湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026年秋季高二期中考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2345 6 8 9 10 11 答案 AB D CC A B BCD ABD AD 1A【解析】因为x=1-i所以马1白马一音-i 2B【解折】若a十6>4，取a=之6=5，满足条件，但ab=号<4，不满足ab>4,故充分性不成立： 若ab>4,因为a>0,b>0,则a+b≥2√ab>2W4=4,必要性成立. 所以“a十b>4”是“ab>4”的必要不充分条件. 3.D【解析】某运动员连续罚球2次的所有可能结果为：①第一次投中，第二次投中；②第一次投中，第二次未投中； ③第一次未投中，第二次投中；④第一次未投中，第二次未投中. 至多有一次投中包含了②③④三种可能结果，故其对立事件为①，即两次都投中. C【解折1b在a上的授影狗量为。=0，中6部-之 因为a=(1,-1),b=(2,x),所以a·b=1×2+(-1)·x=2-x,|a2=12+(-1)2=2, 代入等式得22=司解得x=1. 5.C【解析】设圆台的上底面圆O的半径为r,则下底面圆O2的半径为3r, 故轴截面周长为16=4十4十2r十6r,解得r=1.所以上、下底面圆的面积分别为π，9π， 圆台侧面积S侧=π×(1十3)X4=16π，所以圆台的表面积为π十9π十16π=26元. 6.A【解析】f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(一x)=f(x), 对原不等式变形，f(2m十1)-f(1-m)>0等价于f(2m十1)>f(1-m), 根据偶函数可知不等式化为f(|2+1|)>f(|1一m), ,f(x在(0，十o∞)上单调递减，.2m十1|<|1-m,解得-2<m<0,即原不等式的解集为(-2,0). 7.D【解析】因为FQ=3QF2,又因为△PFF2的内切圆圆心为I,所以PI平分∠FPF2, 又因为P,1Q三点兵度，向肉半分线定理可作隔-8-3。 由双曲线的定义可得PF|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a. 又因为PF,⊥FF,即|PF,=父=a,则a=?,又由双曲线定义可知2=心2+=2a2, a 所以双曲线的离心率e=￡=√2. a 8.B【解析】由y=√1-x,可得x2十y=1,y≥0， 故P(m,n)在以原点O为圆心，半径为1的圆的上半圆上. 对于A,C,当P位于点M(-1,0)或N(0,1)时，△AON≌△BOM,则∠ANO=∠BMO, 即∠AMB=∠ANB,即当a=∠AMB时，m可为0或一1，n可为1或0，故m,n都不是关于a的函数，故A,C错误； 对于D,当n=0时，P可能位于点M(一1,0)或点Q(1,0)处， 显然∠AQB≠∠AMB,故一个n可能得到两个不同的a,故a不是关于n的函数，故D错误； 对于B,由y=√1一x,则x确定时，y唯一确定，则当m确定时，点P也唯一确定， 则每一个m都有相对应的一个a,故a是关于m的函数，故B正确. 9.BCD【解析】法一：由题意知，EF∥BD,则由平行和垂直关系可知A错，BCD正确. 法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则E(1,2,1),F(0,1,1),A1(2,0,2), 0 B1(2,2,2). 对于A,A1B1=(0,2,0),EF=(-1,-1,0),显然A1B≠EF,故A1B1与EF不平行，即EFA 与A1B1不平行，故A错误； 对于B,平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),EF·n=(-1,-1,0)·(0,0,1)=0,故 D EF⊥nm,又EF丈平面ABCD,故EF∥平面ABCD,故B正确； 高二数学参考答案(N)一1 对于C,C(0,2,0),C(0,2,2),CC=(0,0,2),则E苹.CC=(-1,-1,0)·(0,0,2)=0,所以EF⊥CC,故C 正确； 对于D,A(2,0,0),AC-(-2,2,0),A1C-(-2,2,-2), 设平面AAC的一个法向量为t=(x,y,z), t·AC=-2x+2y=0, 则 t·A1C=-2x+2y-2z=0, 。故可取1=(1,1,0)， 因为EF=(一1，一1,0)=-t,则EF与t平行，故EF⊥平面AA1C,故D正确. 故选BCD. 10.ABD【解析】由圆C:(x-2)2+y2=1,得圆心C(2,0),半径r=1, 对于A,设C(2,0)关于直线l对称的点为D(x,y),则CD的中点在直线l上，且CD⊥l, 则 解得C;故D(0,2).故A正确； 29x1=-1. 对于B点C到直线L的距离为d=昌二2，又1<d<是，即d十分， W√12+(-1)2 所以圆C上恰有两个点到直线1的距离为2，故B正确； 对于C,|MN的最小值为d-r=√2-1，故C错误； 对于D,设与直线l平行的直线l1的方程为x一y十m=0,当直线(1与圆C:(x一2)2十y2=1相切时，解得m=√2- 2或m=一2-√2，当m=√2-2时，|x一x2|十|y一y2的最小值为2一√2，故D正确. 故选ABD. 1.AD【解析】对于A,B,:a(a-1)+2-(合-a)cos4B, d-a+3=(侵-a）1-2sir2B, 整理得a2+sin22B=2asin2B. △ABC是锐角三角形， ∴B∈(0，)，则2B∈(0，x),sin2B∈(0,1]， 由基本不等式得2asin2B=a2+sin2B>2asin2B, 当且仅当a=sin2B时等号成立， .2asin2B≥2asin2B,.sin2B≥1，又sin2B≤1，∴.sin2B=1, 2B=受，即B=军a=sin2B=1,故A正确，B错误； 4元，C-3 对于C,:B=平∴A+C- π一A, 3 iasin C asin()sin cos A-cos sin1 sin A sin A sin A 2tanA2’ [<A<, ,△ABC是锐角三角形， l0<-A<受， 置<A<受amAE(1,十o)c的取值范周为（停vE),故C错误： 对于D,由余弦定理得=a2+2-2 accos B=1+c-2X1Xc×cos于， 即状=1+Bc+8+=2E+2=-2(e-）°+号， “c的取值范国为（停wE), 当c=号时，d2+8+c=2,当c=2时，d+形+e=4,故d++∈(2,4.故D正确. 2 故选AD. 高二数学参考答案(N)一2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.84【解析】将这10个数据由小到大进行排序为：48,58,66,75,78,78,82,84,86,91， 因为10×0.75=7.5，故这组数据的上四分位数为84. 13.12【解析】设P(x,),则x<0,|PF=2|PQ=8, -x十号=2X(-2)=8,=-2,p=12. 14.e-1+己【解析】：fx)- (-2-1,-2≤x<0, In z,x>0, ∴.f(x)在[一2,0)和(0，十∞)上单调递增，其大致图象如图所示. y=fx) 设f(f(a))=f(f(b)=f(f(c))=t,即方程f(f(x)=t有三个不同的实数解a,b,c, 设u=f(x),当t≥0时，f(u)=t有两个不同的实数解，当t0时，f(u)=t只有一个实数解， 所以要使f(f(x))=t有三个不同的实数解， 则t≥0，不妨设f()=t的两个不同的实数解为u1,h2,且w<0<, 则-是-1=h= 解得w=-2-,∈[-2,0，=e∈[1，+o 当f)=4,)=%时，即1nx,一是-1=，hx, 不妨设a<b<c,则f(a)=f(c)=,f(b)=山， 即-名-1=，lnc=w,lnb=4,解得a=--c=,6=4， 2 a 则a叶b=2tmtw=子et6t+e心， 2 又y=--ey=e千，=e在t[0,十∞)上单调递增， =0时，a+b叶o)咖=-2与+e+e=e-1+ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析II由题可知无侧一8青1，kc-二号一1，则ke·ke=一1，所以AB1AC, 所以△ABC为直角三角形，则圆心M为BC的中点，坐标为M(4,3), 圆C的半径为|BM=√(3-4)2+(6-3)=√10， 所以圆M的标准方程为(x一4)2十(y一3)2=10.…6分 (2)设圆心M到直线l的距离为d,由弦长公式得2√一d平=2√10-正=2，故d=3. 若直线l的斜率不存在，则x=1,此时圆心M(4,3)到直线1的距离为3，符合题意； 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y一1=kx一k,即kx一y一k十1=0， 所以4=1达3生1-3，解得女=一是，则直线1的方程为一品-叶吕-0，即5十12y一17=0。 117 √+1 故直线l的方程为x=1或5x十12y一17=0.…13分 16.【解折】)由超可得)-号n2x+号os2z+。 1 2 sin 2x-2 cos 2x+cos 2a+1+m -/3sin 2x+cos 2x+m+1-2sin(2x)+m+1, 当x=晋+x(k∈Z)时，f(x)有最大值m十3， 所以m十3=1，解得m=一2.… …7分 高二数学参考答案(N)一3 (2)由(1)知，fx)=2sin(2x+看）-1， 由fx)≥0，得sin(2x+吾)≥7，所以晋+2kr≤2x+吾<g+2km,k∈Z, 解得r≤≤ξ十kr,b∈Z, 所以使f≥0成立的x的取值集合为工m≤≤智+k,∈乙： …………15分 1.【解折11)对于模型@y=k红十6(>0，当满足因象同时过点(0,0)，(20,3)时，6=0，及=易即y一易，当x=60 时，y=9>6,不符合题意，故①不合适； 由题图可知，该函数的增长速度较慢，模型②y=·1.2x十b(k>0)是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，故②不 合适； 对于模型③y=10g(后十2)十(>0)，对数型函数增长速度较慢，特合题意，故选模型③. klogz 2+n-0, 代入点(0,0)，(20,3)，可得 如（得+2十=8.年得你-3 故函数解析式为)y-3l0g(后+2-3， 经检轮，当=60时y=30g(8+2）-3=6,符合题意。 综上，模型③合适，其函教解折式为y=3og(十2-3.… 7分 (2),每天得分不少于4.5分， ∴3og(6+2-3≥4.5，即1og(后+2)≥8， ∴品+2≥2t=42,即x≥402-20≈40×1.414-20≈37， .若每天得分不少于4.5分，当天至少需要锻炼37分钟. …15分 18.【解析11)在△ABC中，由余弦定理可得AB=VAC+CB-2AC·CB·cosC=√16+4-2X4×2×c0s号=2W3, 所以AB2+BC=AC,则AB⊥BC, 又M为AC的中点，则MA=MB=MD=DB=号AC=2. 如图，取BM的中，点O,连接OD,AO, 显然有OD⊥BM,OD=√3，MO=1, 因为MB=MC=BC,所以△MBC为等边三角形， 所以∠CMB=号，所以∠AM0=等， 在△AMO中，由余弦定理可得AO=WAM+MO-2AM·MO·cos∠AMO=/4+1-2X2×1Xco 2π=√7， 又DA=√10，所以DA2=OD+OA,所以OD LOA, 因为OD⊥OA,OD⊥BM,OA∩BM=O,AOC平面ABM,BMC平面ABM, 所以ODL平面ABM, 因为ODC平面DMB,所以平面DMB⊥平面ABM, 5分 (2)由(1)易知DO⊥AB,在△ABM中，过，点O作OE⊥AB,垂足为E, 连接DE,易得DE⊥AB,则∠DEO为二面角D-AB-M的平面角， 易得0E-号：D0-月，DE=厚用在△ODE中，ca∠DB0-器=晋， 即二函舟D-AB-M的余孩位为零 …10分 (3)如图，连接OC,因为BC=MC,所以OCLMB, 由(1)可知，MB,OC,OD两两垂直， 则以O为坐标原点，分别以OB,OC,OD为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0W3,0),B(1,0,0),M(-1,0,0),A(-2,-√3,0)，D(0,0,W3), 故Mi=(-1,-√3,0)，M=(1,0,W3),AB=(3W3,0), 设点P在直线DM上的射影点为点Q,设AP-入AB,∈[0,1]，M应-uM心， 可得P=M夜-M-MQ-MA-AP=(u十1-3λ，W3-√3λW3u), 高二数学参考答案(N)一4 5 ·-0即-+1-3)563-5)=0解得 7 则P0·Md=0,+1-3+5x5g=0, 2 因为AD-5AB,且AB=2√5，所以AP=105 7 所以存在点P符合题意，且AP=103 7· …17分 19.【解折11由点P(1,2)在描国C号+芳=1上，可得+品=1，① 9 又由e=日所以后-日，回 联立①②，且c2=a2-b,可得c2=1,a2=4,b=3, 故满圆C的标准方程为号+号=1 …4分 (2)(i)由题可知直线AB过点F2(1,0), 则△R,AB的调长为=8，别S旭=合·4a=:为△AB的内切周的半径)， 要使△F1AB的内切圆面积最大，即使△FAB的面积最大， :SB号×EEX1w-%-合X2X1w-=%-%l, ∴y⅓一yg取最大值时，△FAB的面积最大，… 6分 设直线AB的方程为x=my十1， 代入椭圆方程可得(4+3m)y2+6my-9=0, 6m 9 ya十n=一4十3m0ayB=一 4+3m’ x-%=0+m-4。- 144 91+m)+中+6 显然当=0时，上式取得最大值9，… …8分 .当且仅当直线AB过F2(1,0),且与x轴垂直时，△F1AB的面积最大，最大值为3. 又Sg8=4,7=（Ss题=3】 4 4 “△RAB的内切圆的面积的最大位为器 …10分 (iⅱ)直线AB与直线l:x=4相交于点M,可知直线AB斜率存在， 设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x一1)， y=k(x-1), 联立+号=1， 整理得(4k2+3)x2-8kx十4(-3)=0， 4T3 易知△0，设A(z1,),B(22)则有西十4十3x1欢=4十3，……12分 由直线AB的方程为y=k(x-1),令x=4,可得y=3k,即M(4,3k), 从而k= 32一2 2 2,k=千4-1=62， 又因为点A,R,B共线，则友一一即产一， 所以1十k2= =2k-号·-（十2)十1) …15分 8k2 8k2 3 2F32 -=2k-1, 将R入2型器 4k+3 又=及-之，所以%十6=26，即入=2. …17分 高二数学参考答案(N)-52026年秋季高二期中考试 数学 命题人：王勇军审题人：陈家烦 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.(★)已知2=1-i,则2与 A.i B.-i C.-1 D.1 如 2.已知a>0,b>0,则“a+b>4”是“ab>4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 如 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 製 3.“郡BA”篮球联赛正如火如茶举行，一次比赛中，某运动员获得连续罚 球2次的机会，则至多有一次投中的对立事件是 郑 A.两次都不中 B.至少有一次投中 C.恰有一次投中 D.两次都投中 箭 常 期 4.已知向量a=(1,一1)，b=(2,x),b在a上的投影向量为2a,则x= A-2 B.-1 C.1 D.0 5.(★)已知圆台OO2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径 的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 A.24π B.25π C.26π D.27π 6.(★)已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，十∞)上单调递减，则不 等式f(2m十1)-f(1一m)>0的解集为 A.(-2,0) B.(-2,+∞)》 C.(-∞，-2) D.(0,+∞) 高二数学试卷(N)第1页（共8页） 7.(大)已知双曲线号-苦-1(。>0,6>0)的左，右焦点分别为R,R, P为双曲线右支上一点，△PF1F2的内切圆圆心为I,连接PI并延长 交x轴于点Q,若PF2⊥FF2,FQ=3QF2,则双曲线的离心率为 A.4 B.23 C.√3 D.√2 8.已知点A(-2,0),B(0,2),点P(,n)在曲线y=√1-x2上，记∠APB =a,则存在函数f(x),对曲线上任意一点P都有 A.m=f(a) B.a=f(m) C.n=f(a) D.a=f(n) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分) 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别为BC1,CD1的中 点，则 A.EF∥AB1 B.EF∥平面ABCD C.EF⊥CC D.EF⊥平面AA1C 10.(★)已知点M(x1,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上一动点，点N(x2,y2) 是直线l:x一y=0上一动点，则下列说法正确的有 A.点C关于直线1对称的点的坐标为(0,2) B圆C上恰有两个点到直线L的距离为2 C.|MN的最小值为√2 D.x-x2十|yM一2的最小值为2-√2 高二数学试卷(N)第2页（共8页） 11.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(a一1) +2=(侵-a)cos4B,则 A.a=1 BB=晋 C.c的取值范围为 (分w2) D.a2++c2的取值范围为(2,4) 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(★)某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48,75,58,66,78， 82,84,78,86,91,则这组数据的上四分位数为 13.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C:y2=一2px(p>0), C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛 物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上，过点P作x轴 的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF=2PQ=8,则= 2-1,-2≤x<0, 14.已知函数f(x)= 设a,b,c是三个不同的实数， Inx,x>0, 且满足f(f(a)=f(f(b)=f(f(c),则a+b+c的最小值为 高二数学试卷(N)第3页（共8页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(★)（本小题满分13分） 已知圆心为M的圆经过点A(1,4),B(3,6),C(5,0). (1)求圆M的标准方程； (2)已知直线l过点(1,1)，且直线1截圆M所得的弦长为2，求直线1 的方程 高二数学试卷(N)第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=sim(2x+)十sin(2x-否）+2cos2x+m的最大值为1. (1)求实数m的值； (2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合. 高二数学试卷(N)第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天有三个大课间能用于 锻炼.现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与 当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，其函数大致图象如图所示. 要求如下：(1)函数在区间[0,60]上单调递增；(2)每天运动时间为0分 钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为20分钟时，当天得分为 3分；(4)每天最多得分不超过6分： 现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x十 b(k>0);③y=k·log(0+2+n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型，并说明理由，再根据所给信息 求出函数的解析式； (2)若每天得分不少于4.5分，则当天至少需要锻炼多少分钟？ (参考数据：1.2°.5=1.095，w2≈1.414，结果保留整数) 高二数学试卷(N)第6页（共8页） 18.（本小题满分17分) 在△ABC中，∠ACB=,AC=4,BC=2,M为AC的中点，如图，沿 BM将△CMB翻折至△DMB位置，满足DA=√I0. (1)证明：平面DMB⊥平面ABM; (2)求二面角D-AB-M的余弦值； (3)线段AB上是否存在点P,使得点P在平面DAM内的射影恰好落 在直线DM上.若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由. 高二数学试卷(N)第7页（共8页） 19.（本小题满分17分) 如图，已知椭圆C若+芳-1(。>b>0)经过点P(1,2》,离心率e=分 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左、右焦点为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点 (ⅰ)求△FAB的内切圆的面积的最大值； (iⅱ)若直线AB与直线L:x=4相交于点M,记PA,PB,PM的斜 率分别为k1,k2,k3,问：是否存在常数入，使得1十2=入k3?若存 在，求出入的值；若不存在，请说明理由. 高二数学试卷(N)第8页（共8页）