湖南省邵阳市邵东市振华中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

邵东振华中学2026年高二上学期期中考试数学卷（原版） 命题人：李海彬 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.直线3x+V3y+3=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120 D.150% 2.若圆C的半径为1，圆心在第三象限，且与直线4x-3y=0和y轴都相切，则该圆的标准方程是() A.(x+1)+(y+3)2=1 B.(x-1)+(y-3)2=1 C.(x-3)+(y-1)2=1 D.(x+3)+(y+1)=1 3.已知椭圆C: y2 =1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围为() 4-m6+m A.（-1,4) B.(1,4) c.（-6,4) D.（-1,+0） 4.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m,高为0.8m,根据图中的坐标系，该抛物线的方程为() A.y2=20x B.y2=10x C.x2=20y D.x2=10y 5.已知平面a的法向量n=（-1,2,0),且点A∈，AP=(12,1,-4),则点P到平面a的距离为() A.2√5 B.5 c.23 D.5 6.已知集合M={x2≥8}，N={xx-2>0},则“x∈M”是“x∈N”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，A4=AB=2,则异面直线AC与AB,所成角的余弦值为() B.V c D V2 2 4 1 8.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺 品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系xOy中，将标 准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为 x2+y2-y=9,则该“斜椭圆”C的离心率为() A. B. 2 3 c D. 2-5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间向量4=(-2，-1,1)，b=(3,4,5),下列结论正确的是() A.a+b=3v5 Ba,方夹角的余弦值为-V5 6 C.若直线1的方向向量为a,平面的法向量为m=（4,2,k),且1⊥，则实数k=-2 D.a在万上的投影向量为-二方 10 10.椭圆C+少 十加=1m>0)的两个焦点分别为R￡，则下列说法正确的是《) A.若0<m<1,过点F的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF的周长为16 B.若直线-y-2=0与C恒有公共点，则m的取值范围为2，+0） C.若C上存在点P,使得PF.PE=0,则m的取值范围为(02√2U4W2,+∞ D.若m=√万，P为C上一点，Q(1,1),耳为左焦点，则P+PQ的最小值为8-5 11.为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线C由曲线C和曲 线G组合而成，其方程为：C(-+=≥2)和C,+上=1x<2》.则下列结论正确的是 204 () A.曲线C关于x轴成轴对称图形 B.曲线C关于原点成中心对称图形 C.曲线C上两点之间的距离的最大值为165+4D.直线1：√5x-y+14=0到曲线C的最短距离为3 5 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{xx<1或x>3},则不等式bx2+ax+c≥0的解集是 13.已知双曲线x-y=1,过点P(2,1)作直线与双曲线交于A,B两点，且点P恰好是线段AB的中点， 则直线AB的方程是 14.如图所示，二面角-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面内必，B,且 AC11,BD⊥1，AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长一 B B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知空间中三点A(0,2,3),B(1,2,-1),C(5,6,0).(1)若向量4B-kAC与AB相互垂直，求实 数k的值；(2)求△4BC的面积. 16.已知点N(0,1),直线1：3x一4y=0,直线m过点W且与1垂直，直线m交圆x+y=4于两点A, B.(1)求直线m的方程；(2)求弦AB的长. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，且AB L AC,过直 线AB的平面与棱PC,PD分别交于点E,F. B (1)证明：CD/EF: (2)若AB=PA=3,AC=6,EF-2CD,求平面BBF与平面DFE夹角的余弦值. 3 3 18.世界人工智能大会是一场Ⅱ领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高 端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，A,B 两个信号源相距10米，O是线段AB的中点，过O点的直线1与直线AB的夹角为60°，机器猫在直线1 上运动，机器鼠的位置始终满足：A,B两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的信号 晚 -秒（注：信号每秒传播米）.在时刻t时，测得机器鼠与点O间的距离为√34米. 猫 鼠 B衣 (1)以O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻t时机器鼠所在位置的坐标 (2)游戏设定：机器鼠在距离直线1不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前 的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？ 1以已e瓶C芹若-a>6~0的高心*为5点写)在cC上 (1)求C的方程： (2)设直线1交C于A,B两点，直线MA,MB的斜率之和为0，求直线I的斜率. 4邵东振华中学2026年高二上学期期中考试数学卷（原版） 数学试卷 1-5.CAACA 6-8.ACA 9.BCD 10.ACD 12.ACD 13.4x-y-7=0 14.217 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.直线3x+√3y+3=0的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线3x+√3y+3=0的斜率为k=-√3， 令该直线倾斜角为，则有tamo=-V3, 而0°≤a<180°，于是a=120°， 所以直线的倾斜角为120°. 故选：C 2.若圆C的半径为1，圆心在第三象限，且与直线4x-3y=0和y轴都相切，则该圆的标准方程是() A.(x+1)2+(y+3}=1B.(x-1)2+(y-3)2=1 C.(x-3)+(y-1)2=1D.(x+3)2+(y+1)2=1 【答案】A 【解析】设圆心C(a,b)(a,b<0),圆C:(x-a)+(y-b)=1,依题意有a=-1,圆心C(a,b)(a,b<0)到 直线-3y=0的距离为4；测1解得力=3或-}0（合去），所以圆C的标准方程： 5 (x+1)+(y+3)=1.故选A. 3,已知椭圆c:r 一=1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围为() 4-m6+ 1 A.（-1,4) B.(1,4) c.（6,4 D.（-1,+0) 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在x轴上的椭圆特征列出关于的不等式，求解可得答案. 4-m>0 【详解】 6+>0,解得-1<m<4 6+>4-m 故选：A 4.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m,高为0.8m,根据图中的坐标系，该抛物线的方程为() A.y2=20x B.y2=10x C.x2=20y D.x2=10y 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程， 【详解】依题意，设该抛物线的方程为x2=2py(p>0), 由点B(4,0.8)在此抛物线上，得42=2p×0.8,解得p=10, 所以该抛物线的方程为x2=20y. 故选：C 5.已知平面a的法向量n=(-1,2,0),且点A∈，AP=(12,1,-4),则点P到平面&的距离为() A.2W5 B.5 c.25 D.5 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法，即公式 求点面距离即可得解 列 【详解】由题意得，点P到平面的距离为 4P_上12+2-25 列 5 故选：A 6.已知集合M={2≥8，N={x-2>0},则“x∈M”是“xeN”的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性结合一元一次不等式的解法求解出每个集合，再结合充分不必要条件的定 义判断即可！ 【详解】令2x≥8，解得x≥3，令x-2>0,解得x>2, 得到M={xx≥3，N={xx>2}, 即x∈M可以推出x∈N,x∈N推不出x∈M, 得到“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故A正确 故选：A 7.如图所示，在正三棱柱ABC-ABC,中，AA,=AB=2,则异面直线A,C与AB,所成角的余弦值为 () B &② 2 【答案】C 【解析】 【分析】由AC=AC+AA，AB=AB-AA，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求 cos(AC,AB),即可得答案 【详解】由A,C=AC1+AA,AB,=AB-AA,而AC1⊥A1A,AB⊥AA且∠BAC1=60°， 则ACAB=(4C+4A④(4B-A④=AC·4B-AC·4A+AA4B-4A =2-0+0-4=-2, 显然4CHAB=2W2,则cos(AC,AB)= AC·AB, 1 I4CAB4 所以异面直线AC与AB所成角的余弦值为} 故选：C 8.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺 3 品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系xOy中，将标 准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.己知一“斜椭圆”C的方程为 x2+y2-y=9,则该“斜椭圆”C的离心率为() A. 6 B. 3 2-3 c 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的 点到原点距离的最小值，然后根据己知方程结合基本不等式可求出x2+y的最大值和最小值，从而可求出 长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式s文，，可得大y 2 所以-x2+y ≤w=x+y2-9≤+八，解得6≤r+y≤18， 2 2 当且仅当x=y=±3时x2+y2=18成立， 当且仅当x=-y=士√3时，x2+y2=6成立， 所以椭圆的长半轴长为V3°+3=32，短半轴长为5矿+(5=V6 所以椭圆离心率为 1-18 3 故选：A 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知空间向量=（-2，-1,1)，b=(3,4,5),下列结论正确的是() A.a+=35 B.a,b夹角的余弦值为一 5 6 C.若直线1的方向向量为a,平面0的法向量为=（4,2，k),且1⊥a,则实数k=-2 D.a在b上的投影向量为- 10 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可。 【详解】对于A,a+万=(1,3,6)，a+=V1?+3+6=V46,故A错误： 对于B,因为ā=(-2，-1,1)，b=(3,4,5),所以d=V(-2)2+(-1)2+1F=V6,=V32+42+5=5V2, a.B V3 a-b=-2×3-1×4+1x5=-5,设a与b的夹角为0，则cos6= √6x5√2 6,故B正确： 对于c,因为11a,所以a∥m,则2-二=1 ,解得k=-2,故C正确： 42k Da在多为@动看6个D国 652-106 故选：BCD. D椭圆C6十1m>0的两个焦点分别为，今，则下列说法正确的是( A.若0<m<1,过点F的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF的周长为16 B.若直线x-y-2=0与C恒有公共点，则m的取值范围为2，+o) C.若C上存在点P,使得PF-PE=0,则m的取值范围为0,2V2U4W2,+∞） D.若m=√万，P为C上一点，Q(1,1),耳为左焦点，则P+PQ的最小值为8-√5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A,根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B,将存在点 P使PF⊥PF,转化为以EF,为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆 5 的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若0<m<1,则a2=16,a=4,则△ABE的周长为4a=16,故A正确： B.直线x-y-2=0恒过定点(0，-2)，若直线x-y-2=0与C恒有公共点， 则m≥2且2≠4，故B错误； C.若C上存在点P,使得PE·PF=0,则c≥b, 若椭圆的焦点在x轴，则V16-m2≥m,m>0,解得0<m≤2√2， 若椭圆的焦点在y轴，则Vm-16≥4，m>0,解得：m≥4W2, 综上可知，m的取值范围为(0,2W2U4√2，+0，故c正确； Dm=万，椭圆方程为C:+号=1，a=4,)=万，c=67-3, 167 设椭圆的右焦点为F,则P+Pg=8-PF+Pg=8-(PF-Pg)≥8-|№F=8-V5, 如图，当P,Q,F三点共线，且PQ<PF引，等号成立， 所以PF+PQ的最小值为8-√5，故D正确。 Q1①， 故选：ACD 11.为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线C由曲线C1和 座线C组合面成，方程为：C=+y=9之2)和C,多+中Gx<2)下列结论正翻 的是() A.曲线C关于x轴成轴对称图形 B.曲线C关于原点成中心对称图形 C.曲线C上两点之间的距离的最大值为16,5+4 5 D.直线1：√3x-y+14=0到曲线C的最短距离为3 【答案】ACD 6 【解析】 【分析】画图即可验证选项A,B选项，通过图像可知曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的 距离即可求解选项C,选项D利用平行与I的直线相切与曲线C时切点到直线I的距离最短即可求解. 【详解】如图所示可知，曲线C关于x轴对称，故A正确，B错误 C:6c-4+2-9≥2) -=1(x<2)2 4 -2 由图像可知曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离， 在G:x-0+r-6(x≥2)中，令y0=6N5 +4, 在C+上=10<2)中，令y=0,x=25, 204 所以曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离为： 4-(25-1654. a=5 5 故C正确， 4W3 1 因为直线1：V3x-y+14=0过点(0,14) 当平行与直线1的直线与曲线C的C,部分相切时，切点到直线I的距离最小， 设此时直线方程为l,:√3x-y+m=0, 3x-y+m=0 联立 x ,化简得： -=1(x<2) 204 16x2+10V3x+5m2-20=0, 由△=(103m-4×16(5m2-20)=0 解得：m=±8， 7 当m=8时，4：V5x-y+8=0,→y=0,x=8N5 3 当m=-8时，15x-y-8=0,→y=0,x=8 >2,不满足题意， 3 故1：3x-y+8=0, V3x-y+8=0 5v51 联立 xy=1x<2) 解得切点为： 22 204 5V31 所以直线1：√3x-y+14=0到曲线C的最短距离为点 22 到1：√3x-y+14=0的距离： 5W3 1+14 2 2 即d =3 5)+(-1 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{xx<1或x>3},则不等式bx2+ax+c≥0的解集是 2 【答案】 ≤x≤1 13. 已知双曲线x_ -=1,过点P(2,1)作直线与双曲线交于A,B两点，且点P恰好是线段AB的中点， 2 则直线AB的方程是 【答案】4x-y-7=0 【解析】 【分析】利用点差法可求得直线AB斜率，进而得到AB方程，与双曲线联立检验即可确定结果。 【详解】设A(x1,y1),B(x2,y3),且x1≠， x2- 2 由 得：g-=号号，即飞+5怀5)=+- 22 P为AB巾点，+x=4,+⅓=2，六8=片=2(5+4， x1-x2+y3 直线AB方程为：y-1=4(x-2),即4x-y-7=0; 「4x-y-7=0 由 x-上-1得：14r2-56x+51=0, 2 则△=562-4×14×51=280>0，满足题意： 直线AB的方程为：4x-y-7=0. 故答案为：4x-y-7=0. 14.如图所示，二面角a-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面内0，B,且 AC⊥1，BD⊥1，AB=4,AC=6,，BD=8,则CD的长一- C B D B 【答案】2√17 【解析】 【分析】推导出CD=C+B+BD,从而CD=(CA+AB+BD,结合ACAB=0,BDAB=0, AB=4,AC=6,BD=8能求出CD的长. 【详解】：二面角-I-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面a、B内， 且AC⊥1，BD⊥1，AB=4,AC=6,BD=8 9 所以AC·AB=0,BD·AB=0, 所以CD=CA+AB+BD, CD=(C4+AB+BD' =CA+AB+BD+2CA·BD =36+16+64+2×6×8×c0s120°=68， .CD的长CD=√68=2V7. 故答案为2√17. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知空间中三点A(0,2,3),B(1,2,-1),C(5,6,0). (1)若向量AB-kAC与AB相互垂直，求实数k的值： (2)求△4BC的面积. 【答案】(1)1 (2)V567 2 【解析】 【分析】(1)利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； (2)法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解：法二，求出8C,判 新西-BC-0,得∠ABC-子由三角形面积公式即可求解 【小问1详解】 AB=(1,0,-4),AC=(5,4,-3), ∴.AB-kAC=(1-5k,-4k,-4+3), 又：(AB-KAC)1AB,∴(AB-kAC.AB=0, 即1-5k-4(-4+3)=0,解得k=1. 【小问2详解】 法一：由(1)得AB卡√7，|AC上5√2， cosA=- AB·AC 17V34 AB|AC1√17.5V210 10 因为sin'A+cos2A=1,÷in4=y66 10 s561 2 法二：BC=(4,4,1),AB.BC=1×4-4×1=0, :aAC为直角三角形，AC=号=V7,B阿-V3, SxaB-8c53厅=5 2 16.己知点N(0,1),直线1：3x一4y=0,直线m过点W且与1垂直，直线m交圆x+y=4于两点A, (1)求直线m的方程： (2)求弦AB的长， 【答案】(1)4x+3y-3=0 (2) 2W91 5 【解析】 【分析】(1)由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程 (2)由直线与圆相交弦长公式计算 【小问1详解】 ,直线1：3x一4=0，直线m与1垂直， ÷直线m的斜率为3 4 ·直线m的方程为y=-4 x+1,即4x+3y-3=0 3 【小问2详解】 圆x+y=4的圆心坐标为0(0,0)，半径=2， 圆心0到直线4红+3y-3=0的距离d=3 5 ,92V91 弦长AB=24-255 17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，且AB⊥AC,过直 线AB的平面与棱PC,PD分别交于点E,F, 11 B (1)证明：CD/EF; (2)若4B=PA=3,AC=6,EF=2CD,求平面BEF与平面DFE夹角的余弦值. 3 【答案】(1)证明见解析 (2)7V85 85 【解析】 【分析】(1)先由平行四边形ABCD中的ABIICD推出AB∥平面PCD,再由线面平行的性质定理，结论 即可得证： (2)建立空间直角坐标系，得点坐标E(0,4,1),再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余 弦值即可 【小问1详解】 证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABIICD, 因为AB丈平面PCD,且CDC平面PCD,且AB/ICD,所以AB∥平面PCD, 因为AB/∥平面PCD,平面ABEF平面PCD=EF,且ABC平面ABEF, 所以ABIEF,又ABIICD, 所以CD∥EF. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系A-z· 2 -D 由（①）知CDEP且EF=号CD,则PE=2C, 则A(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,3),C(0,6,0),E(0,4,1), D(-3,6,0),所以AE=(0,4,1),AB=(3,0,0),EC=(0,2,-1) DC=(3,0,0),设平面ABEF的一个法向量为h=(x,y1,1) 12 h·AE=0 则 ,得n=(0,1,-4), h·AB=0 h·EC=0 设平面DCEF的一个法向量为n,=(x,,22),则 2,·DC=0 得n=(0,1,2)， 1-8 则cos, 7V85 W17.V5 85 所以平面BEF与平面DFE夹角的余弦值为7V⑧5 85 18.世界人工智能大会是一场4领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场 高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏如图所示， A,B两个信号源相距10米，O是线段AB的中点，过O点的直线1与直线AB的夹角为60°，机器猫在直 线1上运动，机器鼠的位置始终满足：A,B两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的 6 信号晚元秒（注：信号每秒传播%米）.在时刻4时，测得机器鼠与点O间的距离为V米。 猫 鼠 B x (1)以O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻t时机器鼠所在位置的坐标， (2)游戏设定：机器鼠在距离直线1不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前 的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？ 【答案】(1)(3W2,士4 (2)有 【解析】 6 【分析】(1)由机器鼠接收到4点的信号比接收到5点的信号晚，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机 器鼠与点O间的距离为√34米，可得机器鼠此时的坐标： (2)求出机器鼠的运动轨迹方程到1的最短距离，比较其与2米的大小即可. 【小问1详解】 13 设机器鼠的位置为点P(x,y),由题意得A(-5,0),B(5,0),由题意可 PAPB=6,即 y。。g PA-PB=6<10, 可得P的轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支， 设其方程为x 云京=1(x之4a>0,b>0,则a=3,c=5,所以b=4, 则P的轨迹方程为上少 9i6-1(r23) y1x=8 又在时刻6时，oP=V34,则916 2+y=34少2=16·可得P（3V2,士4，所以机器鼠所在位置的 坐标为(3V2,±4) 【小问2详解】 由题意可知直线I:y=V5x,设直线的平行线的方程为y=V5x+mm≠0)，由V5x+m 16x2-9y2=144 可得：11x2+18√3mx+9m2+144=0, △=(18V3m)2-4×11×9m2+144,令△=0，解得m2=11, 当加1Ⅱ时，为双曲线6号1的切线，设切点横坐标为6，所以23 结合韦达定理有2x,=- 8W5之6，所以m≤-5，所以m-V 11 9 此时，I:y=√3x-√11与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离1最近的点，此时1与1的距离 i 为d 2， 即机器鼠与1最小的距离为<2， 2 故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险 1s已m慌调C若若-a>b~0前心速为，点写到在C上 (1)求C的方程； (2)设直线I交C于A,B两点，直线MA,MB的斜率之和为O,求直线I的斜率. 14 【答案】(1) ,y2 43 =1 (2)号 【解析】 【分析】(1)根据己知条件结合α、b、c关系列方程，解方程即可求解； (2)设出直线方程，直曲联立，得到方程：(3+4k)x+8x+4m-12=0,根据韦达定理得到： x+x, -8a1 41m°-1 3+4k2’6= ,结合已知条件得到方程：4k2+(41-8)k+3-2m=0,解方程 3+4k2 验证即可求解. 【小问1详解】 n B 依题意， e=1 点M 3 在椭圆C上， a2=b2+c2 9 ++1解得c=1,b=V3,a=2 c I e=- a 2 所以椭圆的方程为： 1. 43 【小问2详解】 依题意，直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=c+, 联立 4+3=1,消y得3+4h2)x2+8mx+4m-12=0, y=kx+m △=(802-4(3+4k2)4m2-12)>0,4k2-m2+3>0 设A(xy),B(x2,y)， 15 -8km 庙韦达定理得x+飞3计5加二现 3+4k2 3 3 2.kMB=x 2, x-1 x3-1 3 3 又ka+58=0,则为-2+为2-0 x-1x2-1 -+-0, 乃=x+m,y2=kx3+m代入化简得： +m--到+)片3-2m=0. 将x十为= -8km 4m-12代入化简得：4k2+(4m-8)k+3-2m=0, 3+经西333 即(2k-1)(2k+2m-3)=0,.k= 或2k+2m-3=0. 2 当2k+2m-3=0时，直线1过点M1, 不合题意， 综上；直线1的斜率为，· 16