精品解析：福建省福州市鼓楼区立志中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区立志中学八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 给出下列计算：其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方，根据运算法则逐项计算即可判断． 【详解】解：A，，计算错误； B，，计算正确； C，，计算错误； D，，计算错误； 故选B． 3. 若某三角形的三边长分别为2，3，m，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，3，m，， ∴，即． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定三角形第三边的取值范围，掌握三角形三边关系是解题的关键． 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等． 【详解】解：在与中， ， ∴； 故选：B． 5. 若，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意； D选项是分子分母同时平方，不符合题意； C选项是分子分母同时乘2，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟记分式的基本性质，准确进行判断． 6. 如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， 是中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 若是完全平方式．则的值可能是（ ） A. 6或 B. 18 C. 12或 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，形如的式子为完全平方式，据此求解． 【详解】解：， 若是完全平方式．则， 即的值可能是12或， 故选C． 8. 如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋ PC＝AB．下列描述正确的是（ ） A. P是∠ACB的平分线与AB的交点 B. P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点 C. P是AC的垂直平分线与AB的交点 D. P是BC的垂直平分线与AB的交点 【答案】D 【解析】 【分析】由PA+PC=AB易得PB=PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在BC的垂直平分线上，即P是BC的垂直平分线与AB的交点． 【详解】∵PA+PC=AB，PA+PB=AB， ∴PB=PC， ∴点P在BC的垂直平分线上， ∴P是BC的垂直平分线与AB的交点； 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，如图所示，由基本尺规作图-作角平分线得到平分，再由三角形全等的判定得到，设，表示出中三边长度，再由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 依题意，平分，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得，即， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及基本尺规作图-作角平分线、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程求线段长等知识，熟练掌握基本尺规作图-作角平分线、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 10. 若，，则的值是（ ） A. 1025 B. 1998 C. 2011 D. 2050 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式，先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式展开，然后相加，再根据等式的基本性质求出答案即可． 【详解】解：， ，， 得：， ， 故选：． 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，实数，熟练掌握任何非0数的零指数幂为1是解题的关键．利用零指数幂计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】． 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征． 13. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，先根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再整体代入计算即可． 【详解】解：, ， 故答案为：． 15. 如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 【详解】解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 16. 如图，中，，，，，点在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系．连接，作点关于的对称点，连接，则，以为边向外作等边三角形，作直线，证明，推出，推出点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，，交于点．求出可得结论． 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系． 连接，作点关于的对称点，连接，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵是等边三角形，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴，可得， 以为边向外作等边三角形，作直线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接，，，交于点． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 三.解答题（共9题，共86分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． (1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； (2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的法则是解决此题的关键． (1)先按照积的乘方和同底数幂的乘法的运算法则进行计算，再合并同类项即可； (2)按照多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20. 如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 21. 如图，点D是上一点，，，垂足分别为E，F，，点G是上一点，．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由角平分线的判定定理易得是角平分线，由，易得，则可得到答案． 【详解】略 22. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） （1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键． （1）4个小长方形面积与中间小正方形面积之和等于大正方形面积，由此列式； （2）利用（1）中结论，将，代入计算即可； （3）由，得，由得，再利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：，，之间的等量关系是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ． 23. 如图，在中，，，平分，交于点P． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （2）记直线l与，的交点分别是点E，F． ①求证：； ②当时，求EF的长． 【答案】（1） 解：如图，直线l即为所求． （2） ①证明：∵，， ∴． ∵直线l垂直平分线段， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，则． ②连接，由题意可得为等边三角形，则，．由线段垂直平分线的性质可得，则，由角平分线的定义可得和角度的计算可得，根据等角对等边即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②连接， ∵，， ∴． 由①知，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵直线l垂直平分线段， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. （1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出的值，代入计算可得答案； （2）将变形为，代入，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）① ； ②， 由①可知，， ，都是正整数， ，都是整数，且， 又， ，或， 解得，或（不合题意，舍去）， ； （2）解：， ， ， ， ， 当，时，，满足题意， 整式的最小值为． 25. 如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∠ （3） 证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省福州市鼓楼区立志中学八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列计算：其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若某三角形的三边长分别为2，3，m，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式．则的值可能是（ ） A. 6或 B. 18 C. 12或 D. 36 8. 如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋ PC＝AB．下列描述正确的是（ ） A. P是∠ACB的平分线与AB的交点 B. P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点 C. P是AC的垂直平分线与AB的交点 D. P是BC的垂直平分线与AB的交点 9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 10. 若，，则的值是（ ） A. 1025 B. 1998 C. 2011 D. 2050 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 13. 若，则的值为__________． 14. 若，，则__________． 15. 如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为_______． 16. 如图，中，，，，，点在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是_________． 三.解答题（共9题，共86分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 21. 如图，点D是上一点，，，垂足分别为E，F，，点G是上一点，．求证：． 22. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） （1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：若，，，求的值． 23. 如图，在中，，，平分，交于点P． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （2）记直线l与，的交点分别是点E，F． ①求证：； ②当时，求EF的长． 24. （1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 25. 如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若N是的中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $