精品解析：黑龙江哈尔滨市中实学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

中实学校2026-2027学年度上学期 期中考试初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，即可判断． 【详解】解：A、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、沿图形的竖直中线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断． 【详解】解：A、，不是同类项，无法合并，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意． D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 3. 按如图所示的方式放置的是学校手工课上小王制作的双龙戏珠剪纸作品，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称．先判断出图中剪纸的对称轴为y轴，再根据关于y轴对称的点的坐标特点求解． 【详解】解：图中剪纸的对称轴为y轴，则点关于对称轴对称的点的坐标为 故选：B． 4. 如图，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A、B之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是34， 故选：D． 5. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等 C. 若，则 D. 若，则，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，为假命题； B、原命题的逆命题为“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，为真命题； C、原命题的逆命题为“若，则”，当，时，，但，为假命题； D、原命题的逆命题为“若，，，则”，两边及其中一边的对角对应相等不能判定三角形全等，为假命题； 故选：B． 7. 如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 一根均匀的细木棒，长度为L，要使它在手指上平衡，手指应放在（ ） A. 木棒的一端 B. 距离一端处 C. 木棒的中点 D. 距离一端处 【答案】C 【解析】 【分析】根据均匀的细木棒的重心是其中点，即可判断． 【详解】解：∵细木棒是均匀的， ∴其重心在木棒的中点， ∴要使木棒在手指上平衡，支撑点需与重心位置重合 ∴手指应放在木棒的中点． 9. 如图，，，，，垂足分别为D、E．若，，则的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，三角形外角的性质，角平分线的定义， 根据角平分线定义得，再根据三角形外角的性质得，即可解答①；作，，，根据角平分线性质定理得，再根据角平分线性质定理的逆定理得平分，然后根据解答；接下来根据平分，解答③；最后根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，即可解答④． 【详解】解：如图， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴，则①正确； 过点P作于点M，于点N，于点S， ∴， ∴平分． ∵，则不正确； ∵平分， ∴垂直平分，则③正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴.则正确． 本题正确的有：． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. _____． 【答案】1 【解析】 【详解】． 12. 在中，，边上的中线，则边的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， 故答案为：． 13. 已知：，则，_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若(2x＋a)(x－1)的结果中不含x的一次项，则a=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项即可确定出a的值. 【详解】解：(2x+a)（x-1)=2x2 +(a-2)x-a, 由结果中不含x的一次项，得到a-2=0，即 a=2, 故答案为: 2. 【点睛】本题主要考查合并同类项的知识，由合并同类型的最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即a-2=0. 15. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，，则的周长是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 16. 如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 利用等边对等角，求出的度数，利用中垂线的性质，得到，利用等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系可得，根据含角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为： 17. 如图，已知，，，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】由，根据三角形内角和公式可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找与的关系即可解答． 【详解】解：如图： ，， ， ， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ， 同理． 18. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 19. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 20. 如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确地利用图形特征作出辅助线是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，可证明即可判断①；由，但与不一定相等，推导出与不一定相等，则与不一定相等，可判断②；由全等三角形的性质得，可判断③；作于点，于点，可证明，得，即可判断④． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ，，， ，， ，， 点、、共线，， 在和中， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②错误； ， ， 平分， 故③正确； 过点作于点，延长线于点， 则， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，再依次进行同底数幂的乘除法运算； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘以多项式，最后合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，求值结果为 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则对整式进行化简，再代入给定的x、y值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的坐标为_____；的面积为_____； （3）在y轴上画出点P，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到点的坐标，再画图即可； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同可得第一空的答案，再利用割补法求面积可得第二空的答案； （3）连接交y轴于点P，由对称性可知，则，故P、C三点共线时有最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于y轴对称，， ∴； ； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，点D、E在边上，，．     （1）求证：； （2）若，，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理. （1）证明，即可得证； （2）根据角的和差及等腰三角形的定义作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形． 25. （1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 26. 已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点. （1）则 ， ； （2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴； （3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） ； 理由如下： 如图，连接，连接并延长到G，使，连接； 由对称性质知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵N为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平方的非负性质即可求解； （2）连接，则，则，；由A、B的坐标及线段垂直平分线的性质，则有，从而得；由可得；证明，从而可得结论成立； （3）连接，连接并延长到G，使，连接；首先由对称可得是等边三角形；其次证明，有；再次证明，得，则有；再由及等腰三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵，满足：， ∴， 即， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：连接，如图， 则， ∴； ∴； 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即轴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键与难点． 27. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为兄弟三角形． （1）如图1中，若和互为兄弟三角形，，．则 ①__________；（填或） ②连结线段和，则___________．（填、或） （2）如图2，和互为兄弟三角形．，，，点在一条直线上，与交于点，求的大小． （3）如图3，和互为兄弟三角形，，，，点，，在一条直线上，交于点，点，，在一条直线上，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①利用兄弟三角形定义得到顶角相等，同减公共角，判断两角大小；②用证明三角形全等，得到线段相等． （2）先由等腰直角三角形内角求出、，结合（1）的全等结论，利用角的差求出． （3）连接，先证，推导出角度关系得到，转化面积，设，列面积方程求解． 【小问1详解】 解：①和互为兄弟三角形， ， ，， ； ②如图， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，，共线， ， 由（1）得， ， ； 【小问3详解】 解：连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， （舍去负根）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中实学校2026-2027学年度上学期 期中考试初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 按如图所示的方式放置的是学校手工课上小王制作的双龙戏珠剪纸作品，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A、B之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等 C. 若，则 D. 若，则，， 7. 如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A. B. C. D. 8. 一根均匀的细木棒，长度为L，要使它在手指上平衡，手指应放在（ ） A. 木棒的一端 B. 距离一端处 C. 木棒的中点 D. 距离一端处 9. 如图，，，，，垂足分别为D、E．若，，则的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 1 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. _____． 12. 在中，，边上的中线，则边的取值范围是_____． 13. 已知：，则，_______． 14. 若(2x＋a)(x－1)的结果中不含x的一次项，则a=__________． 15. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，，则的周长是__________． 16. 如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为________． 17. 如图，已知，，，，，则_______ 18. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 19. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 20. 如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的坐标为_____；的面积为_____； （3）在y轴上画出点P，使最小（保留作图痕迹）． 24. 如图，在中，点D、E在边上，，．     （1）求证：； （2）若，，请直接写出图中所有的等腰三角形． 25. （1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 26. 已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点. （1）则 ， ； （2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴； （3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 27. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为兄弟三角形． （1）如图1中，若和互为兄弟三角形，，．则 ①__________；（填或） ②连结线段和，则___________．（填、或） （2）如图2，和互为兄弟三角形．，，，点在一条直线上，与交于点，求的大小． （3）如图3，和互为兄弟三角形，，，，点，，在一条直线上，交于点，点，，在一条直线上，，，的面积为18，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $