辽宁省县级重点高中协作体2026-2027学年高二上学期期中调研数学试卷

2026-2027学年度上学期 高二数学期中调研卷 注意事项: 1,答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上, 2.本试卷主要考试内容:人教B版选择性必修第一册第一章至第二章2.5+直线与椭圆的位置关系, 卷选择题部分(共58分) 一、选择愿:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 题目要求的。 1.椭圆2x2+y2=1的长轴长为() A.1 B.2 c.5 D.2N2 2.已知直线1:x+ay-2=0,1:ar+4y+4=0.且1儿2,则实数a=() A.2 B.-1 C.-2 D.2 3.已知点P(0,-1),(2,1),且线段P2是圆W的直径,则圆M的方程为() A.(x-1+y2=2 B.(x-1+y2=8 C.x2+(y-12=4 D.x2+(y-J)=8 4.已知两圆x2+(y-2m}=1和(x-n}+y2=9恰有三条公切线,则点(m,n)所在的轨迹方程 为() 之+ 一=1 B. y =1 x2.y2 =1 164 124 416 4”12 5.平行六面体ABCD-AB,CD中,A4=3,AD=4,AB=5,∠BAA=∠DA4=60 , ∠BAD=90 ,则AC=() A.77 B.2√26 7 2 .V254 2 第1页, 6。直线x-+2k-2=0恒过定点A,若以是椭圆兰+上。1的一条弦的中点,则该弦所在的直线 168 方程为() A.x-2y+2=0 B.x+2y-6=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y-6=0 7.《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体,该几何体为上、下底面均为南环形(扇环 是指图环被扇形载得的部分)的柱体.现有一个如图所示的曲池,它的高为4,A4, BB,CC,DD均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆(同心圆)的半径 1和2,对应的圆心角为气,E为DD的中点,则异面直线48与C5所 的余弦值为() A. 7 B. C.v85 D. v85 4 10 20 10 8.如图,设乃,分别是椭圆的左、右焦点,点P是以为直径的圆与猫圆在第一象限内的一 个交点,延长P 与糖圆交于点Q,若P =2四引,该椭圆的离心率为() A.5 B. 3 2-3 3 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有错选的得0分. 9.以下命题正确的是() A若卫是平面C的一个法向量,直线b上有不同的两点A,B:若方 AB=0,则b/1a B.已知 -(2-13),6=(-1,4,-2),c=(3,2,),若 ,6,6三向量共面,则实数1等于4 C.空间向量m=(-1,2,-3)),n=(3,6,x),若向量m,n夹角为饶角,则x<-5 D.a=(0,3,4),b=(1,-2,2),则 在6上的投影向量为 244 999 共3页 10.椭圆E: +y2=1的左、右焦点分别为R,及,A、B分别是该椭圆的左、右顶点,Q为E的 上顶点,P为椭圆E上的动点,则下列说法正确的是() A.Bg=V5B.椭圆E的焦距为√5 C.cos∠APB≥- 5 D.Pg的最大值为45 3 11.己知在平面直角坐标系xO中,点A(-2,0),B(1,0),动点P荷足P4=2P叫,设动点P的执 迹为C,若过点B的直线/交C于点M,N,则下列说法正确的是() A.C的方程为(x-2+y2=4 B.若点D(O,2),则P4+2PD的最小值为25 C。存在点P和直线I使得PW-A D.若M小=2N4,则直线1的方程为y= 卷非选择题部分(共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.如图,60的二面角的棱上有A、B两点,线段AC、BD分别在这个 二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4AC=6,BD=8, 则CD的长为 13.圆C:(x+)2+0y+2)2=4与圆C,:(x-2+0y-2)2=24的公共弦长为 14. 京+京=1(a>b>0)上任意-点R(6,)到右焦点的距离为g-气,(其中e为 已知椭圆女+上 椭圆的离心率).若么,B分别是精圆C:父+y=1的左、右顶点,乃,乃分别为椭圆C的左、右 4 焦点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,若点P的横坐标为√互,则∠P的角平分线与x轴交 点横坐标为」 第2页 四、解答题:本题共5小题,共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知G(2,1)是平行四边形ABCD的对角线的交点,且直线AB的方程为x+2y=0. (1)若四边形ABCD为正方形且点B(4,9),求直线BC的方程: (2)已知直线BC的方程为3x-2y-8=0,求D的坐标: 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD/1BC, ∠ABC=90 ,且PA=MD=4,AB=BC=2,PB 2N5,E为PD的中点. E B C (1)求证:PA⊥平面ABCD (2)求点P到面ACB的距离: (3)求二面角E-AC-D的余弦值. 17.已知圆2:x2+y2-12x+32=0,1为过点P的直线. (1)若过F4,3)的直线1与圆2相切,求直线1的方程; (2)若过P(0,2)且斜率为k的直线1与圈2相交于不同的两点A,B,是否存在常数k,使得向量 OA+OB与PO共线?若存在,求k的值:若不存在,请说明理由. ,共3页 18.如图,在四棱锥A-BCFG中,AABC是边长为4的等边三角形,四边形BCFG为菱形, 19.已知椭圆C: 三+存=l(a>6>0),过定点T化.0)的直线交椭圆于p,2两点,其中1e(0,d. x y ∠CBG=6O ,平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点,记平面ABC和平面AFG的交线为L, 33 ()若辅圆短轴长为4且经过点 21 求桃圆方程: (2)对(1)中的椭圆,若1=5,求 OP2面积的最大值: (3)若直线P2与x轴不垂直,在x轴上是否存在点S(S,0)使得∠PST=∠QST恒成立?如果存在, 求出5,的关系:如果不存在,说明理由。 D (1)证明:1BC (2)求点F到直线AB的距离: ()在线段CG(不含端点)上是否存在一点E,使得直线DE与平面4CT所成角的正弦值为6? 10 若存在,求B的位置:若不存在,请说明理由, 第3页,共3页2026-2027学年度（上)学期高二数学期中调研卷解析 说明：若考生的解法（或回答）与本解答（答案）不同，但只要合理，可参照评分标准酌情给分 一、 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C A B D A 1、【答案】B 十 【详解】椭圆方程化为工1，可知长轴2a-2 2 2、【苔案】D 【详解】因为直线l:x+y-2=0,1:x+4y+4=0.且1L2, 1×4-a×a=0 a2=4 所以 a×4-(-2)x4≠0'即 ,解得a=2.因此实数a=2 a≠-2 3、【答案】A 【详解】因为P(0,-I),Q(2,1),且线段P2是圆M的直径， 所以圆心为(1,0)，半径，=(2-0+(1- =2,则圆M的方程为(x-1)+y2=2 2 4、【答案】C 【详解】由两圆的标准方程分别为x2+(y-2m)}=1和(x-n2+y2=9,得圆心分别为(0,2m)和(n,0),半 径分别为1和3，又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以V4m2+n=3+1=4,则4m2+n=16,即m+ =1, 416 5、【答案】A 【详解】在平行六面体ABCD-AB,CD,中，由空间向量线性运算可得 AC=AB+AD+CC=AB+AD+AA 所以川ACP=(AB+AD+AA)2ABP+|ADP+|AAP+2AB.AD+2AB·AA+2AD·AA, 又|AB=5,ADF4,A4=3,∠BAD=90°，∠BA4=∠DA4=60°， |ACP=52+42+32+2×5×4×c0s90°+2×5×3×cos60°+2×4×3×cos60 =25+16+9+0+15+12=77,因此ACAC=V77. 6、【答案】B x-2=0 【详解】由直线x-y+2k-2=0,即(x-2)+k(-y+2)=0,令 y+2=0'解得 x=2 y=2' 即A(2,2),设弦的端点P(5,乃)，(x,y), 则=2，-2，即飞+5=4，+为=4，又P,Q在椭圆+上 2 2 i681上， 「+左=1 则16*8 ,两式做苏可得￡+：发-0，即任+55=，5+四(=以-0， 16 8 16 168 间5号片=a,国e-分以线0-=-2小即x42y6=0 4 2 7、【答案】D 【详解】设底面扇环的圆心为O,以O为坐标原点，OC为x轴，底面内垂直于OC向上为y轴，竖直向上为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 已知底面扇环内外半径为1和2，圆心角为”，曲池高为4，E为DD,中点. C 可物各点标：cL00.D2a0叭.42cm32sm0小-(l5.0. m学号2兽小2a D E是D0点，放E202.瓜-，5 CE=(1,0,2).计算数量积： aG-}0x-号网-（写+f=而，o国047s 异面直线所成角范围是 余弦取绝对值：cos0 AB.CE √85 AB CE175 10 8、【苔案】A 【详解】 如图，连接P℉，QE,由于线段FF是圆O的直径，所以P耳⊥PF, 设PE=22F=2t,所以PF=2a-2,2Fl=2a-t, 在直角三角形PF5中，(2a-2)}2+(2)2=(2c)2,d2-2at+22=c2①， 在直角三角形PF0中，(2a-2+(3=(2a-}整理得1=号代入0得： d-2a.+2.a a 3 9 a 3 二、多项选择题 9 10 11 BCD AD ABD 9、【答案】BCD 【详解】对于A,因为p·AB=0,所以p⊥AB,则bca或b/1a,故A错误： 对于B,由空间向量共面定理可知B正确： 对于C,由向量m,n夹角为锐角可知，=-3-12-3x>0,可得x<-5,又不共线，可知x≠9，综 上，x<-5,故C正确. 对于D,ā=(0,3,4)，b=(1,-2,2),则a在b上的投影向量为 ā-66=26=2，-4,4 b2 9 999 ,故D正确. 10、【答案】AD 【详解】对于A,因为B(2,0,O(0,1),所以Bg=V5,故A正确： 对于B.由题意，a=2b=Lc=-万=5，所以离心率为e=5,可知B结误： 对于C,当P点运动到椭圆E短轴的端点时，∠APB最大，此时由慰意，cOs∠HPO= 5所以 csZ4PBc082Z4P02 cosP0-13即克小值为，义35 5下 号，故cos☑AP8可小于-5 故C错误. 对于D,设Pc以0.则Pg-F0-4+0可-3r25.当y=时Pg取 最小值，最小值为 164W3 故D正确、 V3-3 11、【答案】ABD 【详解】对于A,设P(x,y),由PA=2PB,则V(x+2)+y2=2V(x-1}+y2, B 化简得(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹C的方程为(x-2)+y2=4,A正确： 对于B,由题意知PA=2PB,则P+2PD=2(PB+PD),结合图象知 M |PB+PDl≥BDl=5,则PA+2PD的最小值为2√5，B正确： R 对于C,由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心B20),则∠MEN=号此时MN=2r=22, 而直线1与圆C相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为2√2-|BEP=2√3>2√2，即不存在直线使得 IMw作2V2,所以不存在直线使得∠MPN= 4C错误： VA 对于D,由阿氏圆的定义知2MB=4NB即MB=2WB, (法一：几何法)设N8a则MB=2a,MN-3a,作EG⊥N,则NG=.BG-号 在Rt△EBG中，BG+EGPABEP,即(+|EGP=l,在Rt△ENG中，NGP+EGPANEP,即 (受+刊BGf=4,联立解得a=5,所以MW=3a-36 2 2 由C选项知当直线斜率不存在时，MN=25≠36（合去）； 2 当直线I斜率存在时，设直线I:y=k(x-I),即c-y-k=0, 处-0-K36,解得k=土3，即宜线：y=?(x-),D正确 令24-2+1 3 (法二：几何法2)由相交弦定理，知MB·NB=OBFB=1×3=3, 解网网1s6,则y-3 ，后续同法一· 性三几阿法3》被a4.则M8-2a.M-2a:M4=,由92，月为MN的角 线，则ABP-MANA=MBB,即生6a,改a=,所以aMW=全 6，后续同法一 2 (法四：代数法)当直线l斜率为0时，MB=3NB,不符题意： 当直线1斜率不为0时，设直线l:x=my+1,M(x,),N(x2,y2),由MB=2NB,得=-2y2① 联立x-2+广=4得m+y2-2m-3=0,由韦达定理得 +=2m…@ m2+1 x=my+1 3 = .③ m2+1 联立①②知y2=- 2m m2+1 代入®式得-2(-2m}=-3 m2+1 m2+1 即5m=3,解得m=±压，则直线：=土 5 5y+1,即y=t 3(x-1),D正确. 三、填空题 12 13 14 217 √15 3W2 4 12、【洋解】CA上AB,BD⊥AB文房=0，励店=0：高=汁计合 合=2+君+3+2这2这22品=6+4+82+2x6x8c0s120°=68 CA AB CA BD :.CD=2√17 13、【详解】圆C:(x+1)2+y+2)2=4,圆C的圆心为C(-1,-2),半径片=2， 圆C2:(x-2)2+(0y-2)2=24,圆C2的圆心C2(2,2),半径5=2√6， 因为2V6-2<C,C=5<2+2V6,所以圆C与圆C,相交，两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 6x+8y+17=0,则圆心C到公共弦所在直线的距离为d=-1×6-2x8+17_} V62+82 2 故所求长为2F--22-份-1s。 14,【详解】PE=a-V2e,PF=a+V2e,设∠FPF的角平分线与x轴交点横坐标x, 由角平分线性质知长+c=P四-a+2e_d2+2e+2V2ae c-xT PF2 a-2e a2-2e2 (a2-2e2)x,+c(a2-2e2）=ca2+2e2+2v2ae-x（a2+2e2+2v2ae [(a-2e)+(a+2e2+22aej]x=c[a+2e2+22ae-(a-2e] (2d2+2v2ae)x,=c(4e2+2v2ae), _c(4e'+2Vae)c(2e+Vc)x2x3+ 4 35+3 2a2+22ae a2+2c 4+√6 4+6 (4+V6)(4-V6) 6N5+12w2-95-6N5152 2 23v2 X=- = 10 104 四、解答题 15.【详解】 )直线4B的方程为x+2y=0,则k=-)了 …2分 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥AB,则kc=2, …4分 所以直线BC的方程为2x-y+1=0 …6分 x+2y=0 x=2 (2)联立 3x-2y-8=0解得1所以2，-) …8分 因为G(2,1)是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以点G是对角线AC、BD的中点： …10分 [2+xD=2 设D(xn,yD), 则 2 ,解得 =3放D的标为(2,3)】 XD =2 …13分 -1+yD=1 2 16. 【详解】 (1)在△PAB中，由PA=4,AB=2,PB=2√5，得PB2=PA+AB2,所以PA⊥AB, …2分 因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD. …4分 (2)因为AD/1BC,∠ABC=90°，所以∠BAD=90°，则AB⊥AD.故AP、AB、AD两两垂直 如图以A为原点，以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， E D 则A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,2,0),D(0,4,0). …6分 因为E为PD的中点，所以E(0,2,2),所以AP=(0,0,4),AC=(2,2,0)AE=(0,2,2), n.AC=2x+2y=0 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则 n:AE=2y+2z=01 取x=1,可得y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1), …8分 设点P到平面ACE的距离为d,可得d= |i-Ad0x1+0x(-1D+4×1_43 V12+(-1D2+12 3 所以点P到平面ACE的距离为45 …10分 (3)由(2)中的空间直角坐标系，可得平面ACE的一个法向量为=(1，-1,1)， 又由(1)知PA⊥平面ABCD,所以平面ACD的一个法向量为AP=(0,0,4) …12分 设二面角E-AC-D的平面角的大小为O,由图可知二面角E-AC-D为锐二面角. …13分 AP 则cos0= cos <AP,n> 45 AP同4x53 综上：二面角E-AC-D的余弦值为3 ……15分 3 17. 【详解】 (1)由已知圆x2+y2-12x+32=0,可得圆2：(x-6)2+y2=4, 所以圆心为Q(6,0),半径为2 …1分 由直线1过P(4,3) ①若直线1斜率不存在，圆心Q(6,0)到x=4的距离为半径2，故x=4符合题意 …3分 ②若直线1斜率存在，设直线1：y-3=k(x-4,即x-y+3-4k=0 由直线1与圆Q相切， 6k-0-4t+3=2=2k+3=2X1+F V1+k2 两边平方，解得k=- 12 带入整理得到直线1的方程5x+12y-56=0 …5分 综上，直线1的方程为x=4和5x+12y-56=0 …6分 (2)不存在常数k,使得向量OA+OB与P9共线 …7分 设A(,),B(x3,y2), 联立直线l与圆Q:{ -6+少=4消去y得1+)x2+4k-3)x+36=0, y=kx+2, 直线与圆交于两个不同的点A,B,即△=16化-3)2-40+2)36>0，解得-3<k<0, …8分 由韦达定理得：+书= 4(k-3) 1+k2 则y+乃=+2+在，+2=k(+,)+4=43k+ 1+k2 则O1+08=4+,5+)=(4-》43k+, 1+k21+k2 …10分 而P(0,2),9(6,0),P0=(6,-2), 若OA+OB与PQ共线，则OA+OB=1Pg, …12分 4k-3)=62 即(4=6-， 1+k2 43k+10=-2元， 解得k=-3 …14分 1+k2 因为-3<k<0,故设有符合题意的常数k,使得向量OA+OB与PO共线. …15分 4 18.【详解】 【详解】(1)，四边形BCFG为菱形，∴.FG/BC, ,FGc平面AFG,BCd平面AFG,∴.BC//平面AFG, …2分 .BCc平面ABC,平面ABC和平面AFG的交线为I,.1//BC: …4分 (2)取BC的中点O,连接OA,OG, ,△ABC是边长为4的等边三角形，∴.OA⊥BC, ,四边形BCFG为菱形，∠CBG=60°，∴.△CBG为等边三角形，OG⊥BC, 又OA,OG为平面OAG内两条相交直线，所以BC⊥平面OAG, ,平面ABC⊥平面BCFG,平面ABC∩平面BCFG=BC, OGc平面BCFG,OG⊥BC,.OG⊥平面ABC, 又OA在平面ABC内，所以OG⊥OA,所以OA,OB,OG两两垂直， …6分 以O为坐标原点，以OA,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， E C ---4o 则0(0,0,0)、A23,0,0、B(02,0)、D(3,10、F0,-4,23、G0,0,2W5 …8分 AB=（2W32,0,A=（23,4,2W3,则点F到直线AB的距离为 ABAF 42 40- =39 16 …10分 (3)由C(0,-2,0),则AC=(-25-2,0,AF=（-25,-4,23,AD=(-31,0 设平面ACF的法向量为m=(x,,z), m.AC=-2V3x-2y=0 由 m.AF=-2V3x-4y+2V3z=0 令x=1,则y=-5,z=-1,m=1,-V5,-1, …12分 假设在线段CG(不含端点)上存在一点E, 使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为N6 10 设CE=CG,0<1<1, 则DE=DC+CE=DC+CG=(（-5,-3,0+0,225=（-5,2-3,25: …14分 :平面ACF的法向量为m=(山，-3，-： 直线DE与平面ACF所成角的正弦值为6 0 m.DE 23-43 ∴.cos(m,DE) 6 mDE V5×3+(2-3)}+122210 …15分 理得3622-372+7=0，解得元=或2-7 …16分 所以在线段CG(不含端点)上存在点E, 当CECG或CE名CG,直线DE与平面4CP所成的宙弦值为6 …17分 10 19.【详解】 r2b=4 (1)由题意， 1京解得b2口3，四圆方程为上 27,1 941. …2分 (2)由题意，T(V5,0),显然直线P9的斜率不为0， 设直线P9的方程为x=y+V5,P(x,),，Q(x2,2), 联立{94 、m9y+8w60,展 x=my+5 则y+y2= 85m 16 4m2+95= …4分 4m2+9 5x-小-5,0+g》4 2 所以S.oe=2 85m 64 …6分 2 4m2+9 4m2+9 =12v5 m2+1 =125 m2+1 =12V5 m2+1 V(4m2+92 V4(m2+1)+5i 16(m2+12+40(m2+1）+25 =12√5 1 12V5 =3 16(m+1)+25 m2+1*40 /2V16(m2+1）25 *)+40 …8分 当且仅当16(m+)- 25 》2+)”即m=±)时等号成立，故△OP面积的最大值为3 …9分 (3)由题意，设直线P2的方程为x=my+t(m≠0)，P(x,y),Q(x,2), 联立 a+ ,整理得(b2m2+a2)y2+2mtb2y+b22-a2b2=0, x=my+t 由△>0可得b2m2+a2>t2 2mtb2 b212-a2b2 则%+为=6m+日，=6m+' …11分 若∠PT=∠0T,则+s=0,即”+”g0, …12分 所以(x2-s)+y2(x-s)=0,即(my2+)+y2(y+)-s(y+y2)=0, 则2myy2+(t-s)(y+2)=0, …13分 6--0… b212-a2b2 即2m: …14分 故2mb2[2-a2-1(-s]=0, …15分 而m≠0，则2-a2-t(t-s)=0,即st=a2, 故x轴上是存在点S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立，此时st=a2. …17分