精品解析：广东东莞市 部分校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年八年级第一学期期中教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 以下是四款常用人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，画出的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下三条线段能构成三角形的是（ ） A. 4，7，6 B. 1，5，3 C. 2，2，4 D. 9，5，3 4. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小红先画出了，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件能判定为直角三角形的是（ ） ， ， ， ． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（ ）． A. 18 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 12. 如图，，再添加条件_________就可以判定． 13. 中，D，E分别是，的中点，的面积是4，则阴影部分的面积是______． 14. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 15. 如图，在中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分．） 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）写出点关于x轴对称的点的坐标____________ ； （3）求的面积． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 18. 证明题 （1）如图1，和相交于点，，，求证：； （2）如图2，，，，求证：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．） 19. 如图，在中，，，，，点D是上的点，于点E，且，连接． （1）求； （2）求的长． 20. 如图，在中，是的平分线，是的外角的平分线． （1）若，求的度数； （2）请写出和的数量关系并证明． 21. 【模型探究】 （1）如图1，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； 【模型运用】 （2）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，求秋千悬挂处O与地面的距离的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分．） 22. 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ （1）【解决问题】若的面积为6，______，______． （2）【解决问题】求的值． （3）【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 23. 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题： （1）如图①，已知在中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合）连接，以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，连接，请探索线段，，之间的数量关系． （2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论： ①如图②，当点在线段的延长线上时，三条线段，，之间的数量关系是________________________． ②如图③，当点在线段的延长线上时，三条线段，，之间的数量关系是_________________________． （3）如图④，当点在线段的延长线上时，若，线段的中点为，连接，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八年级第一学期期中教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 以下是四款常用人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列四个图形中，画出的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义，边上的高需过顶点C且垂直于所在直线． 【详解】解：根据三角形高的定义，的边上的高，应是过顶点C向边所在的直线作垂线段． A、过点A作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； B、不符合三角形高的定义，故此选项不符合题意； C、过点B作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； D、过点C作延长线的垂线，是边上的高，此选项符合题意，故此选项符合． 3. 以下三条线段能构成三角形的是（ ） A. 4，7，6 B. 1，5，3 C. 2，2，4 D. 9，5，3 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，能构成三角形； B、，不能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形． 4. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小红先画出了，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小红第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ． 5. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 6. 下列条件能判定为直角三角形的是（ ） ， ， ， ． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（ ）． A. 18 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 8. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 【详解】解：设等腰三角形中，，作腰上的高，垂足为D， 则，． ∵与的夹角为，即， ∴在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上，， ∴底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上，， ∴， ∴底角． 综上，底角为或， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是． 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即可判断结论①；再根据全等三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，，再根据面积之间的数量关系，得出，即可判断结论③；再根据三角形两边之和大于第三边，得出，再根据等量代换，得出，即可判断结论④，综合即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴，故结论④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③，共有个． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，解本题的关键在找准证明三角形全等的条件． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】右边图中是、两条边的夹角，在左边图中找到、两条边的夹角，即可得到∠的度数． 【详解】解：是、两条边的夹角， 在左边图中找到、两条边的夹角，其大小为， ∴． 12. 如图，，再添加条件_________就可以判定． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法添加合适的条件并证明即可． 【详解】解：添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴． 13. 中，D，E分别是，的中点，的面积是4，则阴影部分的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查利用三角形中线求面积，三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，据此求解． 【详解】解：中， D，E分别是，的中点， ，， ， 即阴影部分的面积是1． 故答案为：1． 14. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 【答案】62 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 15. 如图，在中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】设点、的运动时间为，分别表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②、是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，，点为的中点， ，， 设点、的运动时间为， ， ， 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ， ， ， ． 故点的运动速度为． 所以，点的运动速度为或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分．） 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）写出点关于x轴对称的点的坐标____________ ； （3）求的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象得点的坐标为 ∴点关于x轴对称的点的坐标为； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图即可； （2）先求出，再得出，进而可得，然后求出的度数，根据角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 18. 证明题 （1）如图1，和相交于点，，，求证：； （2）如图2，，，，求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用ASA即可证明； （2）利用SSS可证明，得到，利用同位角相等，两直线平行，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．） 19. 如图，在中，，，，，点D是上的点，于点E，且，连接． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1） （2）的长为3 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，是的平分线，是的外角的平分线． （1）若，求的度数； （2）请写出和的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）解：， 证明如下： ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴ 即：． 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的定义可以得到，，再利用三角形外角定理可以得到，，即：，从而得到的度数； （2）先利用角平分线的定义可以得到，，再利用三角形外角定理可以得到，，即：，从而得到和的数量关系． 【小问1详解】 解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴ 即： ∴； 【小问2详解】 略 21. 【模型探究】 （1）如图1，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； 【模型运用】 （2）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，求秋千悬挂处O与地面的距离的值． 【答案】（1）解：，理由如下： ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ； （2）秋千悬挂处O与地面的距离的值为． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作交于，作交于，则， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 即，则， ， ，则， ， ， ， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分．） 22. 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ （1）【解决问题】若的面积为6，______，______． （2）【解决问题】求的值． （3）【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）3；6 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 【小问3详解】 解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 23. 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题： （1）如图①，已知在中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合）连接，以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，连接，请探索线段，，之间的数量关系． （2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论： ①如图②，当点在线段的延长线上时，三条线段，，之间的数量关系是________________________． ②如图③，当点在线段的延长线上时，三条线段，，之间的数量关系是_________________________． （3）如图④，当点在线段的延长线上时，若，线段的中点为，连接，求的长度． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）先由和都等于推出等于，结合、证明和全等，得到，再根据，得出． （2）①先证明和全等得到，结合，得到；②先证明和全等得到，结合，得到． （3）先证明和全等，得到，算出，进而求出，确定是直角三角形，利用直角三角形斜边中线性质得到等于二分之一，在等腰直角中由算出，最后求出． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， ∴， 即， 是由旋转得到， ， 则在和中， 【小问2详解】 解：①， ， ，即， 由旋转得 ，又 ， ， ， ，也就是 ，变形得到 ． ②， ， ，即． 由旋转得 ，又 ， ， ， ，也就是，变形得到． 【小问3详解】 解：，， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， 又， ． 是直角三角形． ∵线段的中点为点， ， 在中，， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $