辽宁省名校联盟2026-2027学年高三上学期11月期中联考数学试题

高三11月数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、推考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 咖 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知复数之满足z=仁（为虚数单位），则1z= 1+2i A B C.√5 D.√10 常 2.已知集合A=(01,23,4),集合B={z二≥0，则AnB= A.(2,3) B.{3,2,1)》 C.(1,2,3,4) D.(4,3,2,1,0) 3.已知-受<a<6<受，则a-b的值可能为 A.-π B.3 C.0 4 D.- 4.已知角B的终边在第一象限，且sing=2y 3 2,cos(a十g)=-1,则cosa= A- B.-22 c号 D.2② 3 3 0.99丽-.011s 5.数学计算“(1+1%)%=1.010≈37.8，(1-1%)=0.9g≈0.03,01 0.99/ ≈1481” T 告诉我们：每天进步一点点与每天退步一点点经过一年的积累差别会非常大，成长不是靠突然爆 发，而是靠每天稳定的积累.假设初始值为1，“进步者”每天的进步率都是1%，“退步者”每天的退 步率都是1%，那么当“进步者”的收获是“退步者”的收获的10倍时，大约要经过 (参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈-0.00436) A.85天 B.90天 C.100天 D.115天 数学第1页（共4页）】 6.已知数列{an)的各项均为非负数，若对任意的正整数p,q,总有apxg=ap十a,且a16=8,则ag= A.6 B.4 C.2 D.1 7.已知定文域为(-9,101)的函数x)满足f2-x)+f)=3,若函数y=22的图象与f) 的图象的交点为(x1,),其中1≤≤2026，且EN,则觉(x,十)= A.0 B.2026 C.5065 D.3039 8.已知向量a=(cos0,sin),其中e[吾，]，b=(-√5,1).若2a-b1>m恒成立，则实数m的取 值范围是 A.（-∞，2) B.(-∞，2] C.(-∞，2V3) D.(-∞，2√3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设a,b是两条直线，a,β，Y是不同的平面，a∥B,a∩y=m,β∩y=n,b⊥a,则下列选项中是“a∥g”的 必要条件的是 A.aCa B.m∥n C.a∥a D.b⊥a 10.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.D是BC边的中点，且AD=√5，asinB=√5c, a一怎则 A.b=2c B.a=3c C.c=2 D.△ABC的面积是2√5 l1.已知数列(an)满足0<a1<1,e+1=(2-an+1)m(其中n∈N”,e为自然对数的底数)，Sn为数列 (}的前0项和，则下列结论正确的有 A.0<an<1 B.数列(an)是递减数列 C2026<aw<号 1 D.S,<n(n+1) 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，在等边三角形DEF中，A、B、C分别是所在边的中点，沿虚线折起使点D、E、F重合，重合 后的点记为点O,则OA与平面ABC所成的角的余弦值为 数学第2页（共4页） 13.已知向量a=0,10,b=(-号，-》e=(号，-)，且m+地+0=(-1,2)，则2+y+2 的最小值为 14.已知函数f(x)=ae十ln x+e+一e(其中a>0,e为自然对数的底数)，若f(x)>1恒成立，则 实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图是函数f(x)=Asin(wx十p)(A>0,w>0,lp<π)的部分图象. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若gx)=f(x)+f(+x,求g(x)在[-牙，]上的零点. 16.(本小题满分15分) 在四面体ABCD中，已知AB⊥平面BCD,∠BCD=90°，AB=BD=4,直线BC与AD所成角 为60° (1)求AC的长； (2)求二面角B-AD-C的余弦值. 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知数列(an)的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1=2Sn十2.数列(bn)是等差数列，b1=2,bm=14,且 数列满是十6点+…十。.=号m≥8，且m∈N. (1)求数列(an),(bn)的通项公式； @0设工-会+2名十品++会求工 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，点D、E在线段BC上，D为BE边的中点，BD=1,AC=√3，∠BAD十∠BEA=90°. (1)请判断△ABE的形状，并给出理由； (2)求sinC的最大值及此时CD的长度（点C、E可以重合）. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlog3x,曲线y=f(x)有两条过点P(3,a)的切线. (1)求实数a的取值范围； (2)求证：f(x)+f(6-x)+√Wx2-2x+4-√x2-8x+64>0; (3)若函数g(x)=f(x)一b(x一1)，且g(x)在[1,3]上有且只有一个零点，求实数b的取值范围. 数学第4页（共4页）高三 ·数学· 叁考管亲及解折 一、单选题 二、多选题 1.C【解析】由x=4仁3i=4-3D(1-2D--2-11i 9.BD【解析】若a∥B,可得aCa或a∥a,所以A,C都不 1+2i(1+2i)(1一2i) 5 对.故选BD. 则1=-√会+罗-5，故选C 10.BCD【解析】对于A、C,在△ABC中，由D是BC边 2.B【解析】>0等价于(x-1D4-)>0或x=1, 的中点，得A站+AC=2A市，而AD=5,c0sA=-5, 6 解得1≤x<4,则集合B={x|1≤x<4},所以A∩B= 则(A+Ad=4A市，整理得c2+B-5b=200, {1,2,3}.故选B. 3.D【解析】因为-5<a<b<受，所以-<a-6<0. 由asinB=√5c及正弦定理，得bsinA=√5c,而sinA 故选D. Vm万-面，则6=6：@，联立0@解得c-2, 4.A【解析】由cos(a十)=-1，得sin(a十B)=0,又角β b=2√6，故A错误，C正确； 的终边在第-象限，sing=2y2,所以cosg=√-sinB 3 对于B,又公=c+6+b=4+24+5X2X26= 3 =子，所以coa=cos(a十B-B)=c0s(a+B)·c0sg+ 36,a=6=3c,故B正确； sin(a十D·sing-一子放选A 对于D,△ABC的面积S=2csiA=号X26X2X 5.D【解析】假设经过n天，“进步者”的收获是“退步者” 30=25，故D正确.故选BCD, 6 的收获的10倍，列方程得（合8）” -10,解得n=l1og%g10 11.AB【解析】对于A,因为0<a1<1,假设a2<0,可得 1g10 1 -g1.01-1g0.99≈0.00432-(-0.00436)≈115，即 e2<1,(2-a2)1>1,不等式不成立，假设a2>1,可得 经过约115天，“进步者”的收获是“退步者”的收获的10 e>e,(2-a2)1<1,不等式不成立，a2=0或a2=1 倍.故选D. 时不等式显然不成立.假设0<a:<1,同理可得 6.A【解析】令p=q=4,a16=8=2a4,有a4=4,令p=q 0<a+1<1,故A正确： =2,a4=4=2a2,有a2=2,令p=4,q=2,可得ag=a2x4 对于B,因为e>2-an+1,所以e+1>(2-aa+1)°a+1, =a2十a4=2十4=6.故选A. en+1=(2-an+1)°>(2-a+1)a+1,所以an>a+1.故 7.C【解析】因为f(2-x)+f(x)=3,y=f(x), B正确； zE(-9,1010,对称中心为(1，号）y-2=2 对于C,由en+1=(2一a+1)n,有ar+1=anln(2一ag+1) <an(1-ar+1),有aa+1<an(1一am+1),有ax+1am<an 3(x-1)+3=3+3 23=名+2x3D对称中心为(1,2），每对 a+1,可得1-1>1.累加得2>1十n-1>,可 an+l an an al 关于对称中心对称的交点横坐标之和为2，纵坐标之和 为3.骂(+)-1013×(2+3)-5065.故选C 得a<,放C错误； 8.A【解析】由已知|a|=1,1b1=2,.|2a-b1 对于D,由>元，有S>D,故D错误.放选AB 2 √/4a2-4a·b+b=V√8+4(W3cos0-sin0) 三、填空题 √8+8co(叶晋)，由9∈[吾，受]，可得0+吾∈12.号【解析】OA在平面ABC内的射影为∠BAC的角 [晋]得ca(计音）∈[-]故12a-6l的 平分线，设OA与平面ABC所成的角为6，由cos60°= 最小值为√8-4=2，所以m<2.故选A. c0s6c0s30,有c0s0=且 31 ·数学· 参考答案及解析 又e[-], 当k=0时，x=若k=-1时x=一牙 故g(x)在[一至，受]上的零点为否.…13分) 13.号【解折】由题意有一竖， =-1,y-=V2, 16.解：(1)以C为坐标原点，分别以CD,CB所在直线为 x轴，y轴，过点C且垂直于平面BCD的直线为：轴建 有x-y-7=2y+x=2(x-2).有2+y2+2 立如图所示空间直角坐标系， =2+2[y-+(g+z)2]=2+2[2+4(x 2]-2-8x+9-(-)'+号≥号 14.a>e【解折】因为ae+nz十8-e>1,等价于 e+ia+lna-ln(x+e十l)-e-l>0,等价于e+a+ (x+Ina)>In(z+e+1)+(x+e+1)=el(=+e+D+ In(x+e+1),e+l+(x+Ina)em+e+D+ln(z+e+1) 设CD=x,CB=y,有C(0,0,0),D(x,0,0),B(0,y,0), 恒成立，令g(x)=e+x,则g(x十lna)>g(ln(x十e+l), A(0,y,4),其中x2十y2=16.…(3分) 又易得g(x)=e2十x在定义域内单调递增，所以x+ 由i=(0,y,0),DA=(-x,y,4), lna>ln(x+e+1),即x-ln(x+e+l)+lna>0,故 有cosC克，DA)= y y x一hre+1D+e>0恒成立，可得e>(中中） y·2++16V3242-2: 可得y=2√2，x=2√2，…(6分) 令y=+e+1,则y=二xe,因为当x∈ 可得AC=|AC1=|(0,-y,-4)1=√W8+16=2√6. e …(7分) (-e-1,-e)时，y>0,y单调递增；当x∈(-e,十o∞) (2)由CA-(0,2√2,4)，CD=(2√2,0,0)， 时，y<0,y单调递减.所以当x=一e时，y取得最大 设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z), 值，即(+e+1)=e.所以a>e. 有 |2√2y+4=0 2√2x1=0 四、解答题 取x1=0,y1=√2,1=-1，可得n=(0W2,一1). 15.解：(1)由题易知A=2, …………………(1分) …(10分） 又由T-2(餐-晋）-元-还，可得w=2,…(3分) 由BA=(0,0,4),Bd=(2√2，-2√2,0)， 设平面BAD的一个法向量为m=(x2,y,z2) 又由2sin(5+p）-0及五点画图法，有经+9=0，可 |2W2x2-2W2y2=0 得=一 2π 3 ……………(6分) 4z2=0 取x2=1,y2=1,2=0,可得m=(1,1,0).…(13分) 有f）=2sin(2x-）. (7分) 有cos(m,n〉= 2X√33· (2)由g(x)=f(x)+f(5+x) 故二面角BADC的余弦值为。 …(15分) =2sin(2x-2g）+2sin2x 17.解：(1)由 Sw+1=2Sn+2 有a+1=2an(n≥2)，… S.=2Sn-1十2 =sin2x-V3cos2x=2sin(2x-号）y …(10分)》 …(2分) 又由S2=2S1+2=6=a1十a2,所以a2=4=2a1, 令2x-于=km,k∈Z, 可得{an}为等比数列.所以an=2.…(4分) 有x=经+晋，k∈乙 (11分) 设数到6，的公岩为d,又由。号》 ·2· 高三 ·数学· (5分) √3cosC≥1. 1 又由V3cosC>1,可得cosC≥ 3 =(公-++ bm-1 可得sinCs 写，此时CD=1.. (16分) =(六-)（合-） 综上，sinC的最大值为写，此时CD的长度为1. -(合)= (7分) ……………………………………(17分) 所以d=1,b=2.有bn=n+1. (8分) 19.解：(1)设切线切点为(x0,), (2)由T=+红十b十十6 有 ((logsz)'-log+In3, 1 an an-1 an-2 …(1分) 2+、3 +2+…+4+ 4 2 ，…(9分) 切线方程为y=(og十3)(x)+ml1ogx,可 有2T=2十2马+2是十+号+n+1. 2 3 4 … 2 化为y-(1g+品)x- ………(2分) ……………………………（12分) 有-=是+2+品+++ 1 因为切线过点(3，a), 2-n-1 所以有a=3(log,2∞十n3) 一n3 ………(3分) 2 1 2 n-1=-n, 1 12 设h(x)=3(logx+)一3 3 所以Tn=n,… (15分) 事么wa)=品品-品×3，兰 …(4分) x 18.解：(1)由BD=DE=1, 当x∈(0,3)时，h'(x)>0,h(x)单调递增； BD AD ED AD sinBAD-sinB'sin EAD sin/BEA' 当x∈(3，十o∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 有h(x)≤h(3)=3,所以a∈(-∞，3).…(5分) …………………………(2分) (2)设F(x)=f(x)+f(6-x) 有Bsin∠BAD ED-sn∠EAD sinB 'AD sinBEA' =xlog3x+(6-x)loga (6-z), 有sin∠BAD_sin∠EAD sinB sin∠BEA' ………(4分) 有F()=1gx+品1g《6-)-品 又由∠BAD+∠BEA=90°，有∠B+∠EAD=90°， =log3x一log(6一x),在(0,6)上单调递增，且F(3)=0, 有sin∠BAD=cos∠BEA,cosB=sin∠EAD, ………………………………………(6分) 有coS∠BEA_coSB 所以F(x)在(0,3)上单调递减，在(3,6)上单调递增. sinB sin∠BEA .F(x)≥F(3)=6.…(7分) 有sin2B=sin2∠BEA.…(6分) 设H(x)=√x2-8x十64-√/x2-2x+4 可得2B=2∠BEA或2B+2∠BEA=180°， =√(x-4)2+48-√(x-1)2+3 可得∠B=∠BEA或∠B十∠BEA=90° 所以△ABE是等腰三角形或直角三角形.·(8分) =√(x-4)2+(4√3)2-√(x-1)2+(W3)2, (2)若△ABE是直角三角形， 即点(x,0)到点(4,4√3)的距离与点(x,0)到点(1，√3) 即∠BAE=90°，AB=2cosB, ……(9分) 的距离之差。……(8分) sinc-sinB,即2 cosB 在△ABC中，有AB=AC 由几何意义知三点在一条直线时H(x)取最大值为6， sinC sinB 当且仅当x=0时取到，所以H(x)<6.…(9分) 有SnC-n2B<得，此时nB=1,B=牙，AD=1, 故f(x)+f(6-x)+√2-2x+4-√-8x+64>0. …(10分) CD=√2. (12分) (3)由题易知g(x)=f(x)-b(x-1)=rlogax 若△ABE是等腰三角形， b(x-1),易得g(1)=0,g(3)=3-2b. D为BE中点，AD⊥BE,∠ADC=2,CD= g(x)=1ogx十n品-b,易知g(x)在[1,3]上单调 ·3· ·数学· 参考答案及解析 递增. (11分) 零点，g3)=3-2b<0,所以6>三 ①当区3时，g(x)≥g(1)=n3-b≥0，g(x)在 即多<b<1+品 1 ……………………(15分) [1,3]上单调递增，g(x)≥g(1)=0. 可得g(x)只有一个零点，符合题意.…(12分) ®当6>1+品时，g()≤g(3)=1+品-≤0， ②当品<<1+时，g1)=品-6<0，g'(3)= g(x)在[1,3]上单调递减，g(x)≤g(1)=0. 1+品->0，g()在[1,3]上单调递增，…13分) 可得g(x)只有一个零点，符合题意.…(16分) 设g(x0)=0,x∈[1，x],g(x)<0,g(x)单调递减， 综上品或6>号…17分) x∈[xo,3],g'(x)>0,g(x)单调递增，若要只有一个 ·4· 高三数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 数 分析 逻 数 直 接受、 吸收、 问题 探 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 学抽 整合 和解 决数 系 推 想象 与数 数学 学问 能 次 理 象 模 信息的 能力 题的 力 分 能力 析 选择题 复数四则运算及模的求法 低 0.85 2 选择题 5 集合运算与不等式的解集 低 0.70 3 选择题 5 不等式基本性质 低 0.85 选择题 两角和与差的余弦 低 0.65 5 选择题 对数运算 中 0.60 选择题 赋值法与数列 低 0.65 7 选择题 函数对称性 √ 中 0.60 选择题 向量运算的几何意义与三角函数 √ L 中 0.55 9 选择题 6 线面关系 低 0.70 10 选择题 6 解三角形 中 0.55 11 选择题 6 数列综合 √ √ 高 0.45 12 填空题 线面角 V 中 0.60 平面向量的数量运算与二次函数的 13 填空题 最值 L 多 0.60 14 填空题 同构法求参数范围 √ 高 0.45 15 解答题 13 由图象求函数解析式，函数性质 低 0.75 16 解答题 15 空间向量与立体几何综合 低 0.65 17 解答题 15 等差等比数列综合 约 0.60 18 解答题 17 解三角形 高 0.45 19 解答题 17 导数与函数综合 / 高 0.50 1.注重情境创设：在命题过程中，充分挖掘生活中的数学，将实际问题抽象为数学模型，引导学生运用所学数 学知识进行分析、求解，培养学生的数学建模能力和应用意识； 2.强化思维能力考查：设置了一些需要学生进行逻辑推理、归纳论证的试题，如通过数列的递推关系推导通 命 项公式等，考查学生的逻辑思维能力和演绎推理能力； 题 3.体现知识的网络化：部分试题强调不同知识模块之间的联系，如将函数与导数知识与数列相结合，将三角 报 函数与平面向量知识相结合等。通过这些综合性试题，考查学生对知识的整体把握和综合运用能力，引导学 告 生构建完整的知识网络，提高学生的数学素养； 4.重视数学思想方法的渗透：在命题过程中，注重对数学思想方法的考查，如函数与方程思想、数形结合思 想、分类讨论思想、转化与化归思想等。通过具体的试题，让学生在解题过程中体会和运用这些思想方法，提 高学生分析问题和解决问题的能力。