精品解析：江苏省南京外国语学校2026-2027学年高三上学期11月期中练习数学试题

南京外国语学校 2026—2027学年度第一学期高三年级期中练习 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】易知命题“，”的否定为“，”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，可得. 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：已知，，若，取特殊值，，满足，但，因此充分性不成立； 必要性：已知，，若，由基本不等式（，，当且仅当时等号成立）， 代入可得，当且仅当时等号成立，因此必要性成立； “”是“”的必要不充分条件. 4. 已知公差不为0的等差数列满足，若，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由得，化简得， 所以， 前项和：， 由得，化简得，且， 故. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线方程有意义，推出，得到范围，化简斜率，再由斜率范围结合正切图像求出倾斜角范围． 【详解】直线的方程为有意义， 需要存在，所以，即， 若，则，方程换为矛盾， 所以，即， 所以， 所以直线的斜率， 由，得，由，得， 所以． 6. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质证明，，，由此半径大小. 【详解】因为函数为增函数，， 所以， 所以，故， 因为函数为增函数，， 所以，故， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 故，即， 所以. 故选：D. 7. 如图，在中，点在的延长线上，点在线段上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算及向量的共线定理求解． 【详解】由，得， 则， 因为点在线段上，所以，得． 8. 是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数的运算性质易得时，进而根据偶函数的性质和函数在上的单调性，将不等式很成立问题转化对任意的恒成立，若，易于得出矛盾，在时利用不等式恒成立的意义不难求得的最大值. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，且当时，，单调递增， 所以当时，单调递减. 对任意的，， 所以由，得. 因为，，所以. ∵,由区间的定义可知, 若，于是,即， 由于的最大值为，故显然不可能恒成立； ,即,∴,即, 故的最大值为, 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数据，，，，的第百分位数是 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，，则 D. 已知，，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数计算、二项分布期望公式、独立事件和事件概率运算、条件概率与事件独立性的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，该组数据共个，计算第百分位数位置为， 所以第百分位数为，故A错误； 对于B，已知随机变量，，可得，解得，故B正确； 对于C，已知随机事件与相互独立，且，， 则， 根据和事件概率公式，故C错误； 对于D，已知，即， 因此，故D正确. 10. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2026项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，用递推公式求解； B选项，利用A选项求解； C选项，利用等差数列前项和公式求解； D选项，用裂项相消法求解. 【详解】A选项， ①， 时， ②， 得：，即：（）， 又 ，故 对一切成立，所以，所以A 选项正确； B选项，由A选项解析得：是首项为2，公差为1的等差数列，所以B选项正确； C选项，由等差数列前项和公式得：，得，，，而 ，所以C 选项错误； D选项，，前 2026 项和为 ，所以D 选项正确． 11. 棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 C. 当，时，经过点有且只有一条直线与直线和都相交 D. 当时，若二面角的平面角的正弦值为，则的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用法向量证明直线平行于平面法向量，进而由线面垂直直接推导出面面垂直;对于B，利用截面与球心连线垂直时面积最小的几何性质，结合勾股定理即可求得截面面；积最小值；对于 C：通过设交点并联立共线条件解方程组，证明存在唯一的交点，从而证明有且仅有一条这样的直线，结论正确；对于D：将二面角正弦值代法向量公式化简后得到关于的方程，发现该方程有两个解，结论错误. 【详解】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，，设平面的法向量为， 则，令，则，即，， 即与平面的法向量平行，则平面，因为平面， 所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足，， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故B错误. 选项C,当，时，，设所求直线与直线交于点， 与直线交于点， 则 ，，设 则，解得唯一解，即交点都落在，对应直线为， 因此经过点满足条件的直线存在且仅存在一条，选项C正确. 当时，，点在线段上，故. 又，，设平面的法向量， 则，令,则， 故平面的法向量，平面（即平面）的法向量. 二面角的平面角的大小为，则，故， 即，所以， 故或，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于随机变量服从正态分布，，故， 故， 故答案为： 13. 已知与垂直，且与垂直，则____________ 【答案】 或 【解析】 【分析】根据向量垂直化简数量积，由两式可得且，再由向量夹角公式求解即可. 【详解】由题意，得， ， 两式相减得：，则， 代入上面两个式子中的任意一个，得， 则， 又，所以. 14. 设方程的三个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将条件转化为与有三个交点，再根据反函数的性质得到，进而代入求解即可． 【详解】因为，所以， 因为，故与有三个交点， 显然与互为反函数，则它们的交点要么落在直线上，要么成对出现， 所以设三个交点分别为，对应的横坐标依然为，其中在直线上， 显然时，，此时对应的点在下方， 时，，此时对应的点在上方， 故，故． 四、解答题：本小题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复数列中，. （1）求的虚部； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出复数，再求出的虚部. （2）先求出数列的通项公式，然后利用等比数列的前项和公式求和. 【小问1详解】 由题意可得，， 故其虚部为. 【小问2详解】 设，则 ， 因为，所以， 所以， ，，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. 16. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布，不低于的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱件包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于的为“一等品”，其余的为“二等品”． （1）在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱合格产品中任取件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的对称性得，结合已知合格率通过条件概率公式计算结果； （2）判断服从二项分布，由二项分布的概率公式计算概率及分布列，再用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 由，可知正态分布曲线关于直线对称，因此. 又因为不低于的产品视为合格品，且合格率为， 所以产品合格率，故，即. 设事件为“任取件产品为合格品”，事件为“任取件产品为一等品”，所求事件的概率为条件概率. 因为，，由条件概率公式： ， 因此在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，该产品是“一等品”的概率为. 【小问2详解】 从合格产品中任取件为一等品的概率为，从件产品中任取件可看成次独立重复试验， 因此，的所有可能取值为， 所以， ，， ，， 所以的分布列如下： 由二项分布期望公式，. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接，，， 为的中点， ，， 又为的中点，在正方形中，，， ，，四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，证线线平行，得到线面平行， （2）求平面法向量，利用线面角向量公式计算正弦值， （3）求出两个平面的法向量，用二面角向量公式求夹角余弦. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点、为轴、为轴、为轴建立直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由（2）可得：，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设两平面夹角为， 则. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点. （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值. 【答案】（1）； （2）；最小值为. 【解析】 【分析】（1）代入的坐标即可求抛物线表达式； （2）求出点坐标，得到直线方程，则点到直线的距离为的高，利用的面积取得最大值时，高也是最大值，即可求出点的坐标，再将转换成点到直线的距离，再利用几何关系，三点共线时距离和最小，即可求的最小值. 【小问1详解】 因为抛物线过点，所以. 将代入解析式，得，则. 所以抛物线表达式为. 【小问2详解】 令，则，解得，则. 所以. 因为，所以，则直线方程为. 联立直线与抛物线得，解得或. 所以. 直线方程，设，. 点到直线的距离为 因为，所以，所以. 所以. 因为为定值，所以最大，只需取得最大值. ， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 此时，即. 过作直线，即，它与轴的夹角为. 所以点到直线的距离为. 所以. 当与到的垂足三点共线，且该直线垂直于时，上式取得最小值，最小值等于点到直线的距离为. 取最小值时，过作的垂线，其斜率为，方程为. 令，解得，即. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线经过点， 证明: 当时， ; （2）记，不等式对恒成立. （i）求整数的最大值； （ii）证明: 对 ，且，有 【答案】（1）证明：因为，所以切点为， 又因为， 所以函数在点的切线斜率为， 又因为切线过点， 所以切线的斜率， 所以， 解得， 所以， 则， 令，， 则， 因为、在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，证毕. （2）（i）2； （ii）证明:令， 则 ， 又因为，， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 两式相加，得，证毕. 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义，求得，从而得，利用导数确定函数在上单调性，即可得证； （2）（i）由题意可得时，不等式仍成立，由此可得，然后再验证时，不等式仍成立，即可得答案; （ii）令，利用导数确定在上单调递减，从而可得，代入后两相加，即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由题意可得时，不等式仍成立， 即， 所以， 又因为为整数，所以， 当时，由（1）可知在上恒成立， 即在上恒成立， 所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 即当时，恒成立， 所以整数的最大值为； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校 2026—2027学年度第一学期高三年级期中练习 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知公差不为0的等差数列满足，若，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在的延长线上，点在线段上，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数据，，，，的第百分位数是 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，，则 D. 已知，，若，则 10. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2026项和为 11. 棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 C. 当，时，经过点有且只有一条直线与直线和都相交 D. 当时，若二面角的平面角的正弦值为，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 13. 已知与垂直，且与垂直，则____________ 14. 设方程的三个根为，则________． 四、解答题：本小题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复数列中，. （1）求的虚部； （2）求数列的前项和. 16. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布，不低于的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱件包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于的为“一等品”，其余的为“二等品”． （1）在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱合格产品中任取件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点. （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线经过点， 证明: 当时， ; （2）记，不等式对恒成立. （i）求整数的最大值； （ii）证明: 对 ，且，有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $