精品解析：福建厦门市第九中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

厦门市第九中学 九年级 2026一2027学年第一学期期中考试卷 数学 （试卷总分：150分 答卷时间：120分钟） 考试说明： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．可以直接使用2B铅笔作图． 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕点A顺时针旋转得到，下列各角中，度数一定等于的角是（　　） A. B. C. D. 5. 在下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，有最小值 C. 当时，有最大值 D. 当时，有最大值 7. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E．当的延长线经过点C时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 抛物线的对称轴是______． 13. 若是方程的一个根，则____________． 14. 如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为______． 15. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 16. 在平面直角坐标系中，设抛物线，其中．若抛物线上存在两点和，当时，则的取值范围是__________． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 18. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若两个实数根和满足，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标． 22. 如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． （1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： （2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 23. 综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 （1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； （2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； （3）观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 24. 已知二次函数． （1）当，时，判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由； （2）若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，直接写出的取值范围__________． 25. 如图1，是等边三角形，为边上不与，重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，过点作于点，交于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第九中学 九年级 2026一2027学年第一学期期中考试卷 数学 （试卷总分：150分 答卷时间：120分钟） 考试说明： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．可以直接使用2B铅笔作图． 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得． A、C选项中，横纵坐标乘积为，不符合题意， B选项中，，符合题意， D选项中，，不符合题意． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 4. 如图，是由绕点A顺时针旋转得到，下列各角中，度数一定等于的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度．熟记旋转性质，数形结合是解决问题的关键． 由旋转的性质可直接求解．根据是是由绕点A顺时针旋转得到，即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵是由绕点A顺时针旋转得到的， ∴A. 的度数一定等于； B. 的度数一定不等于； C. 的度数一定不等于； D. 的度数不一定等于． 故选：A． 5. 在下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式计算判断，小于零即可． 【详解】∵方程，， ∴， 有两个不相等的实数根； ∵方程，， ∴， 有两个不相等的实数根； ∵方程，， ∴， 没有实数根； ∵方程，， ∴， 有两个相等的实数根； 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键． 6. 关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，有最小值 C. 当时，有最大值 D. 当时，有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为，对称轴直线为， ∴二次函数图象开口向上，二次函数在时，取得最小值， 故选：B ． 7. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 8. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E．当的延长线经过点C时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质、等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴，故C结论正确，符合题意； 根据现有条件，无法证明，，，故A、B、D结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断． 9. 已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由A、B两点坐标特征可知函数图像关于y轴对称，排除A、B选项，再结合C点纵坐标小于m的条件，利用二次函数增减性判断剩余选项． 【详解】解：∵ 点，的纵坐标相同，横坐标互为相反数． ∴ 该函数图像关于轴对称． ∵ 与的图像均关于原点对称，与时函数值互为相反数． ∴ 不符合题意，排除A、B． ∵ ． ∴ ，即时的函数值小于时的函数值， ∵ 开口向上，当时，随的增大而增大， ∴ 时函数值大于时的，不符合，排除C， ∵ 开口向下，当时，随的增大而减小， ∴ 时函数值小于时的，符合题意． 10. 抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是______． 【答案】x=1 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h． 13. 若是方程的一个根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原方程即可计算出的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程，得 ， 化简得， ． 14. 如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的定义可得，进而即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵动力与动力臂成反比例， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形得出，，，由旋转的性质可得，勾股定理求出，连接，证明，得出，设，则，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用． 16. 在平面直角坐标系中，设抛物线，其中．若抛物线上存在两点和，当时，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，得到对应纵坐标关于的表达式，根据两数乘积小于则异号的性质，结合两纵坐标的大小关系列不等式组，结合的约束求解取值范围． 【详解】解：抛物线解析式为，二次项系数为，开口向上， 将点代入解析式，得， 将点代入解析式，得， ∵， ∴与异号， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴，， 解不等式，得或； 解不等式，得； ∵， ∴． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据四边形是平行四边形，得，，再证明，即可作答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先进行通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，最后把相应的值代入运算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 20. 已知一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若两个实数根和满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式计算，结合（1）的取值范围验证结果． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得 ． 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，解得， ∵，符合（1）中的取值范围， ∴的值为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标． 【答案】（1），一次函数解析式为． （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图像上点的坐标特征求出m的值，确定点A的坐标；再利用待定系数法，结合点A和点C的坐标求出一次函数的表达式． （2）首先求出点B坐标，然后根据三角形面积公式反推出点P的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点P的横坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点A 坐标为． 又∵点，都在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 对于，当时，， ∴点B坐标为，即． 设点， ∵， ∴，解得，即． ∵点在反比例函数上， ∴当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 22. 如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． （1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： （2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 解：如图，为所求； （2） 证明：连接， 由旋转性质得，，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵是等边三角形， ∴，. ∵，， ∴. ∴. ∴，. ∵，， ∴，． ∴． ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）以为点D为顶点边顺时针作角即可； （2）先证是等边三角形，再证得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 （1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； （2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； （3）观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 【答案】（1），； （2） 解：①图象如下： ②最多能抛出个小球，说明如下： 由函数图象可得，当 时，即， ∴，， ∴， ∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个． （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握好二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合解题． （1）根据抛物线图象，设抛物线的解析式为：，代入顶点坐标，求出抛物线解析式，对比，即可得到； （2）①按规律绘制函数图象；②通过求出第一个小球落回时间，结合抛球间隔求抛出小球个数； （3）分别列出第一个小球和第个小球相遇时，高度相等，即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，抛物线经过顶点 ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过原点 ∴ 解得： ∴ ∵抛物线， ∴， ∴与对比，可得， ∴抛物线的解析式为：，米/秒． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：第一个小球的关系式为 ，第个小球的关系式为， 当秒后两球相遇，高度相等， ∴ 化简得：， ∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：． 24. 已知二次函数． （1）当，时，判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由； （2）若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）解：点在此二次函数的图象上，理由如下： 当，时，， 当时，， 点在此二次函数的图象上； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，判断y值是否等于即可； （2）①根据对称轴得，即，当时，，代入解析式后整理得，代入，根据二次函数的性质，即可得最小值； ②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①的图象过点，， 对称轴为直线， 又对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ， 整理得， ， 当时，取最小值； ②二次函数有最大值， ，开口向下，对称轴为直线， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，分两种情况： 当时，如图，只需点在直线右侧即可， ， 解得； 当时，如图，只需点在直线上或左侧即可， ， 解得； 综上可得或． 25. 如图1，是等边三角形，为边上不与，重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，过点作于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点， ∴． ∴． ∵、、三点共线，． ∴，． 在中，． 又． ∴ （2）证明：延长至点，使，连接、、（如图）． ∵是的中点，也是的中点． ∴四边形是平行四边形． ∴，，． ∵，，． ∴． ∴，． ∵． ∴是等边三角形． ∵是的中点． ∴，即 （3）证明：由（2）的推导知，是等边三角形，是的中点，，． ∴． ∴． ∵，，． ∴． ∵，． ∴． ∴． ∴，即是的中点． ∵，在上． ∴． ∵在线段上． ∴． ∴ 【解析】 【分析】（1）把两个度角拆成公共部分与剩余部分，得到一对相等角，再在含所求角的三角形中用内角和把它表示出来； （2）延长中线一倍构造平行四边形，把旋转后的线段放进两个可用边角边判定的三角形中，得到等边三角形后用三线合一说明垂直； （3）由（2）的等边三角形把垂线段与目标线段折算到同一个长度上，再在直角三角形中用度角证明垂足是线段中点，从而把两条待证线段接成一条． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $