小于，且不能取第二列中那个小于的数，因此需从剩余个小于的数中选3个，故. 对于，有利填法数分别为，，，，总和为，概率为，故C正确； 对于D，将9个位置按数值从大到小排列，分别标记为，每种标记序列对应一种填法，总数为. 条件等价于的首次出现位置小于的第二次出现位置，且的第二次出现位置小于的第三次出现位置. 设的第二次出现位置为，对分类计数，有利序列数分别为，总和为， 概率为.因为，故D正确. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：3 13. 关于的不等式在上恒成立，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式恒成立问题转化为函数在上恒成立，对求导后分类讨论参数，排除的情况；当时求出函数的最小值，再构造关于的函数分析其最值，得出仅当时最小值为，满足恒成立条件． 【详解】令，题意等价于在上恒成立， ， 若，则恒成立，在上单调递增， 因为，所以时，， 不满足恒成立， 若，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值， 要使恒成立，需使最小值， 令，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得最大值， 即恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足不等式恒成立的实数的值为． 14. 设点，，是抛物线：上的两个动点，且满足直线，的斜率之差为．当线段的长度最小时，点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设,由题意得,即可求解. 【详解】设，则， 由， 得， 得， 而， 当线段的长度最小时，则， 得， 则，直线的方程为：， 故点到直线的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，再根据两角和的正弦公式化简即可求解； （2）根据，计算出，再利用正弦定理即可求出的周长. 【小问1详解】 由正弦定理，得 因为，故 所以 从而，即 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以 又，所以 由正弦定理，得 所以 即周长为． 16. 如图，正方形与正方形的边长都是，二面角的大小为，点，分别在对角线和上（不含端点），且． （1）求证：； （2）当的长度为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，过作，垂足为，连接． 设，则，，且 在中，由余弦定理得 因为，所以，即 又，所以平面 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）过作，连接，由余弦定理和勾股定理证明线线垂直，即可得到线面垂直，然后就可以证明线线垂直； （2）方法一：由二面角的平面角定义得到的大小，再由面面角的平面角的定义作出平面与平面的平面角，然后计算出对应线段长度，即可求得面面角的余弦值； 方法二：建立空间直角坐标系，写出点坐标和空间向量坐标，利用空间向量的数量积求得平面的法向量，再由空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一 ，① 为二面角的平面角，即，， 在正中，设为的中点，则， 又由①知，平面，所以， 故平面， 易知平面，作，连接，则 所以为平面与平面的夹角 在正方形中，因为，所以，所以， 则，， 因为，所以， 在中，所以， 所以， 在直角中，，， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为． 方法二：以为原点建立空间直角坐标系，则，，，． ， 为二面角的平面角，即 ， 因为和长度保持相等，且， 所以可设，， 从而可得， 设平面的法向量，因为，， 则 令，则，，即 可取平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知左焦点为的双曲线：（，）经过点． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线交于，两点，过作的垂线交于，两点且与轴交于点．记线段的中点为，若面积是面积的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标与所过点计算即可得； （2）设直线：，直线：，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，同理可得，则可由得到的值，即可得解. 【小问1详解】 由题设，有，解得，所以：； 【小问2详解】 设直线：，，， 直线：，，，其中，， 联立方程，得， 所以，， 故， 且， 同理可得， 所以 ， 由题，所以，即， 由，解得或；由，解得或， 所以或，从而直线的方程为：或， 即或． 18. 将表面染成红色的正方体分割成大小、形状完全相同的个小正方体（如图）． （1）从这个小正方体中任取个，记为所取出小正方体被染成红色的面数，求的分布列及数学期望； （2）若将个小正方体视作个房间，现从某个三面染红的小正方体房间出发，每一次移动离开所在房间，并等可能地进入到某个有公共面的邻近房间（若该房间有个有公共面的邻近房间，则进入其中某个邻近房间的概率均为），求在（）次移动后位于没有染红面的小正方体房间内的概率． 【答案】（1）分布列为： ． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意写出切得小正方块被染红色不同面数对应的个数，然后写出随机变量的分布列，即可求得期望； （2）解法1：观察得到当为偶数或奇数时，次移动后停留的小正方块的染色情况。然后令事件和事件.然后由全概率事件的方法求得结果； 解法2：分别设事件为第次移动后位于面染红的小正方体房间内，然后分别求出，然后利用代入消元的方法求得的关系，结合递推公式和已知的，，，，当为偶数时求得，当为奇数时利用累加法求得. 【小问1详解】 由题意可知切得的小正方块中0个面染红色的小正方块个数为1；1个面被染红色的小正方块的个数为6；2个面被染红色的小正方块的个数为12；3个面被染红色的小正方块的个数为8. 显然可取值为，，，． 又，，，， 故分布列为： 得． 【小问2详解】 （解法1）我们注意到，当为偶数时，次移动后必位于一面染红或三面染红的小正方体房间内，当为奇数时，次移动后必位于没有染红面或两面染红的小正方体房间内． 记事件：次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件：次移动后位于两面染红的小正方体房间内， 故当为偶数时，， 当为奇数时， ， ， ， 得，从而， 因为，故， 综上， （解法2）记事件：次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件：次移动后位于1面染红的小正方体房间内，事件：次移动后位于2面染红的小正方体房间内，事件：次移动后位于3面染红的小正方体房间内， 有① ② ③ ④ ④代入③得⑤ ①代入⑤得⑥ ①代入②得⑦ ⑦代入⑥得， 即， 得（）， 又，，，， 故当为偶数时，，进而得， 当为奇数时，， 累加得， ， 综上， 19. 已知函数的定义域为，满足： ①； ②； ③对任意，有； ④对任意，，有． （1）求，； （2）证明：当时，； （3）求的解析式． 【答案】（1）；； （2）略. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求出；令，求出且，即可求出； （2）要证，只需证即可； （3）要求，只需求即可. 【小问1详解】 在③式中，取，得， 又，所以． 令，则当时，⑤， 当时， ⑥， 当，时，， 则，即， 故⑦， 令，由⑥，⑦式知， 又由⑦式知， 由⑤式知，所以， 从而，故． 【小问2详解】 由⑥式和，得，， 对于任意，设，，， 由⑤式和得， 当时，，因此， 由于，可得， 当时，由⑤式和可知，，也满足， 故，即 【小问3详解】 由⑦式可知，所以， 当足够大时，由第（2）问，， 因此， 当时，可得， 对于，有，故，又因为， 所以，故． 对于，令，，， 由⑤式得，， 故， 综上所述，对所有，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. “”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 全集，集合满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在宁波某景点的正东方向处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，该景点受到此次台风影响的持续时间为（） A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时 5. 两个线性相关变量与的统计数据如下表： 由一元线性回归模型，得到经验回归直线方程，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 6. 给定平面向量，，甲、乙、丙、丁四人分别做出以下判断 甲：，乙：，丙：，丁：． 若四个人中三个人的判断是正确的，一个人的判断是错误的，则判断错误的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 函数在区间上有两个不同的极值点，（）满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在无穷正整数数列中，，，，若（），则的取值不可能为（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱台中，，，，则（ ） A. 正四棱台表面积为 B. 正四棱台体积为 C. 点到平面的距离为 D. 正四棱台外接球的表面积为 11. 将，，，…，这个数填入图中的九个圈中，每个圈只填一个数，每个数只用一次，且同一列下方的数均小于上方的数（例如：第一列需满足）．现从满足条件的填法中随机选取一种，则（ ） A. 的概率为 B. 的概率为 C. 的概率为 D. 的概率大于 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 13. 关于的不等式在上恒成立，则实数的值为______． 14. 设点，，是抛物线：上的两个动点，且满足直线，的斜率之差为．当线段的长度最小时，点到直线的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 16. 如图，正方形与正方形的边长都是，二面角的大小为，点，分别在对角线和上（不含端点），且． （1）求证：； （2）当的长度为时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知左焦点为的双曲线：（，）经过点． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线交于，两点，过作的垂线交于，两点且与轴交于点．记线段的中点为，若面积是面积的倍，求直线的方程． 18. 将表面染成红色的正方体分割成大小、形状完全相同的个小正方体（如图）． （1）从这个小正方体中任取个，记为所取出小正方体被染成红色的面数，求的分布列及数学期望； （2）若将个小正方体视作个房间，现从某个三面染红的小正方体房间出发，每一次移动离开所在房间，并等可能地进入到某个有公共面的邻近房间（若该房间有个有公共面的邻近房间，则进入其中某个邻近房间的概率均为），求在（）次移动后位于没有染红面的小正方体房间内的概率． 19. 已知函数的定义域为，满足： ①； ②； ③对任意，有； ④对任意，，有． （1）求，； （2）证明：当时，； （3）求的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $