精品解析：福建省福州第十九中学2026-2027学年第一学期期中测试八年级数学试题

福州第十九中学2026-2027学年第一学期期中测试 八年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个正确答案，每题4分．共40分） 1. 在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国人的审美与文化．下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点D是的重心，连接并延长交于点E．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. ，该变形所运用的运算法则是（ ） A. 幂的乘方法则 B. 分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 4. 已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 6. 如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 两个全等三角形的面积相等 9. 如图，下列条件中，不能证明 的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，直线与直线相交于点，，点是射线上一定点，以为边在内部作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作的两个外角平分线交于点，连接．在点运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 若，则的值是__________． 12. 道庆洲大桥是福建省首座双层公轨两用大桥，上层通行汽车，下层承载地铁6号线，是打通三江口到滨海新城的通道．如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢桁构架，这样设计是因为三角形具有__________． 13. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是__________． 14. 已知，，则的值为__________． 15. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，三角形的重心横坐标等于三个顶点横坐标的平均数，重心纵坐标等于三个顶点纵坐标的平均数．若一个组合图形被分成两部分，第一部分的面积为，重心坐标为；第二部分的面积为，重心坐标为．整个图形的面积为，设整个图形的重心坐标为，，．已知一个组合图形由四边形和组成，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，，．则这个组合图形的重心坐标为____________________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）画出关于轴对称的，分别写出，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点的位置． 21. 实践教育：为提高学生火灾逃生能力，福州第十九中学组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 7 10 13 16 19 注：铁条不可切割 数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． （1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有多少种制作方案． （2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 22. 如图，在 中， 点D在上， 且． （1）尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 23. 已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则__________； ②若，连接，当时，求的度数； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 24. 数形结合是一种重要的数学思想方法．数学活动课上老师准备了三类纸片，图1中型是边长为的正方形纸片；型是边长为的正方形纸片；型是长为、宽为的长方形纸片（），同学们利用纸片开展拼图探究活动． （1）小嘉取出4张型纸片、4张型纸片、1张型纸片，无重叠、无缝隙地拼出了一个大正方形（图2）．请写出拼成的大正方形的边长为__________；由此验证的乘法公式是____________________． （2）【拼图拓展】若用、、三类纸片来拼长方形，现有型纸片2张，型纸片3张，型纸片数量充足，纸片不允许裁切，且要求全部2张型纸片、3张型纸片必须用上．小明想到：可设拼成的长方形长为，宽为，借助整式的乘法展开分析，无需盲目画图尝试．请顺着小明的思路探究：满足条件的长方形一共有几种情况，并分别求出每种情况所需要型纸片的张数． （3）【综合应用】活动继续，同学们用边长为的大正方形红纸制作“福”字中国结（图3），图4、图5为裁剪后的主体，空白部分是剪掉的区域．图4的四个角落图形相同，四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形；图5阴影部分可看作由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成．已知图4与图5阴影部分面积均为87，求裁剪前整块大正方形红纸的面积． 25. 如图1，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． （1）求的度数； （2）如图2，若为的平分线，交于点，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连连接，，判断形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2026-2027学年第一学期期中测试 八年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个正确答案，每题4分．共40分） 1. 在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国人的审美与文化．下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．依次对每个选项中的图形，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得图形沿该直线对折后完全重合．因为要找出不是轴对称图形的选项，所以只需判断出哪个图形不存在这样的对称轴即可． 【详解】选项A：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项B：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项C：不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形； 选项D：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形． 2. 如图，点D是的重心，连接并延长交于点E．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是指三角形的三条中线的交点，由三角形重心的定义可得为的中线，即可得解． 【详解】解：∵点D是的重心，连接并延长交于点E． ∴为的中线， ∴， 故选：D． 3. ，该变形所运用的运算法则是（ ） A. 幂的乘方法则 B. 分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 【答案】C 【解析】 【详解】解：是、、三个因式的积的乘方，变形为，符合积的乘方法则． 4. 已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再根据三角形全等的性质求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 5. 下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，将各条件转化为角的度数关系，判断是否存在直角． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，是直角三角形． ②∵，， ∴最大角，不是直角三角形． ③∵， ∴， ∵， ∴，是直角三角形． 综上，符合条件的是①③． 6. 如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，，， ． 故选：B． 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出各选项中两个二项式的相同项与互为相反数的项，以此判断能否用平方差公式计算． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式计算，符合题意； B. ，能用平方差公式计算，不符合题意； C. ，能用平方差公式计算，不符合题意； D. ，能用平方差公式计算，不符合题意． 8. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：互换原命题的题设与结论得到逆命题，逐一判断如下． A．逆命题为“相等的角是对顶角”，不成立． B．逆命题为“若，则”，当时，，不成立． C．逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，成立． D．逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，不成立． 9. 如图，下列条件中，不能证明 的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题要判定≌，已知是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可． 【详解】解：根据题意知，边为公共边． A、由“”可以判定≌，故本选项错误； B、由“”可以判定≌，故本选项错误； C、由 ，则 ，然后根据“”可以判定≌，故本选项错误； D、由 ，则 ，则由“”不能判定≌，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 10. 如图，直线与直线相交于点，，点是射线上一定点，以为边在内部作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作的两个外角平分线交于点，连接．在点运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线性质判定平分，确定点在射线上运动，根据垂线段最短确定时最小． 【详解】解：连接，过点分别作、、所在直线的垂线，垂足分别为、、． 点是两个外角平分线的交点， ， 平分 ，即 ，且点在内部 . ∵点是射线上一定点，， ∴点E是定点， ∴当时，线段取最小值，此时， . 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 若，则的值是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】题目给出底数为3的幂的结果为1，结合零指数幂的定义匹配对应指数即可求解． 【详解】解：根据零指数幂的运算规则，任意不为0的数的0次幂的值为1，即当时，， ∵ 等式中的底数，且． ∴ 满足零指数幂的适用条件，可得． 12. 道庆洲大桥是福建省首座双层公轨两用大桥，上层通行汽车，下层承载地铁6号线，是打通三江口到滨海新城的通道．如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢桁构架，这样设计是因为三角形具有__________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：桥身采用三角形钢桁构架，这样设计是因为三角形具有稳定性． 13. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】题干未明确等腰三角形的腰长与底边长，需分两种情况讨论，结合三角形三边关系判断每种情况是否能构成三角形，再计算对应有效情况的周长． 【详解】解： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系， ∴该情况无法构成三角形，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴该情况成立， 此时这个等腰三角形的周长为． 14. 已知，，则的值为__________． 【答案】48 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 15. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】过点P作于点T，求出，得到，再由三线合一定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，三角形的重心横坐标等于三个顶点横坐标的平均数，重心纵坐标等于三个顶点纵坐标的平均数．若一个组合图形被分成两部分，第一部分的面积为，重心坐标为；第二部分的面积为，重心坐标为．整个图形的面积为，设整个图形的重心坐标为，，．已知一个组合图形由四边形和组成，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，，．则这个组合图形的重心坐标为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算矩形与的面积、各自重心坐标，代入题目给出的组合图形重心坐标公式求解整体重心坐标． 【详解】解：∵四边形的顶点为、、、，四个角均为直角，对边相等， ∴四边形是矩形， ∴矩形面积， ∵矩形的重心为其几何中心，即对角线的交点， ∴矩形的重心坐标， ∵的顶点为、、，为竖直线段，长度为， ∴点到边的垂直距离为， ∴的面积， ∵题目规定三角形的重心坐标为三个顶点坐标的算术平均数， ∴的重心坐标， ∵组合图形的总面积， 根据题目给出的组合图形重心坐标公式：， ， ∴组合图形的重心坐标为． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、线段的和差，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据线段的和差得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）画出关于轴对称的，分别写出，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点的位置． 【答案】（1） ，，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的定义画图标点即可； （2）利用轴对称的性质，可知，再根据“两点之间，线段最短”可知，连接，此时最短，即可找到的位置． 【小问1详解】 详解见答案 【小问2详解】 解： 由（１），连接与轴的交点即为， ． 21. 实践教育：为提高学生火灾逃生能力，福州第十九中学组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 7 10 13 16 19 注：铁条不可切割 数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． （1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有多少种制作方案． （2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】（1）共有2种制作方案． （2）购买铁条共需66元． 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为奇数、铁条不可切割的条件，筛选符合要求的第三边长，统计方案数． （2）分别计算两种规格框架的铁条费用，求和得到总费用． 【小问1详解】 解：设第三边长为米． ∵三角形两边长为2米和4米 ∴即 ∵第三边长为奇数，且铁条不可切割，可购买的铁条规格为2，3，4，5，6米 ∴的取值为3，5， ∴共有2种制作方案． 【小问2详解】 解：制作1个第三边长为3米的框架，需2米、3米、4米铁条各1根， 费用为：（元） 制作1个第三边长为5米的框架，需2米、4米、5米铁条各1根， 费用为：（元） 总费用为（元） 答：购买铁条共需66元． 22. 如图，在 中， 点D在上， 且． （1）尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 【答案】（1） 如图所示，则． （2） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）作出的垂直平分线，即可解答； （2）先证明，得到，继而推导出，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则__________； ②若，连接，当时，求的度数； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用轴对称的性质计算即可； ②利用轴对称的性质可知为等边三角形，则，借助①中结论即可求解； （2）作点关于射线的对称点，点关于射线的对称点，利用轴对称的性质可知，当，，，四点共线的时候，的周长最短，此时是等腰三角形，且，，利用全等三角形和轴对称的性质转化求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点关于射线的对称点是， ∴， ∵点关于射线的对称点是， ∴， ∵， ∴； ②∵点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是， ∴， ∴为等边三角形； ∴， 由①可知，， 则； 【小问2详解】 解：如图，作点关于射线的对称点，点关于射线的对称点，连接，，，， ∵点关于射线的对称点为，点关于射线的对称点为， ∴，， 则的周长为， 如图，当，，，四点共线的时候，的周长最短，连接， 此时，由（1）可知， ∴， 由对称可知， ，， ∴， 则． 24. 数形结合是一种重要的数学思想方法．数学活动课上老师准备了三类纸片，图1中型是边长为的正方形纸片；型是边长为的正方形纸片；型是长为、宽为的长方形纸片（），同学们利用纸片开展拼图探究活动． （1）小嘉取出4张型纸片、4张型纸片、1张型纸片，无重叠、无缝隙地拼出了一个大正方形（图2）．请写出拼成的大正方形的边长为__________；由此验证的乘法公式是____________________． （2）【拼图拓展】若用、、三类纸片来拼长方形，现有型纸片2张，型纸片3张，型纸片数量充足，纸片不允许裁切，且要求全部2张型纸片、3张型纸片必须用上．小明想到：可设拼成的长方形长为，宽为，借助整式的乘法展开分析，无需盲目画图尝试．请顺着小明的思路探究：满足条件的长方形一共有几种情况，并分别求出每种情况所需要型纸片的张数． （3）【综合应用】活动继续，同学们用边长为的大正方形红纸制作“福”字中国结（图3），图4、图5为裁剪后的主体，空白部分是剪掉的区域．图4的四个角落图形相同，四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形；图5阴影部分可看作由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成．已知图4与图5阴影部分面积均为87，求裁剪前整块大正方形红纸的面积． 【答案】（1）， （2）共2种符合条件的长方形，分别需要5张、7张C型纸片； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合图2得到大正方形的边长，分两种情况求出大正方形的面积，即可得到乘法公式； （2）根据题意可知拼成的长方形总面积包含2张A型张B型的面积和，即，计算得到，得到，，其中都是正整数，为型纸片的张数，再分情况讨论即可； （3）根据图4与图5阴影部分面积均为87求出，，进而根据计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，大正方形的边长为， ∵大正方形的面积，且大正方形的面积， ∴由此验证的乘法公式是 【小问2详解】 解：根据题意，拼成的长方形总面积包含2张A型张B型的面积和，即． 对比面积的系数可知：，，其中都是正整数，为型纸片的张数． 对，正整数解为（为重复情况）； 对，正整数解有两组： 第一组：，此时，需要5张C型纸片； 第二组：，此时，需要7张C型纸片． 因此共2种符合条件的长方形，分别需要5张、7张C型纸片； 【小问3详解】 解：∵图5阴影部分可看作由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，阴影面积为87， ∴图5阴影面积， 由图4可知图4阴影面积为大正方形减去4个角落的面积，再减去中间小正方形的面积，面积为87， ∴图4阴影面积 ∵图4阴影面积为87， ∴， ∴，即， ∵大正方形红纸边长为， ∴大正方形红纸面积为， 由（1）知， 即大正方形红纸面积为 ． 25. 如图1，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． （1）求的度数； （2）如图2，若为的平分线，交于点，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连连接，，判断形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图2所示，延长到点，使得，连接， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴； 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案； （2）证明；延长到点，使得，连接，则是等边三角形，证明，得到，，再证明，得到，则可证明； （3）证明，得到，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $