精品解析：江苏苏州市2026-2027学年高三上学期期中阳光调研数学试题

高三年级期中阳光调研试卷 数学 2026.11 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由根式有意义确定全集，再根据补集求集合A，最后逐项判断元素与集合的关系． 【详解】由根式有意义的条件，得，即． 又，所以． 因为，所以． 因此，A正确；，B错误；，C错误；，D错误． 2. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数，满足，所以， 则，当且仅当，即时取等号， 的最小值为； 3. 数列中，“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】数列是等差数列，能推出，，成等差数列，必要性成立； ，，成等差数列推不出数列是等差数列， 举反例：数列1，2，3，5，8，前三项1，2，3满足等差中项性质，但整个数列显然不是等差数列，充分性不成立； 所以“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由函数是定义在上的奇函数，得， 而当时，，则，解得， 因此，. 5. 在平行四边形中，点，分别是边，边的中点，，分别与交于，两点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及平面向量基本定理求解. 【详解】由是边的中点，得，则， 而点是边的中点，因此， 又，且不共线，所以，. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】代入得，因为，， 所以，， 由同理可得，又因为，，，，所以，可得，所以， . 7. 在盐碱地生态调查中，科研人员用土壤饱和浸提液电导率来评价土壤盐渍化程度.为缩小数值跨度，便于绘图与统计分析，定义对数盐度指数：，其中基准电导率，为实测饱和浸提液电导率（单位：）.下表为某地三块试验田土壤样本测得的对数盐度指数区间，记甲､乙､丙三份土壤样本对应的实测饱和浸提液电导率依次为，，，则下列说法正确的是（ ） 土壤样本 土地类型 对数盐度指数 样本甲 重度盐渍化农田 50~80 样本乙 中度盐渍化农田 40~50 样本丙 轻度盐渍化农田 10~20 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对数盐度指数的大小列出不等式进而化简，得出饱和浸提液电导率间的大小关系. 【详解】已知，可知， 且当时，，时，，故. 同理可知当，，此时，故. 8. 给定两个函数：，.记满足的正数，按从小到大的顺序记为，，，，.对每一个，构造点.若存在连续三点，，，使得为直角三角形，则正实数的值是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【解析】 【分析】先用三角恒等变换求出交点坐标，再根据连续三点构成的等腰三角形，用勾股定理求参数. 【详解】令，由两角差的余弦公式，得 . 由及，得 . 所以，. 记相邻两点的横坐标差为. 连续三点中，首尾两点同高，且与中间点的纵坐标差的绝对值均为. 因此所得三角形的底边长为，两腰长的平方均为. 这个等腰三角形的两底角均为锐角，所以直角只能在. 由勾股定理及其逆定理，三角形为直角三角形当且仅当. 解得，所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数满足（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由,得,所以. 对于A,,所以A正确. 对于B,,与不相等,所以B错误. 对于C,,,所以.C正确. 对于D,,且,所以D正确. 10. 有一组数据共12个，记第个数为，其中，，…，是首项为2的等差数列，且，，.记.将，，…，分成6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6，公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 的取值不唯一 D. 对于满足条件的，存在唯一的分组方式 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用等差数列通项公式求出前 9 项的公差，计算，再求出，判断 A、B；将 6 组两数之和视作新的等差数列，由总和建立首项x与公差d的关系式；结合所有数均为偶数、和的取值范围锁定d的候选值，验证得均可行，说明d不唯一，判断 C；对举出两种不同分组，说明分组方式不唯一，判断D. 【详解】选项：设数列的公差为， ∵ 是首项 的等差数列，， ∴ ， ∴， ∴， 正确； 选项：由A知：12个数据为：， ∴， ∴， ， 错误； 选项：设6个两数之和构成等差数列为： ， ， ∴， 所有 都是偶数，偶数 偶数 偶数，故 、 均为偶数， 为偶数， 是正偶数， 又∵两个数和最小为，和最大为 ， ∴， 则， 当：（奇数，舍去）， 当：，和数列为 ， 例如， 当：，和数列为 ， 例如， 可取 ，取值不唯一， 正确； 选项：对 ，和数列：， 分组方式不止一种，举例： 方式1： 方式2： 同一个 ，存在多种分组， 错误. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，，都满足，其中是自然对数的底数，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上是单调函数 C. 若，则 D. 若，，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由代入函数方程，结合，直接得，判断奇偶性； 对于B，由，，任取，作差比较由指数函数单调性判断正负； 对于C，由函数方程令得，作差，讨论的符号随正负变化判断即可； 对于D，由函数方程写出的两种展开（交换），两式相加得，由时放缩即得. 【详解】选项A，令，得，故. 令，由得，因为，故，是奇函数，故A正确； 选项B，令，即，代入函数方程得. 交换得，两式相等， 即（常数），故.于是. 由时得. 由，，任取，则 . 因为，，即；又，故，即. 两项均为正，故，在上严格递增，故B正确； 选项C，由函数方程令，得，于是 . ，当且仅当时取等号，故恒成立. 当时，当时由奇函数. 取，则而，故，即，与矛盾，故C错误； 选项D，由函数方程， 交换又得，两式相加得 . 因为，由且（等号需或，均不在定义域内），又，， 故，即，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，则实数m的值为__________. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意，，. 将等式两边平方，得，化简得，所以. 13. 设等比数列的各项均为正数，前n项和为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为.因为各项均为正数,所以. 当时,,,此时,,不满足题意,故. 当时,.由得. 两边同乘,整理得,即. 因为,两边同除以,得.令,则,解得或. 时,,与矛盾,舍去;所以,即,. 所以. 14. 定义：若，函数满足，其中是的导函数，则称在区间I上“自洽单调”.已知实数，函数，若在区间上“自洽单调”，则的最大值为__________. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】先求导确定导数变号临界点，结合判断区间相对位置，根据自洽单调的定义，分类讨论区间与临界点的关系，求得的最大值； 【详解】函数，求导，令，解得， 因为，所以，当时，单调递减； 当时，单调递增；函数，开口向上， 对称轴，函数的根为， 因为若在区间上“自洽单调”，所以，恒成立； 要使，恒成立，分两种情况， 情况一：当，即时，此时， 要满足，就要求，， 当时，单调递减，则需要满足，即，且，可得， 于是，令，这是开口向下的二次函数， 对称轴：，所以， 检验：，，满足，区间， 全部在临界点左边，，则，符合题意； 情况二：当，即区间包含对称轴时，结合，此时， 在上，要求；在，，要求； 因此在分界点处，必须满足，解得， 结合，且，解不等式可得， 此时在上恒成立，与函数是一个开口向上的二次函数，且，矛盾； 综上可得的最大值为； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的外接圆半径为1，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和角公式与内角和求出，由锐角三角形限定得； （2）由余弦定理建立与的关系，代入条件求出，再代入三角形面积公式计算. 【小问1详解】 因为外接圆半径为1，所以由正弦定理得， ， 即. 又为锐角三角形，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理知， 所以，所以. 所以的面积为. 16. 已知向量，，记函数. （1）若，且，求； （2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标条件求出，通过二倍角余弦的齐次化公式计算； （2）先经向量运算与三角恒等变换将化为正弦型函数，平移得到，结合定义域求其值域. 【小问1详解】 因为，所以，显然， 所以. 【小问2详解】 . 由题意知. 所以. 因为，所以，所以， 所以的值域为. 17. 已知函数（，且）的图象经过点. （1）求a的值； （2）若存在两个互不相同的实数x，使得，，成等差数列，求实数t的取值范围； （3）设，其中.若是方程的根，试判断的符号，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 的定义域为. 因为是方程的根，所以，且， 即. 因为. 所以. 由于，所以. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象经过定点，坐标代入求底数； （2）由，，成等差数列得，化简为，令换元为二次方程，结合根的分布列不等式组求的范围； （3）的定义域为，故且；利用，构造化简可得，由判断的符号. 【小问1详解】 因为函数且的图象经过点， 所以， 所以，则. 【小问2详解】 因为存在两个互不相同的实数，使得成等差数列， 所以， 有两个不同实数根， 所以有两个不同实数根. 令，则由两个不等正根， 所以，解得. 所以实数的范围为. 【小问3详解】 略 18. 已知数列的首项，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记为在区间中所含项的个数，数列的前项和为，若，求的值； （3）设，数列的前项和为，符号表示不超过实数的最大整数.若存在整数，使得当时，恒有，求满足该条件的最小正整数及整数的值. 【答案】（1） （2）316 （3）的最小值 【解析】 【分析】（1）利用与的递推关系作差，验证首项，判定为等比数列，求出通项； （2）根据划分区间，统计每段的值与项数，分段累加，补足剩余和求出； （3）对放缩裂项，得到的上界，逐项计算，结合单调性确定取整恒为定值的最小正整数及. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以. 当时，，所以，则. 所以. 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故. 【小问2详解】 当时，，共1个；时，，共2个： 时，共4个：时，共8个： 时，，共16个：时，，共32个； 时，，共64个；时，，共128个； 时，，共256个，时，，共个. 所以 所以第项对应的落在区间内，，共个. 故. 【小问3详解】 . 当时； 当时，： 所以 又，所以是单调递增数列. 对于，所以. 因为； ，所以当时，都有， 所以满足条件的的最小值. 19. 已知函数，是自然对数的底数，记. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的值； （3）若方程有两个不同的实数根，，满足且，记为的零点. （ⅰ）求的值； （ⅱ），从下面①②中任选一个作答（若两个都作答，以第一个计分）. ①当时，求证：； ②当时，求证：. 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ） （ⅱ）当时，. 因为是的根，为的零点， 所以， 所以. 若选①： 令，显然在上单调递增，且. 因为，所以要证，只要证，即证， 只要证，即证. 又因为，所以，则. 所以只要证，即证. 令，则. 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 故当时，. 若选②： 令，显然在上单调递增，且. 因为，所以要证，只要证，即证. 只要证，即证. 又因为，所以，所以. 所以只要证，即证，即证. 因为当时，，所以在上单调递增， ， 又，所以. 令，即证. ，令，则, 所以在上单调递增，且， 所以存在，使得. 当在上单调递减： 当在上单调递增. 由于，所以当时，，所以， 所以. 故当时，. 【解析】 【分析】（1）代入求导，计算处的切点坐标与切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）法一：将整理为乘积式恒成立，分正负讨论符号，夹逼得出；法二：由全局最小值得是极值点，令解出，再验证单调性确认其为最小值点； （3）(i) 利用两根互为相反数联立方程，两式相乘消去指数求解，验根后舍去增解；(ii) 选①：构造单调函数，将不等式转化为函数值比较，换元为多项式不等式求导证明； 选②：借助的单调性转化不等式，锁定的取值范围，构造函数通过分析证不等式. 【小问1详解】 当时，，所以， 又，所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 法一：函数的定义域为，由知， 整理得恒成立. 当时，，则必有恒成立，所以； 当时，，则必有恒成立，所以； 综上，. 法二：函数的定义域为. 由可知是函数的最小值，且是的极小值点. 因为，所以，解得. 当时，. 当时，，所以，则在上单调递增； 当时，，所以，则在上单调递减， 所以是极小值点也是最小值点，故满足条件. 【小问3详解】 （i）因为，且满足，所以， 整理得，所以，所以，则. 当时，或，不满足，舍去. 当时，，易知. 设，则，所以， 所以，则存在两个不同的实数根满足. 故. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级期中阳光调研试卷 数学 2026.11 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 数列中，“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，点，分别是边，边的中点，，分别与交于，两点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在盐碱地生态调查中，科研人员用土壤饱和浸提液电导率来评价土壤盐渍化程度.为缩小数值跨度，便于绘图与统计分析，定义对数盐度指数：，其中基准电导率，为实测饱和浸提液电导率（单位：）.下表为某地三块试验田土壤样本测得的对数盐度指数区间，记甲､乙､丙三份土壤样本对应的实测饱和浸提液电导率依次为，，，则下列说法正确的是（ ） 土壤样本 土地类型 对数盐度指数 样本甲 重度盐渍化农田 50~80 样本乙 中度盐渍化农田 40~50 样本丙 轻度盐渍化农田 10~20 A. B. C. D. 8. 给定两个函数：，.记满足的正数，按从小到大的顺序记为，，，，.对每一个，构造点.若存在连续三点，，，使得为直角三角形，则正实数的值是（ ） A.  B.  C.  D.  二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数满足（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 有一组数据共12个，记第个数为，其中，，…，是首项为2的等差数列，且，，.记.将，，…，分成6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6，公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 的取值不唯一 D. 对于满足条件的，存在唯一的分组方式 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，，都满足，其中是自然对数的底数，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上是单调函数 C. 若，则 D. 若，，，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，则实数m的值为__________. 13. 设等比数列的各项均为正数，前n项和为，，，则__________. 14. 定义：若，函数满足，其中是的导函数，则称在区间I上“自洽单调”.已知实数，函数，若在区间上“自洽单调”，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的外接圆半径为1，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知向量，，记函数. （1）若，且，求； （2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求的值域. 17. 已知函数（，且）的图象经过点. （1）求a的值； （2）若存在两个互不相同的实数x，使得，，成等差数列，求实数t的取值范围； （3）设，其中.若是方程的根，试判断的符号，并说明理由. 18. 已知数列的首项，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记为在区间中所含项的个数，数列的前项和为，若，求的值； （3）设，数列的前项和为，符号表示不超过实数的最大整数.若存在整数，使得当时，恒有，求满足该条件的最小正整数及整数的值. 19. 已知函数，是自然对数的底数，记. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的值； （3）若方程有两个不同的实数根，，满足且，记为的零点. （ⅰ）求的值； （ⅱ），从下面①②中任选一个作答（若两个都作答，以第一个计分）. ①当时，求证：； ②当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $