江苏省南京市中华中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

南京市中华中学 2026—2027 学年第一学期期中考试高一数学 高一数学　参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C C C A D 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 ACD ABC ACD 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） （12） （13） （14） 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）解：（1）由 得 ，由 得 ； 3 分 所以 ，； 6 分 （2），； 9 分 所以 ． 13 分 16．（15 分）解：（1）由 得 ，又 ， 3 分 所以 ，即 ，得 ； 5 分 所以 （， 时取等号），即 的最大值为 ； 7 分 （2）由 得 ， 10 分 所以 （ 取等号）； 13 分 故 的最小值为 ． 15 分 17．（15 分）解：（1）当 时，； 4 分 当 时，； 7 分 （2）当 时，，故 时 ； 9 分 当 时，（ 时取等号），即 ； 12 分 因为 ，所以年产量为 台时利润最大，最大利润为 万元． 15 分 18．（17 分）解：（1） 为偶函数， 为奇函数，故 ，； 2 分 用 代替 得 ，解得 ，； 5 分 （2） 即 恒成立，所以 ，得 ； 9 分 （3）不等式即 ，即 ； 11 分 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； 14 分 当 时，解集为 ． 17 分 19．（17 分）解：（1）取 ， 在 上单调递增， 3 分 且 ，，故其值域为 ，即存在“完美区间”； 6 分 （2）设“2 倍美好区间”为 ，则 ，值域为 ，而 在 上递减， 8 分 所以 ，，两式相减得 ； 10 分 代回得 ，结合 解得 ，； 11 分 （3）存在．由 得 ，且 在 上递减、在 上递增（图象如图）； 13 分 ①若 ，由 ， 相减得 ，与 ， 矛盾； 14 分 ②若 ，则 ， 是 的两根， 且两根都在 内， 15 分 得 ，，且 ； 16 分 又 ，由 得 ． 17 分 高一数学（参考答案）　第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学 2026—2027 学年第一学期期中考试高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．设集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 或 2．已知 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 或 4．函数 的图象是（　　） A． B． C． D． 5．如果 ，那么下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 的值域为 R，那么实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于 的不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，集合 中的元素恰有 2 个整数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．给出以下四个判断，其中正确的是（　　） A． 的定义域为 B．函数 与 是同一函数 C．若函 数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 D．若函数 是一次函数，且满足 ，则 或 10．设 ，则下列说法正确的有（　　） A． 的图象关于 轴对称 B．（） C． 的值域为 D． 在 上单调递增 11．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数．如：，． 又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（　　） A．， B．， C．函数 的值域为 D．不等式 的解集为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．______． 13．当 时，函数 的最小值为______． 14．若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知集合 ，，． （1）求 ，； （2）记全集 ，求 ． 16．（15 分）已知 ， 为正实数，且 ． （1）求 的最大值； （2）求 的最小值． 17．（15 分）某公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为 400 万元，最大产能为 100 台．每生产 台，需另投入成本 万元， （） 由市场调研知，该产品每台的售价为 200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （台）的函数解析式（利润 销售收入 成本）； （2）当该产品的年产量为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（17 分）已知偶函数 和奇函数 的定义域均为 R，且 ． （1）求函数 和 的解析式； （2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （3）解关于 的不等式：． 19．（17 分）对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，使得函数 在 时，值域是 ，则称 为 的“ 倍美好区间”．特别地，若函数 在 时值域是 ，则称 为 的“完美区间”． （1）证明：函数 在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数 在 内存在“2 倍美好区间”，求出实数 ， 的值； （3）是否存在实数 ，（），使得函数 （）在区间 上单调，且 为 的“ 倍美好区间”，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 高一数学　第 5 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $