山东省济宁市任城区2026-2027学年上学期鲁教版（五四制）九年级数学期中模拟A卷

初四数学期中质量检测（A卷） 2026—2027学年第一学期初四数学期中质量检测（A卷·全真预测） （满分100分　时间120分钟） 姓名＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿　得分＿＿＿＿＿＿ 注意事项：1．本卷满分 100 分，考试时间 120 分钟。2．答题前请将姓名、班级填写在密封线内。 3．选择题和填空题的答案填在答题处；解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知反比例函数 的图象经过第二、四象限，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在边长均为 的小正方形网格中， 的三个顶点都是格点，其中 、、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．函数的最小值是 C．当 时， 随 的增大而增大 D．图象与 轴的交点坐标为 和 6．如图，点 在第一象限，且在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 。若 的面积为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．在 中，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 8．若二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，某斜坡 的底端 在水平地面上，坡顶 到水平地面的垂线段为 。已知斜坡的坡度 ， 米，则 的长为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 10．如图是二次函数 的图象，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数 的图象经过点 ，则当 时， 12．在 中，若 ，，则 的形状是 。 13．二次函数 的图象的顶点坐标是 14．如图，为测量某建筑物 的高度，在水平地面上的点 处测得楼顶 的仰角为 ，已知 于点 ， 米，则建筑物 的高度为 米。 15．抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，则 的面积为 16．如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，顶点 在反比例函数 （）的图象上。点 是 的中点，反比例函数 （）的图象经过点 ，交 于点 。若矩形 的面积为 ，则 的面积为 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．（4分）计算： 18．（6分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）直接写出不等式 的解集． 19．（7分）已知抛物线 经过 、、 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）当 时，直接写出 的取值范围． 20．（7分）如图，某数学兴趣小组要测量教学楼 的高度．在水平地面上的点 处竖立高 米的测角仪 ，在 处测得楼顶 的仰角为 ；沿 方向前进 米到点 ，再竖立同样高的测角仪 ，在 处测得楼顶 的仰角为 ．点 、、 在同一条直线上，⊥，⊥，⊥，直线 与 交于点 ．（1）求 的长（结果保留根号）；（2）求教学楼 的高度（结果精确到 米，参考数据 ）． 21．（8分）某商店销售一种进价为每件 元的商品，当售价为每件 元时，每周可售出 件．市场调查发现：售价每上涨 元，每周的销售量就减少 件．物价部门规定该商品的售价不得高于每件 元，且售价为整数元．设每件售价为 元，每周的销售利润为 元．（1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；（2）当每件售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 为原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，顶点 在反比例函数 （）的图象上．已知 ，矩形 的面积为 ．（1）求 的值及点 的坐标；（2）点 是该反比例函数图象上一点（不与点 重合），若△ 的面积为 ，求点 的坐标． 23．（10分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 、 重合），求△ 面积的最大值及此时点 的坐标；（3）点 是抛物线上的点，若△ 与△ 的面积相等，求点 的坐标． 初四数学 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $初四数学期中质量检测（A卷）·教师解析版 2026—2027学年第一学期初四数学期中质量检测（A卷·全真预测）　教师解析版 （满分100分　时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由勾股定理得 。 在 中，，故选 B。 A 是把 与 混淆；C 是 ，D 是 ，两者都是两直角边之比，分母不是斜边，故错。 【命题说明】考点：锐角三角函数定义；难度：基础；预测优先级：高；选择题首题用两直角边求正弦，是全卷起步位；本区卷该位置多为三角函数定义的直接应用，属教学推断（题目级证据未逐题核验）。 2．已知反比例函数 的图象经过第二、四象限，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】反比例函数 中，当 时图象位于第一、三象限；当 时图象位于第二、四象限。 题设图象在第二、四象限，故 。四个选项中只有 ，其余三项 、、 都是正数，对应的图象落在第一、三象限，故 A、C、D 都错，选 B。 【命题说明】考点：反比例函数的图象与性质；难度：基础；预测优先级：高；第2位放反比例函数的象限与 的符号，是全卷最易得的分；本区卷选择题常在靠前位置放一道只看 符号的反比例题，此点属教学推断。 3．将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线平移不改变二次项系数，只改变顶点位置。 的顶点是 。 向左平移 个单位，横坐标由 变为 ；再向下平移 个单位，纵坐标由 变为 。所以新顶点为 ，解析式为 ，选 B。 A 把左右方向平移弄反了（顶点 ）；C 把上下方向弄反了（顶点 ）；D 两个方向都反了（顶点 ）。口诀“左加右减、上加下减”可一次排除三项。 【命题说明】考点：二次函数图象的平移；难度：基础；预测优先级：高；平移是二次函数最常考的起步题，放在第3位承接前两题的简单计算；属教学推断。 4．如图，在边长均为 的小正方形网格中， 的三个顶点都是格点，其中 、、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过 作 于点 ，由格点坐标得 。 于是 ，，在 中 。 所以 ，故选 C。 又 、，分别对应 A、B 两个干扰项；D 项 是把邻边与对边写反。 【典型错误】误把 当作邻边，得 ；未作高，直接用网格上的水平边长除以斜边 【变式方向】改为求 ；把 移到 ，仍取格点 【命题说明】考点：格点中的锐角三角函数；难度：基础；预测优先级：高；本地 4/5 卷出现的网格题（P1-Q12、P2-Q7、P4-Q4、P5-Q6） 5．二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．函数的最小值是 C．当 时， 随 的增大而增大 D．图象与 轴的交点坐标为 和 【答案】C 【解析】看图：抛物线开口向上，最低点为 ，与 轴交于 和 。 因为开口向上，对称轴是过最低点且垂直于 轴的直线，即直线 ，A 错；顶点是 ，函数的最小值是 而不是 ，B 错。 开口向上的抛物线在对称轴右侧 随 的增大而增大，所以当 时 随 的增大而增大，C 正确。 图象与 轴的交点横坐标由图读出为 和 ，其中 不在图象上（ 时函数值为 ），D 错。故选 C。 【命题说明】考点：二次函数的图象与性质；难度：中档；预测优先级：高；第5位起进入读图档次：由图判断对称轴、顶点、增减性、最值四个维度是区卷选择题的标准套路；属教学推断。 6．如图，点 在第一象限，且在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 。若 的面积为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，因点 在 的图象上，所以 。又 在第一象限，故 ，，。 是 向 轴所作垂线的垂足，所以 ，，，于是 ，得 ，故选 B。 A 是漏乘 （把面积直接当作 ）；C 只在第二象限时才成立，与点 在第一象限矛盾；D 是把 重复除了一次，均错。 【命题说明】考点：反比例函数k的几何意义；难度：中档；预测优先级：高；“一点向坐标轴作垂线、由三角形面积反求 ”是 的几何意义的固定考法，放在中档起点；属教学推断。 7．在 中，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 。 再由勾股定理得 ，故选 B。 A 只算到了 就停手，没有回答题目所问的 ；C、D 分别是 与 ，都是比值而不是线段长度，故错。 【命题说明】考点：已知三角函数值求边长；难度：中档；预测优先级：高；由三角函数值反求边长是第7位的中档常规题，考“先算直角边、再用勾股定理”；属教学推断。 8．若二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线与 轴交点的横坐标，就是方程 的根。图象与 轴有两个不同的交点，等价于该方程有两个不相等的实数根。 所以 ，解得 ，故选 A。 B 取等号时 ，图象与 轴只有一个交点；C、D 对应 ，图象与 轴没有交点。三个选项都把“两个”“一个”“没有”搞混了。 【命题说明】考点：二次函数与一元二次方程的关系；难度：中档；预测优先级：高；抛物线与 轴交点个数 ⇔ 判别式符号，是二次函数与方程联系的核心考法；属教学推断。 9．如图，某斜坡 的底端 在水平地面上，坡顶 到水平地面的垂线段为 。已知斜坡的坡度 ， 米，则 的长为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】B 【解析】坡度 。设 ，（），则 。 由 得 ，，所以 米，选 B。 A 是水平距离 米，答非所问；C 直接把坡长当成了高度；D 是错误地用 得到的高度，都没有用上勾股关系。 【命题说明】考点：坡度与坡角、解直角三角形的应用；难度：中档；预测优先级：高；应用题在区卷选择/填空中固定一题，坡度与测高轮换；本题把坡度 1:2.4 与 5、12、13 勾股数组配好，一步到位；属教学推断。 10．如图是二次函数 的图象，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】读图定符号：开口向下得 ；图象与 轴交点在 轴上方得 ；与 轴交于 和 ，由对称性得对称轴为直线 ，即 ，结合 得 。 因为 ，，，所以 ，A 正确。 恰是 时的函数值，由图知点 在图象上，故 ，不大于 ，B 错。 是 时的函数值， 介于两根 与 之间，而开口向下，故 ，不是负数，C 错。 图象与 轴有两个交点，故 ，D 错。故选 A。 【命题说明】考点：二次函数图象与系数的关系；难度：提高；预测优先级：高；选择题压轴位固定为“由图判断 、、 与 的符号”，需同时读开口、对称轴、截距和交点个数；属教学推断。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数 的图象经过点 ，则当 时， 【答案】 【解析】把点 代入 得 ，所以 ，即 。 当 时，。 【命题说明】考点：反比例函数解析式的确定；难度：基础；预测优先级：高；填空第1位用“过一点求 再求函数值”，是填空题的送分位；属教学推断。 12．在 中，若 ，，则 的形状是 。 【答案】等边三角形 【解析】因为 是三角形的内角，且 ，所以 或 。 又 且 为锐角，所以 。 若 ，则 ，，与三角形内角都是正数矛盾，故舍去。 所以 ，，三个内角都等于 ， 是等边三角形。 【典型错误】只取 而未说明为什么舍去 ；把 误判为 【变式方向】改为 、，再判断形状；改为判断三角形是否为直角三角形 【命题说明】考点：特殊角三角函数值、由三角函数值判断三角形形状；难度：基础；预测优先级：中；对应本地 5 份卷中 3 次出现的“由特殊角三角函数值判断三角形形状”题型（P2-Q2、P3-Q5、P5-Q2）；替代原第二道特殊角混合运算题，避免与第 17 题重复。 13．二次函数 的图象的顶点坐标是 【答案】 【解析】配方：。 所以图象的顶点坐标为 。也可用公式：，。 【命题说明】考点：二次函数配方求顶点；难度：基础；预测优先级：高；配方求顶点（或最值）是二次函数的基本功，填空第3位固定考；属教学推断。 14．如图，为测量某建筑物 的高度，在水平地面上的点 处测得楼顶 的仰角为 ，已知 于点 ， 米，则建筑物 的高度为 米。 【答案】 【解析】在 中，， 米，。 由 得 （米）。 【命题说明】考点：解直角三角形的应用、仰角；难度：中档；预测优先级：高；测高是应用题的另一半，与第9题的坡度互补；单一直角三角形、结果含根号，符合区卷填空的中档数据风格；属教学推断。 15．抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，则 的面积为 【答案】 【解析】令 得 ，即 ，解得 ，。因为点 在点 的左侧，所以 ，，。 令 得 ，所以 ，点 到 轴的距离为 ，即 中 边上的高为 。 所以 。 【命题说明】考点：二次函数与坐标轴的交点；难度：中档；预测优先级：中；把二次函数与方程、面积串起来，是填空第5位常见的中档综合；属教学推断。 16．如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，顶点 在反比例函数 （）的图象上。点 是 的中点，反比例函数 （）的图象经过点 ，交 于点 。若矩形 的面积为 ，则 的面积为 【答案】 【解析】设 ，其中 ，，则 ，，矩形 的面积 。又 在 的图象上，所以 。 点 是 的中点，而 、 的横坐标相同，故 。由 在 上得 。 点 在 上，而 上所有点的纵坐标都是 ，由 得 ，即 ，它在 与 之间。 用割补法：；；。 所以 。 【命题说明】考点：反比例函数与几何图形、反比例函数k的几何意义；难度：提高；预测优先级：高；已核验：本区填空最后一题连续三年都是“反比例函数 + 几何图形”的较难题，故沿用该位置与结构（矩形 + 中点 + 面积分割），并把 的几何意义（矩形面积 ）作为隐含条件。 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．（4分）计算： 【答案】 【解析】原式 ． 各项的化简依据：；；因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；又 ． 代入后合并同类项：原式 ． 验算：无理项 恰好抵消，常数项 ，结果与上面的答案一致． 【评分标准】 步骤 分值 正确化简二次根式与指数幂：，， 2 正确代入 ，并由 化去绝对值 1 合并同类项，得出结果 1 合计 4 【典型错误】把 误算为 ，忘记"任何非零数的 次幂都等于 "．；去绝对值时符号出错，写成 ；因 ，正确结果是 ．；把 误算为 ；负整数指数幂应先取倒数再平方，结果为 ． 【变式方向】把 换成 ，或把 换成 、，考查点与结构完全不变． 【命题说明】考点：特殊角三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、二次根式化简；难度：基础；预测优先级：高；考查点：特殊角三角函数值与零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简的综合运算。预测依据：已核验的 5/5 份任城区初四期中卷中，解答题第 1 题恒为"特殊角三角函数式的混合运算"（规律 1），只是数字与项数略有变化。难度判断：基础，约 2 分钟，是全卷的保分题。 18．（6分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）直接写出不等式 的解集． 【答案】（1），；（2） 或 【解析】（1）因为点 在反比例函数 的图象上，所以 ，得 ，即反比例函数的解析式为 ． 因为点 也在 的图象上，所以 ，即 ． 把 、 代入 ，得 ，，两式相减得 ，再代回得 ，所以一次函数的解析式为 ． （2）不等式 表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方．观察图象：当 时， 而 ，不合题意；当 时，双曲线在直线上方，符合；当 时，双曲线在直线下方，不符合；当 时，双曲线又在直线上方，符合． 所以原不等式的解集为 或 ． 【评分标准】 步骤 分值 由点 在反比例函数图象上求出 ，写出 1 求出 ，即点 的坐标为 1 把 、 的坐标代入 ，解得 、，写出一次函数解析式 2 结合图象写出解集 或 （两段缺一不可） 2 合计 6 【典型错误】只由图的一支下结论，漏掉 这段；或错写成 （此时双曲线恰在直线下方）．；忘记讨论 的情形，把 也写进解集；实际上 时 ．；解关于 、 的方程组时符号出错，得到 一类的错误解析式，可用点 、 回代检验． 【变式方向】可把条件改为"一次函数图象与 轴交于点 ，且过 "，仍求两个解析式；也可增加第三问"求 的面积"，此时以 轴上的截距 为底，得面积为 ． 【命题说明】考点：反比例函数解析式、一次函数解析式、图象法解不等式；难度：中档；预测优先级：高；考查点：待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；用图象的高低关系解不等式（含两支图象的分类观察）。预测依据：反比例函数与一次函数综合是任城区卷的固定中档题，且规律 6 显示 的几何意义与图象性质在 5/5 份样本卷中均出现。难度判断：中档，约 5 分钟；第（2）问的易错点在 一支的取舍． 19．（7分）已知抛物线 经过 、、 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）；（2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（3） 【解析】（1）因为 、 是抛物线与 轴的交点，所以可设 ． 把 代入，得 ，所以 ．故 ．（也可设一般式，代入三点解三元一次方程组，结果相同．） （2）配方：，所以抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． （3）因为 ，抛物线开口向上，且对称轴 落在区间 内，所以当 时 取得最小值 ． 再比较两个端点：当 时 ；当 时 ．所以最大值是 ．故当 时， 的取值范围是 ． 【评分标准】 步骤 分值 设交点式 （或设一般式并列出方程组） 1 代入点 求得 ，写出 2 配方得 ，写出对称轴为直线 1 写出顶点坐标 1 指出 在 内，最小值 1 比较端点值 与 ，得最大值 ，写出 1 合计 7 【典型错误】求值域时只代两个端点，得到 ，忽略了顶点在区间内取得最小值 ．；配方时符号出错，写成 或 ，导致对称轴、顶点全错．；把" 随 增大而减小"的区间（）与本题区间混淆，误以为区间右端点处取最小值． 【变式方向】可把条件换成"顶点为 ，且经过点 "，用顶点式 求 ；也可把第（3）问改为"当 时，求 的取值范围"（答 ）． 【命题说明】考点：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称轴与顶点、二次函数在闭区间上的值域；难度：中档；预测优先级：高；考查点：三点式（交点式）求二次函数解析式、配方法求对称轴与顶点、二次函数在闭区间上的值域。预测依据：待定系数法与配方在 4—5/5 份样本卷中均出现，是任城区卷二次函数的主干（规律 8）。难度判断：中档，约 7 分钟；第（3）问必须兼顾顶点与端点，是本题唯一的失分点． 20．（7分）如图，某数学兴趣小组要测量教学楼 的高度．在水平地面上的点 处竖立高 米的测角仪 ，在 处测得楼顶 的仰角为 ；沿 方向前进 米到点 ，再竖立同样高的测角仪 ，在 处测得楼顶 的仰角为 ．点 、、 在同一条直线上，⊥，⊥，⊥，直线 与 交于点 ．（1）求 的长（结果保留根号）；（2）求教学楼 的高度（结果精确到 米，参考数据 ）． 【答案】（1） 米；（2） 米 【解析】（1）因为 ⊥，⊥，所以 ∥；又 米，所以四边形 是矩形，从而 ∥， 米．因为 ⊥，所以 ⊥，即 ⊥ 于 ，且 米，∠，∠． 设 米．在 Rt△ 中，，所以 ；在 Rt△ 中，，所以 ． 因为 ，所以 ，即 ，解得 ．所以 米． （2）（米）．所以教学楼 的高度约为 米． 验算： 米， 米， 米，与题设的前进距离一致． 【评分标准】 步骤 分值 说明 ∥、⊥，得 米，并指出 ∠、∠ 2 在 Rt△ 中表示出 1 在 Rt△ 中表示出 1 由 列出方程，解得 ，即 米 2 求出 米（含近似计算与单位） 1 合计 7 【典型错误】把仰角对应的锐角三角函数关系写反，误用 ，或把 写成 ，从而得到 ．；求出 后就结束，忘记加上测角仪的高度 米，误答楼高为 米．；合并 时算成 或直接取 ，导致结果与 不符． 【变式方向】可把两个仰角改为 与 ，此时方程变为 ，需用分母有理化求 ；也可去掉测角仪，改为"某人在坡角为 的斜坡上观测"，增设一个坡度条件作第二次转化． 【命题说明】考点：解直角三角形的应用、仰角、测高问题；难度：中档；预测优先级：高；考查点：解直角三角形的实际应用——两次测仰角测高，含"测角仪高度"的两次转化与无理数的近似计算。预测依据：规律 4 指出应用题以测高、坡度类为主，且 5/5 份样本卷在该位置均放三角函数应用题。难度判断：中档，约 8 分钟；两个易错点是"仰角必须从水平线量起"和"最后要加上测角仪高度"． 21．（8分）某商店销售一种进价为每件 元的商品，当售价为每件 元时，每周可售出 件．市场调查发现：售价每上涨 元，每周的销售量就减少 件．物价部门规定该商品的售价不得高于每件 元，且售价为整数元．设每件售价为 元，每周的销售利润为 元．（1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；（2）当每件售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1），（ 为整数）；（2）售价定为 元时利润最大，最大利润为 元 【解析】（1）售价由 元上涨到 元，上涨了 元，销售量减少 件，所以每周的销售量为 （件）． 每件的利润为 元，所以 ． 由售价不低于 元、不高于 元以及销售量 ，得 的取值范围是 ，且 为整数． （2）配方：． 因为 ，所以当 时 取得最大值；又 ，符合题意，此时 ．所以每件售价定为 元时，每周的销售利润最大，最大利润是 元． 验算：售价 元时，销售量为 件，每件利润 元，（元）；与端点比较，售价 元时利润 元，售价 元时利润 元，均小于 元． 【评分标准】 步骤 分值 用含 的式子表示涨价后的每周销售量 1 写出 并展开为 2 由售价的实际限制写出自变量取值范围 （ 为整数） 1 配方得 2 由 且 在取值范围内，得出售价 元时利润最大、最大利润 元 2 合计 8 【典型错误】把销售量写成 ，忽略"每上涨 元减少 件"是从 元起算的，导致解析式整体偏移．；漏写取值范围，或只写 而忽略"售价不得高于 元"，使结论缺少依据．；配方时把 的符号弄错，或忘记把 加回常数项，得到错误的最大值． 【变式方向】可把模型改为"每降价 元就多售出 件"，或增加"每周还需支付固定费用 元"的条件，此时函数变为 ，考查常数项的处理与最值的实际意义． 【命题说明】考点：二次函数的实际应用、销售利润的最大值、自变量的取值范围；难度：中档；预测优先级：高；考查点：二次函数在销售利润问题中的建模（单件利润 销售量）与最值，以及由实际意义确定自变量取值范围。预测依据：规律 4、规律 8 指出二次函数的实际应用（利润类）在 4—5/5 份样本卷中出现，且实测解答第 5 题（8 分）多为此类。难度判断：中档，约 8 分钟；顶点 落在取值范围 内，需说明"最值可取到"． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 为原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，顶点 在反比例函数 （）的图象上．已知 ，矩形 的面积为 ．（1）求 的值及点 的坐标；（2）点 是该反比例函数图象上一点（不与点 重合），若△ 的面积为 ，求点 的坐标． 【答案】（1），；（2） 或 【解析】（1）设 ，则 ．由矩形 的面积为 ，得 ，即 ，所以 ，即 ，． 所以 ．因为点 在 的图象上，所以 ，即 ．（也可直接用 的几何意义：图象上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 ，故 ．） （2）设 （）．以 为一个顶点时，△ 的面积 （该式可由过 、 向坐标轴作垂线，用矩形割补得到）．由 得 ． ① 当 时，两边乘 得 ，即 ，解得 或 ；因为 ，所以 ，此时点 为 ． ② 当 时，得 ，即 ，解得 或 ；因为 ，所以 ，此时点 为 ． 所以点 的坐标为 或 ．验算： 时 ； 时 ，且两点都在 的图象上． 【评分标准】 步骤 分值 由 与矩形面积 求得 、 2 写出点 的坐标 1 由点 在图象上求得 （或由 的几何意义直接得 ），写出 1 设 ，列出面积方程 2 第一类：解 ，舍去负根得 ， 2 第二类：解 ，舍去负根得 ，，并写出完整答案 2 合计 10 【典型错误】把 写成 ，符号出错导致方程无解．；漏写绝对值，只解出一类，漏掉 或 ．；解方程后不检验 ，把 、 也写成答案，出现第四象限的点． 【变式方向】可把条件改为" 且矩形面积为 "，考查同一套推理；也可把第（2）问改为"点 在图象上且 "，用两点间距离公式转化为关于 的方程，仍要舍去不合题意的根． 【命题说明】考点：反比例函数中k的几何意义、坐标系中的三角形面积、分类讨论求点坐标；难度：提高；预测优先级：中；考查点： 的几何意义（过图象上一点向两坐标轴作垂线所得矩形面积等于 ）、坐标与面积的关系、设未知数后用面积条件列方程并分类讨论。预测依据：规律 2、规律 6 显示"反比例函数与几何图形"是本区连续三年的较难题型；规律 3 说明它不作全卷压轴，故放在第 22 题（10 分）承载这一功能。难度判断：提高，约 10 分钟；第（2）问的绝对值是分类讨论的入口． 23．（10分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 、 重合），求△ 面积的最大值及此时点 的坐标；（3）点 是抛物线上的点，若△ 与△ 的面积相等，求点 的坐标． 【答案】（1）；（2）△ 面积的最大值为 ，此时 ；（3） 或 【解析】（1）因为抛物线与 轴交于 、，可设 ．把 代入，得 ，所以 ，故 ． （2）设直线 的解析式为 ，把 、 代入，得 ，，所以 ，即 ． 设 ，其中 ．过点 作 轴的平行线交 于点 ，则 ，所以 ． 于是 △PBC 的面积 ． 因为 ，所以当 时 取得最大值，最大值为 ，即 △ 面积的最大值为 ；此时 ，即 ． （3）△ 的面积为 ，所以需 △ 的面积也等于 ．设 ，同（2）的方法以 的水平宽 为底，得 △ 的面积为 ． 由 得 ，分两类讨论：① 若 ，则 ，配方得 ，该方程无实数根；② 若 ，则 ，即 ，解得 或 ． 当 时，，得 ；当 时，，得 ，即点 ．所以点 的坐标为 或 ． 【评分标准】 步骤 分值 设交点式 并代入 ，求得 2 写出解析式 1 求出直线 的解析式 1 设 （），求出铅垂高 ，并写出面积的函数关系 2 配方得 ，得最大值 与点 2 求出 △ 的面积为 ，列出含绝对值的方程 1 两类讨论： 无实数根； 得 、，写出 、 1 合计 10 【典型错误】设点 时忽略 的限制，用任意 求最值，结论失去实际意义．；第（3）问漏掉绝对值，只解 一类，得到"无解"就结束，漏掉 与 ．；用"水平宽 铅垂高"时把面积写成 ，漏掉系数 ，最大值算成 ． 【变式方向】可把第（2）问改为“求线段 的最大值”（答案同样是 ，最值点仍为 ）；也可把第（3）问改为“若 △ 的面积为 ”，此时两类均有解，答案共四个点，分类要求更高． 【命题说明】考点：二次函数综合、三角形面积的最大值、分类讨论；难度：提高；预测优先级：高；考查点：待定系数法求二次函数解析式、"水平宽 铅垂高"求三角形面积的最值、把面积相等转化为含绝对值的方程并分两类讨论。预测依据：规律 3 显示全卷压轴固定为二次函数综合；规律 9 显示反比例函数从不压轴；本题不含圆与相似，符合范围限制。难度判断：提高，约 15 分钟；第（3）问的两类是最后一档区分点． 初四数学 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $