精品解析：甘肃兰州市贺阳教育校区联考2026-2027学年高三上学期11月期中数学试卷

贺阳教育兰州校区2026-2027学年第一学期 高三年级期中考试数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ） A. （﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B. [﹣3，3] C. （﹣∞，﹣3]∪[0，3] D. [﹣3，0]∪[3，+∞） 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 函数的最大值为_______． 14. 若，，且，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 16. 在中，，，． （1）求，的长； （2）求的值． 17. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺阳教育兰州校区2026-2027学年第一学期 高三年级期中考试数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解绝对值不等式求得集合， 则. 2. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 3. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 4. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式对恒成立所满足的条件，再寻找一个集合，使它包含即可 【详解】对恒成立，则，解得：，要想找到一个必要不充分条件，只需找到一个集合，使得是它的子集，显然C选项符合. 故选：C 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 6. 先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】遵循三角函数图象变换的“左加右减”平移规则和横坐标伸缩变换规则得到的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式由求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 8. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ） A. （﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B. [﹣3，3] C. （﹣∞，﹣3]∪[0，3] D. [﹣3，0]∪[3，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】依题可设，（x＞0），由其导数可知在上为增函数，又由f（3）＝0可得g（3）＝0，分析可得g（x）的符号，进而分析f（x）在（0，+∞）上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，（x＞0），则其导数， 而当x＞0时，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数， 又由f（3）＝0，则0，所以区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，， 且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0， 综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）． 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数， 且幂函数在上是减函数，故A正确； B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数， 且，则其在上单调递减，故B正确； C选项中，设，其定义域为，则， 故是偶函数，且函数在上单调递减, 函数在定义域上为增函数， 所以在 上单调递减,故C正确； D选项中，设，是， 且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式计算判断A；运用糖水不等式判断B；举例判断C；作差法比较判断D. 【详解】对于选项A，当时，. ∵，当且仅当时，取等号，∴，故A正确. 对于选项B，∵且，由糖水原理可知，故B错误； 对于选项C，当时，结论不成立，故C错误； 对于选项D，，即，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式与同角的三角函数关系式建立齐次式，化弦为切即可. 【详解】. 故答案为： 13. 函数的最大值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查换元法求函数最值，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围，属于基础题型. 14. 若，，且，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先利用“1”的变换，转化为，利用基本不等式求最值. 【详解】 ， 当，，即时，等号成立 ，时，等号成立， 即的最小值是2，那么的最小值是3. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式求最值，本题的关键是利用“1”的妙用，转化为先求的最小值，即可求的最小值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴不等式的解集为R 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 16. 在中，，，． （1）求，的长； （2）求的值． 【答案】（1）.（2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得.（2）由正弦定理可得，由平方关系可得，，代入. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 设，因为，所以， 因为，， 所以， 解得， 所以. （2）因为，，，所以． 中，由正弦定理，得，所以， 因为，所以为锐角，所以， 所以 ． 【点睛】考查三角函数的正余弦定理，同角的平方关系，两角差的正弦. 17. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期 ，单调递增区间为 ； （2）值域为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． 【小问2详解】 当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围. 【答案】（1）的极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，据此可得函数极值； （2）转化为方程在上有两个不相等的根，列出不等式组求解. 【小问1详解】 . 当时，，为减函数；当和时，，为增函数. 故函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，可知， 又由题意知函数的定义域为， 故方程在上有两个不相等的根， 因为图象的对称轴， 则需，解得. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】（1）①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 【解析】 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【小问1详解】 （1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $