精品解析：广东省广州市真光中学2026-2027学年高一上学期11月期中测试数学试题

广州市真光中学2026学年第一学期期中测试 高一 数学试题 限时120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由自然数集是非负整数构成的集合即可求解. 【详解】因为集合，所以. 则的元素的个数为4. 2. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1或0 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，及集合中的元素的特性列式求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，又因为集合中的元素互不相同，故， 综上：. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得，则或. 函数的定义域为. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于AB，取，满足，而，AB错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，取，则，D错误. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单调性法及中间值法比较大小即可. 【详解】函数为增函数，， 所以，所以， 函数为减函数，，所以，即 所以. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除AB；再分析时函数值可得. 【详解】的定义域为，又， 所以函数为偶函数，故A、B错误； 当时，，故C错误，D正确. 故选：D. 7. 某高中对100名学生进行社团参与情况调查，发现每名学生至少参加了篮球社、动漫社、辩论社这三个社团中的一个.数据显示，参加篮球社的有55人，参加动漫社的有40人，参加辩论社的有45人；篮球社和动漫社都参加的有15人；篮球社和辩论社都参加的有20人；三个社团都参加的有8人，则动漫社和辩论社都参加的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设参加篮球社、动漫社、辩论社的学生集合分别为A，B，C， 则，，，， ，，， 由， 得，解得， 所以动漫社和辩论社都参加的人数为13. 8. 已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 的一个充分不必要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.恒成立，所以，正确； B.得或，没有负数解，错误； C.能推出，但推不出，所以的一个充分不必要条件是，正确； D.能推出，但推不出，如，但，所以“”是“”的充分不必要条件，正确. 10. 若为正实数，已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式判断；B选项，算式平方后由基本不等式判断；C选项，由1的妙用结合基本不等式可判断；D选项，展开之后由完全平方式可判断； 【详解】对于A选项，因为为正实数，，则， 当且仅当时取等号，的最大值为4，故A选项正确； 对于B选项，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； 对于C选项，由， 则， 当且仅当，即时取等号，故C选项错误； 对于D选项，因为 ， 当且，即或时，取最小值16，故D选项正确. 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 不一定是单调函数 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由两个特殊值求出与，再结合单调性和取整后的对称性判断B、C，最后构造反例判断D. 【详解】在等式中令，得，所以. 对于A，令，则，，所以，A正确. 对于B，令，则且. 因为在上单调递增，所以. 由取整的定义，负数取整后所得的整数至多为负一. 再由取整后的对称性，得. 因此，排除单调递减.又，排除单调递增. 所以在实数集上既不单调递增，也不单调递减，B正确. 对于C，当时，，由单调性得. 由取整的定义，，又，所以，C正确. 对于D，构造函数如下.当且时，令， 当时，令，其余情形令. 对任意整数，都有，故对任意实数成立.在上，，单调递增. 当且时，.又，，两者取整均为， 故对任意实数成立. 取，则为整数，但，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数为偶函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数与偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，是奇函数，不符合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 综上，. 13. 用一段长的篱笆，靠墙围成一个矩形菜圃（靠墙一侧不需围篱笆），则菜圃面积最大值是_________． 【答案】50 【解析】 【详解】 设矩形菜圃的宽为，面积为，则长为. ，解得； ，则，； ，当且仅当，即时等号成立； 的最大值为. 14. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合一次函数与指数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数是上的单调增函数， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入得到集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由必要条件转化得到，分为空集、不是空集两类列不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以，， 所以. 【小问2详解】 “是的必要条件”等价于， 当时，，解得，此时显然有； 当时，有，则需，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） 函数是增函数，证明如下： 任取，不妨设 ， 则， 因为，可得， 又因为，所以，即， 所以函数是上的增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据函数奇偶性的定义和判定方法，得到函数为奇函数，根据题意，把不等式转化为，再结合函数的单调性，得到恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数，其定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 则，即为， 因为函数是上的单调增函数，所以， 即恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． （2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），540元 【解析】 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【小问1详解】 由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 18. 已知函数是上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）证明：当时，方程有两个不同的根，并求两根差值的取值范围； （3）经研究发现，函数在单调递增．现设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）由得,整理得， 设，其判别式， 因为，所以，即， 因此，方程在实数集上恒有两个不相等的实数根，即为， 由韦达定理得，， 因为，且，则， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再代入解出，最后检验奇函数即可； （2）整理方程得到二次式，由判别式判断两不等实根，借助韦达定理把根表示为，结合的范围即可求出的取值范围； （3）先根据题意转化为存在使成立，构造函数，结合对称轴，按正负与判别式分类讨论，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 故，即，又，即， 此时，经检验，该函数为奇函数， 故，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知在上单调递增，则， 若对任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 故，， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为，符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 故，即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 取，则，显然不存在，使得， 故不是“依赖函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）套用题中“依赖函数”的定义，取，则，显然不存在，使得. （2）由在上单调递增，所以，解得，，变成单一变量，根据，求解取值范围. （3）对进行讨论，若，此时不存在，舍去. 若利用“依赖函数”求解得，代入式子，转化为恒成立问题即对恒成立，，参变分离，利用在上单调递减，求解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上单调递增， 故，即，解得， 由，故，解得， 从而，又函数在上单调递增， 所以，即. 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，即，解得（舍）或， 从而存在使得对任意的，有不等式都成立， 即对恒成立. 由，得． 由，可得， 又在上单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2026学年第一学期期中测试 高一 数学试题 限时120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 16 2. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1或0 B. 2 C. 0 D. 1 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 某高中对100名学生进行社团参与情况调查，发现每名学生至少参加了篮球社、动漫社、辩论社这三个社团中的一个.数据显示，参加篮球社的有55人，参加动漫社的有40人，参加辩论社的有45人；篮球社和动漫社都参加的有15人；篮球社和辩论社都参加的有20人；三个社团都参加的有8人，则动漫社和辩论社都参加的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 8. 已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 的一个充分不必要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 若为正实数，已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 不一定是单调函数 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数为偶函数，则__________． 13. 用一段长的篱笆，靠墙围成一个矩形菜圃（靠墙一侧不需围篱笆），则菜圃面积最大值是_________． 14. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若恒成立，求实数k的取值范围. 17. 某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． （2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）证明：当时，方程有两个不同的根，并求两根差值的取值范围； （3）经研究发现，函数在单调递增．现设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $