江苏省扬州市2027届高三上学期期中考试数学试题

高三数学参考答案 1.A 2.C 3.B 4.C 5.c 6.B 7.D 8.A 9.BC 10.ABD 11.ACD 2制 14.2 15,解：(1)因为AB是圆O的直径，C是圆周上异于AB的一点，所以AC⊥BC. 又PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PALBC, 又ACPA=A,AC.PAc平面PAC,所以BC⊥平面PAC 因为PCc平面PAC,所以BC⊥PC.故△PBC是以∠PCB为直角的直角三角形. ….5分 (2)因为PA⊥平面ABC,所以PALAB,PALAC, 故LBAC就是二面角B-P-C的平面角，所以∠B4C=? …8分 又AB=2,ACB=90,所以AC=BC=√5，PC=√PP+AC=6 法一（向量法）：以A为原点，AB,AP的方向分别为x轴、：轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系，则A0.0,0),B2,0,0).P0,0,2).C(1,1,0) 所以PB=(2,0,-2),PC=1,1-2).设平面PBC的法向量为n=(xJy, 由n-PB=0,n-PC=0得2-2=0且x+-2:=0,取=1得n=(1,1,1). 又AB=(2,0.0),设直线AB与平面PBC所成的角为8，则 qL1的 n·AB sin0=cos(n,AB)= 25 川AB 2√53 所以直线AB与平面P8C所成角的正弦值为 2 …13分 法二：（综合法）由(I)知BC⊥平面PAC,又BCC平面PBC,所以面PBC⊥面PAC,且交线为 PC.在平面PAC内过A作AHLPC,垂足为H,则AHL平面PBC, 所以∠ABH就是直线AB与平面PBC所成的角， 在R△PAC中，AH=PA4C_2×巨_25 所以所求正弦值sm∠ABH=4H-E B3·13分 16.解：(1)X的所有可能取值为0.12.6人中男学生有2人，其余4人， 从6人中任选3人共有C。=20种等可能的选法 P(X=0)=CCL-4=1 C205 所以X的分布列为 0 2 3 5 5 00=0*12号 3 .…8分 (2)记A=“所选3人中恰有1名女性”，B=“所选3人中至少有1名教师”， 高三数学参考答案第1页（共4页） 则PA=S9 C201 P(A)9 ..15分 17.解：(1)由CA.CB=4得C4.CBc0sC=4,即7x8c0sC=4,所以cosC= 14 由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2.CA.CB.c0sC=49+64-88=25,所以AB=5. 因为Ce(0,,所以sinC=-cos2C_5N5 14 由正弦定理6 sin B=bsinc 7x ….5分 5 2 (2)由D得sB=BC+B:C_64+5-9-,所以B-号 2BC·AB 80 2 (i)因为DEBC,所以∠DEB=∠EBC;又BE平分∠ABC,所以∠EBC=∠DBE=30°， 所以LDEB=∠DBE=30°，故BD=DE,即DE=5λ，BE=2 BDcos30=5√3A. 当4-时，BE=65,在△CE中，由余弦定理得 CE2=BC2+BE-2,BC.BE-cos30°=64+108-144=28，所以CE=2√万. .…10分 (ii)法一（坐标法）以B为原点，BA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(5,O), cas0、c-修424，E-5） EE--兰2-42-空-0 所以当1-各时，正.D正取和最小值-号 ..15分 法二（基向量法）取与BA,BC同向的单位向量G,A,则·g,=cos60={ BD=5e,DE=5Ae,,CE=CB+BD+DE=5e+(5A-8)e, 所以OE.0E-5近+(5-g5运=空-401，故当天=时取得最小值-号 法三（余弦定理）由CD=CE+ED得CD2=CE2+DE2-2CE.DE,所以 CE.DE=CE2+DE2-CD2 .在△BCD中，CD2=BC2+BD2-2BCBD.c0s60°=64+252-40M, 2 又CB2=64+75R-1201,DE=258,所以C正.DE=7X2-402,故元=8时取最小值-32 15 18.解：(1)g(x)=2x-a,g0)=0,g'(0)=-a,所以曲线y=g(x)在原点处切线方程为y=-ax. 设该直线与曲线y=相切于点，n0.则上=-a,且1no=-a, 由方-a得0=1，代入得no=1,所以=e,a=- 1 .5分 e (2)h(x)=alnx+x2-(a+2)x,定义域为(0，+o), h)-8+2x-(a+2)=2-(a+2r+a=2x-ax-l) ..7分 ①当a≤0时，hx)在(0,1)上单调递减，在(L,)上单调递增： ②当0<a<2时，M)在(0上单调递增，在（上单调递减，在，+m)上单调造增： ③当a=2时，h(x)在(0，+o)上单调递增： ④当a>2时，M在0，)与（号+m上单调递增，在号 上单调递减， .11分 (3)法一（隐零点）：由x>0且nar)有意义知a>0, 令F=r-a-ha,则Fx=2x-a-1-2x-ar-l 方程2-1=0有唯一正根飞=a+y厅+8 4 且F(x)在(0o)上递减、在xo,+oo)上递增，故F凡x)min=F凡xo): 由2xw2=ao+1得a0=2x02-1,于是Fxo)=02-(2x02-1ln2x02-1)=1-x02Hn(2xo2-1). 令r=22-0,则R)=1号-r.记w-号-hr,vn=号0， 故w(r)单调递减，又I)=0,所以Fo20当且仅当r≤1，即xo≤1： 而a=2,-文在0，止单调递增，故≤1等价于a≤1.综上，a的取值范围为0，小 。…17分 法二（分参）：由x>0且ln(ar)有意义知a>0,原不等式即In(ax)≤x2-ar. 令1=a0,则x=,不等式化为1+ln1≤行 a 当+Hlm≤0时，不等式显然成立：当+Hlnp0时，需S, 一恒成立. t+I 令0= 7,则p0=+2n1-) t+In (t+Int) ，由于叭0=+2-1在(0，+o)上单调递增，且1)=0， 所以o(0在(0,1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增，故)mm=p(1)=1. 所以a2≤1，结合a>0得0<a≤1，即a的取值范围为0,1]. .17分 法三（必要性探路）先考虑必要性：取x。得0≤子l,解得a≤1，所以0<as1 再验证充分性：当0<a≤1时，由lnu≤u-l(u>0)得ln(a)≤am-1, 而a-1-(x2-a)=-[(x-a}2+1-a2]s0,所以ln(a)sx2-am,即f(ax)≤gx)恒成立. 综上，a的取值范围为(0，】. .17分 所以国=+引 .5分 (2)(iD法一：记g0=升4sin40,则01=g0,且g《0=1+cos40>0,故80在R上单调递增. 汉g}号9号 所以当o[后号引时goe[后引由8[后引可知对任意e,海有[后引 …11分 若ae[引 则sin4以≤0，a1≤a≤，且a≥-5g 486 若8居引 则sin4≥0,41≥%≥2，且41≤+5g 483 故2[后引必有风1也在其中，结论成立。可知对任意e,都有Q[后引 ….11分 由0知8e[引且- 7+2c0s30.c0s0 法一（换元转化为二次函数）：2cos3os0-cos40+cos20,令-cos20, 「11 由2 智<246c7.即< 得 8< 4 故存在，名e传，且对任意nEN”有dc1<h,证毕. ….17分 法=（做罐）：由8[后周和[0]， 故-1<cos40,<-7-2<cos20<从而-<2cos30cos4=c0s48+eos2A<0, A 4 由1416知1，故3e传 且4n<A1<An对任意n成立. ….17分 高三数学参考答案第4页（共4页）高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔 填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处” 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干 净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答 题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.下列各组函数中，在区间（一受孕上都是增函数的为 A.y=sinx,y=tanx B.y=sinx,y=cosx C.y=cosx,y=tanx D.y=-sinx,y=-cosx 2.函数f(x)=xcosx的部分图象可能是 3. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,-b,c,若b=3,A=, 满足条件 6 的△ABC恰有两个，则a的一个可能值为 A.1 B.2 C.3 D.4 4. 要制作一个容积为4m3,高为1的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每 平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的总造价最低是 () A.240元 B.200元 C.160元 D.80元 5.已知非零向量a,方，则“a∥”是“a∥(a+b”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6. 已知函数f(x)= e,x>0, x+3,x≤0 对任意xeR,都有f()≤f(x+a),则正实数a的 最小值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 数学试卷（第1页，共4页） 7.若-<a+B<0,0--2cs月=3ma+2s血B= 3,则cos(a+3)=() A.6 B.6 C.3 6 3 2 D 8.已知2l0g2x-x=310gy-y=5log5z-z=-2,则x,y,2的大小关系不可能是 A.z<x<y B.x<y<z C.y<x<z D.x<z<y 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知单位向量a,b,c满足a+b+c=0,则下列选项中正确的有 () Aab=月 B.a-=5 C.aL(B-c) D.日-与万-的夹角为写 10.已知函数f(x)=x3-3ax+1,则下列选项中正确的有 () A.若a=0,则f(x)不存在极值点 B.若a=1,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3 aC若f(x)不存在极值点，则a=0 D.若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3，则a=1 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为三，且sinC=acos B+bcosA, 则下列选项中正确的有 () Ac号 B.a2+b2≥c2 C.当b取得最小值时，sinB+sin Bcos B=4 D.当cos Acos Bsin C= 时，△4BC的内切圆半径为3V5-5 10 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A=x艺+<0，B=xV2<2<5,则AnB=▲ x-1 数学试卷（第2页，共4页) 13.已知西数/=6m+引mx-到 将函数f(x)的图象向右平移p个单位长度(9>0) 得到函数g(x)的图象，若对任意x∈R,都有g(x)+g(π一x)=0,则p的值为▲ (写出满足条件的一个值即可) 14.定义在R上的函数∫(x)满足：对任意x,y∈R,f(x+y-)=f(x-1)+f(y)-1成立，且当 x>0时，)>1.若函数g)=ahx+是-)的最小值为1，则实数a的值为▲一 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上异于A,B的动点. (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA=AB=2,二面角B-PA-C的大小为牙，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 16.（本小题满分15分) 某校组织志愿服务队，现有师生共6人，其中男、女教师各1名，男、女学生各2名.现从 中选3人承担引导工作. (1)记所选3人中男学生的人数为X,求X的分布列和数学期望： (2)求在所选3人中恰有1名女性的条件下，至少有1名教师的概率. 数学试卷（第3页，共4页） 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，BC=8,AC=7,CA.CB=44. (1)求sinB的值： (2)点D,E满足：BD=BA(2>O),DE∥BC,BE平分∠ABC. ()若A=号，求CB, (i)当CE.DE取最小值时，求实数的值. 18.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=nx,g(x)=x2-ax,其中a∈R. (1)若曲线y=g(x)在原点处的切线也是曲线y=f(x)的切线，求a的值； (2)讨论函数h(x)=可(x)+g(x)-2x的单调性； (3)若不等式f(ax)≤g(x)对任意x∈(0，+o)成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 定义变换r:r[Asin(x+6]=A 7+2cos30cos 8 日s如x+0+in40,其中4>0： 已知f(x)=Asin(x+8),2(x)=r[f(x],f(x)=T[f(x)],…,f(x)=[fn(x】.记函数 fn(x)=4,sin(x+8n),其中An>0,9n∈[0,2元)，ne∈N°. (1)若4=1，日=平，直接写出)，6()的表达式： 2)若8e哈31， (D对于任意neN,判断Q.∈哈孕是否都成立，并说明理由： ()求证：存在常数不，∈(，)，使得对于任意meN,都有A,≤A≤名A 数学试卷（第4.页，共4页)