精品解析：山东省烟台市栖霞一中2026-2027学年高一上学期期中检测（1）数学试题

2026-2027学年高一年级上学期期中检测（1） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定结构求解即可. 【详解】命题，，否定为，， 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负以及分母不为零列式即可. 【详解】 定义域为 故选:D. 【点睛】考查函数的定义域，常用到偶次根式被开方数非负、分母不为零、零次幂底数不为零、真数大于零等知识. 4. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知,集合中一定有1,2两个元素,且中最少三个元素,从而可求得满足题意的集合． 【详解】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 5. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式得到，再由充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】等价于， 即，即， 解得， 结合选项，所以“”成立的一个充分不必要条件是， 故选：B 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 8. 已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式性质判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为，所以，所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 取，则，故C错误； 取，则，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的图象关于对称 C. 的单调递增区间为和 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数及函数图象的平移可判断B，由函数的对称性及当时，可得函数最小值判断A，由二次函数的单调性及函数图象的对称性求单调增区间判断C，根据对勾函数的单调性判断D. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称，故B错误； 当时，，由函数的对称性知的最小值为，故A正确； 当时，，单调递增区间为，递减区间为，由对称性可知，当时，单调递增区间为，所以的单调递增区间为和，故C正确； 当时，根据对勾函数性质，为增函数，最小值在处取得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数，则（ ） A. “”是“恒成立”的充要条件 B. 当，时，的最大值为 C. 当时，若，则 D. 对，，都存在使得成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过特殊值可判断，对于B，由二次函数单调性可判断；对于C，不等式转换成即可判断，对于D，设为的最大值， ，，，得到 ， 即可判断. 【详解】对于A，当时，在上恒成立，不满足，故不是充要条件，A错； 对于B，当，时，， 在单调递减，在单调递增， ， 所以最大，最大值为，B对， 对于C，当时，若， 即， 即，， 由，当时，得最大值1， 由，当时，得最小值3， 所以，正确， 对于D，设为的最大值，由题意可知， 其中， 所以， 同理，， 可得：， ， 所以， 即，当时，的最大值为， 所以，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析式即可． 【详解】是偶函数，当时，， 则时，， ， 所以时，， 故答案为：． 13. 已知均为实数且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 14. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合图象平移可得的零点及符号，即可求解不等式的解集. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，， 所以在上单调递增，且，， 所以当时，， 当时，， 当时， 由原不等式可得时；时； 求得的解集为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集． （1）当时，求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，再由集合的交集、并集、补集运算求解； （2）根据集合的包含关系，建立不等式求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以，， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 若，则或， 解得或， 所以的取值范围. 16. 已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的解析式，代入，计算求解； （2）将代入，得到，按照 ，，三种情况讨论求解. 【小问1详解】 （1）设， ， 即， ； 【小问2详解】 （2）． ①当时，， ②当时，， ③当时，． 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． （1）请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； （2）求证：． 【答案】（1） 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. （2） 由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【解析】 【分析】（1）由题意写出不等式，作差可证明； （2）由（1）可得不等式，由不等式性质即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； （3）对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【答案】（1） （2），在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给充要条件，利用为奇函数求解即可； （2）由（1）所求，带入得解，由作差法证明单调性即可； （3）转化为有关的不等式，利用的单调性、奇偶性化简可得对成立，分离参数，换元后求二次函数的最小值得解. 【小问1详解】 , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. 【小问2详解】 由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 19. 已知函数是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增， 证明如下：任取，，且， 则， ，且， ，， ∴，，即， 函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式； （2）根据题意，利用定义法，可判断并证明函数在上的单调递增； （3）由对任意的，都有恒成立，可得，分、、、四种情况求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 ，且是奇函数，， ，解得，此时的定义域为， 又，所以满足题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知， 令，， 由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增， ，又对任意的，都有恒成立， ，即， 函数的对称轴方程为， ①当时，函数在上单调递增， ，， 所以，解得， 又，所以； ②当时，；， 所以，又，所以解得； ③当时，，， 所以，又，所以解得； ④当时，函数在上单调递减， ，， 所以，解得， 又，所以； 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中检测（1） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 5. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的图象关于对称 C. 的单调递增区间为和 D. 当时，的最小值为 11. 已知定义在上的函数，则（ ） A. “”是“恒成立”的充要条件 B. 当，时，的最大值为 C. 当时，若，则 D. 对，，都存在使得成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，_____． 13. 已知均为实数且，则的最小值为__________. 14. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集． （1）当时，求和； （2）若，求的取值范围． 16. 已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求关于的不等式的解集． 17. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． （1）请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； （2）求证：． 18. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； （3）对，都有，求实数的取值范围． 附：． 19. 已知函数是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $