陕西省西安市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期西安市第一中学高三期中质量检测数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．测试范围：数列解三角形与三角函数集合与逻辑用语不等式函数与导数概率 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知：，：，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上存在最大值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A．当时， B． C．函数有4个零点 D．的图象关于直线对称 4．如图，当光线从介质射入介质时，光线会发生折射，入射光线与法线的夹角为入射角，折射光线与法线的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质和介质固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为时，折射角为，其中，若将入射角变为，设此时的折射角为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 6．表示不大于的最大整数，如：，，．已知实数，满足，若关于的不等式的解集中有且仅有5个数，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 7．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 8．若集合，中至少有2个元素，且，满足：①对于任意的，，若，则；②对于任意的，，若，则．若有3个元素，则可能有（ ） A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列满足，且，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A． B．数列单调递增 C． D． 10．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前项和为 11．如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则（ ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，．________；若，，则的面积________． 13．已知，动点满足，当、、不共线时，三角形面积的最大值为________． 14．已知数列满足，，其中为函数在上的极值点，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15．在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份（）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式（，，），且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同．（13分） （1）求的解析式； （2）将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”；（3）为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 16．小陈进行射击练习，他射击次，每次射击的命中率均为，且每次射击命中与否相互独立．（15分） （1）设，，求小陈命中次数的数学期望与方差． （2）设，当在上变化时，小陈恰好命中2次的概率记为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）比较与的大小． 17．为庆祝“十一”国庆节，某校举办“十一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图：（15分） （1）估计评分在区间的节目频数； （2）若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 18．已知为坐标原点，，．（17分） （1）求证：； （2）若为的重心，其中，，，，，求的面积． 19．已知数列的前项和为．且，．（17分） （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B B D B C B BCD ABD ACD 12．或 13． 14．4 15．（1）由题意可知，周期，故， 因为，所以是函数的一条对称轴，此时函数取得最大值， 故； 又与相差半个周期，所以时取得最小值， ； 联立解得，． （3分） 此时，得， 所以，即， 因为，得， 故（）； （6分） （2）由题意令，即， 化简得，所以， 解得， （9分） 因为，当时，，即，，，，，共5个月， 所以一年内共有5个“用电高峰月”． （11分） （3）要使恰有3个整数解，结合函数对称性，这3个解必为，，， 计算得： ，，， 因此需满足且，即， 所以的取值范围是． （13分） 16．（1）设射击命中次数为随机变量，由题意知服从参数为，的二项分布，即， 已知，，， ． （4分） （2）（ⅰ）时，恰好命中2次的概率由二项分布概率公式得： ； （7分） （ⅱ）对求导得， 令，解得或或， （9分） 又，解得， （11分） 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； （13分） 故时，取得最大值：， 故，当且仅当时等号成立． （15分） 17．（1）因为评分为的节目的频率为，所以评分在的节目频数为； （3分） （2）（ⅰ）因为评分在的节目的频数为6，所以， 所以，， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，所以的极大值点为； （7分） （ⅱ）设获得一等奖的节目数为随机变量，总奖金为， 易知，所以， （9分） 设二等奖奖金为元，则， （11分） 所以，解得， （13分） 所以二等奖奖金的最大值为100元． （15分） 18．（1）因为，，所以，． 设，的夹角为，则， （4分） 可得． （7分） 所以． （9分） （2）取的中点，因为为的重心， 所以，所以． 因为，，， （11分） 所以，所以， （13分） 所以，解得． （15分） 所以，所以， 同理，所以． （17分） 19．（1）当时，可得：； （3分） 当时，，，两式相减，得：，即， 所以：． （7分） （2）当时，； （9分） 当时，，所以， （11分） 所以： （14分） 时，，上式也成立． （16分） 所以：，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $