精品解析：重庆市梁平区梁山集团校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋梁山初中教共体 九年级数学期中考试卷 满分150分　考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 许多国漫佳作在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面的纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A. 只含有一个未知数，并且是未知数的最高次数2的整式方程，是一元二次方程，符合题意，故正确． B. 有两个未知数，不符合题意，故错误． C. 不是整式方程，不符合题意，故错误． D. 有两个未知数，不符合题意，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 4. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 5. 将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线平移的可逆性，将新抛物线反向平移即可求得原抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得， 将向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得原抛物线， 向右平移3个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为． 6. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，随的增大而增大 D. 若点， 都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，其中，根据的符号判断图象所在象限、点的位置、增减性及比较函数值即可． 【详解】解：A．∵， ∴图象在第一、三象限，故A正确； B．当时，，故点在图象上，故B正确； C．当时，随的增大而减小，故C不正确； D．，， ∴，故D正确． 故选：C． 7. 已知点关于原点的对称点为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 8. 用配方法解方程时，配方正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（ ） A. B. C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数值的几何意义，根据点，关于原点对称，的面积为，则，再利用求解即可． 【详解】解：∵点B，C关于原点对称，的面积为6， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向、和轴交点位置、对称轴为直线可判断①、②，由抛物线开口方向、对称轴位置，可判断③，由抛物线的图象、经过及抛物线的对称性可判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线和轴交点在负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵时， ∴两点都在顶点以及对称轴的右侧部分，随的增大而增大， ∴，故③正确； 不等式，即抛物线在轴及上方时，的取值范围， ∵对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线和轴的另一个交点横坐标， ∴不等式的解集是或，故④错误． 综上所述，错误的只有④， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 12. 已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴． 13. 若点（2，3）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝______． 【答案】 【解析】 【分析】把点（2，3）代入反比例函数，解方程求解即可． 【详解】解：把点（2，3）代入反比例函数得， ，解得，； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式． 14. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，点B对应点E，点C对应点D．若点D在线段上，且，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等． 根据旋转变换的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可． 【详解】绕点A顺时针旋转至， ，， ． 故答案为：． 15. 今年 7 月某市新能源汽车总销售额约为 35 亿元，经过各经销商的大力推广，今年 9 月该市新能源汽车总销售额为 亿元，那么该市今年这两月新能源汽车销售额的月平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．找到正确的等量关系并列出方程是解题的关键． 设月平均增长率为 ，根据增长问题模型，由7月到9月经过2个月，列出方程 ，解方程即可． 【详解】设月平均增长率为 ， 则 ， ， （取正值）， ． 故答案为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D在反比例函数的图象上，边轴，交x轴于点E，顶点C在第四象限，顶点B在x轴的正半轴上，若点A的纵坐标为5，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出的长度是本题的关键. 作于， 根据勾股定理求得，设，则，根据反比例函数系数得到 ， 解得的值, 即可求得的值. 【详解】作于， ∵四边形是菱形，轴， ∴轴，， 设，则， ∴， ， ， 解得， ∴， 设， 则， ∵菱形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，17、18题各8分，其余每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）将方程左边因式分解为，再求解； （2）将方程两边因式分解，再分情况求解即可． 【小问1详解】 解： 解得， 【小问2详解】 当时，解得， 当时，即 解得 所以方程的解为，． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【小问1详解】 解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 20. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【小问1详解】 解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为； 因为一次函数的图象过点， 所以，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立得， 解得或， 经检验，或都是原方程的解， 当时，， 所以点的坐标为， 当时，， 所以点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 21. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）4元 （2）售价为70元时，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， 【小问2详解】 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 22. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 23. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象是轴对称图形，对称轴是直线  （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，当时，点E在上，证明，得出，求出，则可求出函数关系式，当时，点E在上，同理可得，求出和可得出答案； （2）由题意先列表，再描点画出图象，写出函数的性质即可； （3）求解当时的值，再结合图象可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点E在上， ∵， ∴， ∴； 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，点E在上， 如图， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 当时， 或， 解得：或， 当线段和线段的长度和不大于7时，即时， ∴或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；直线的解析式为 （2）的最大值为；点的坐标为； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：或， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：或， 综上所述，点的坐标为或或或． 25. 在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，，，求的长． 【初步探究】 （1）将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，求的长； 【理解应用】 （2）如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （3）如图③，，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，，求线段的长． 【答案】（1）的长为； （2）解：， 理由如下：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ，即， ； （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将 绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， 点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋梁山初中教共体 九年级数学期中考试卷 满分150分　考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 许多国漫佳作在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面的纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，随的增大而增大 D. 若点， 都在反比例函数的图象上，则 7. 已知点关于原点的对称点为( ) A. B. C. D. 8. 用配方法解方程时，配方正确的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（ ） A. B. C. 9 D. 12 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 13. 若点（2，3）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝______． 14. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，点B对应点E，点C对应点D．若点D在线段上，且，则的度数为__________． 15. 今年 7 月某市新能源汽车总销售额约为 35 亿元，经过各经销商的大力推广，今年 9 月该市新能源汽车总销售额为 亿元，那么该市今年这两月新能源汽车销售额的月平均增长率为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D在反比例函数的图象上，边轴，交x轴于点E，顶点C在第四象限，顶点B在x轴的正半轴上，若点A的纵坐标为5，，则k的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，17、18题各8分，其余每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 20. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 21. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 23. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 25. 在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，，，求的长． 【初步探究】 （1）将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，求的长； 【理解应用】 （2）如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （3）如图③，，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $