精品解析：北京市第四十四中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试题

北京市第四十四中学2026—2027学年度第一学期期中练习 初三数学 （考试时间：120分钟，满分100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 3. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份平均月增长率为， ∴可列方程：． 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 6. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的变化范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．设，把代入求出k，即可判断A；令，求出，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D． 【详解】解：设， 把代入上式得，， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； 当时，， 故选项B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，， 故选项C不正确，符合题意； 当时，，时，， ∴时，， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．以下四个结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则是方程的解．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线对称轴为直线，由，可得另一交点，结合开口方向与二次函数的对称性逐个判断结论． 【详解】解：顶点， 对称轴：． ，由对称性，抛物线与轴另一交点为． ①抛物线开口向下，；抛物线与轴交于正半轴，， ． ②当时，，不满足． ③设顶点式，代入： ，即． ④抛物线对称轴，若点在抛物线上，则它关于的对称点横坐标满足：， 解得， 是方程的解． 综上，①③④正确． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 10. 反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，过点作轴，垂足是点N，如果，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得， 则， 而， 所以． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得，再根据点在图象上求出和，进而比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 点，都在该图象上， ，， ，， ， ， 又， ， 则． 12. 平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，则点在_________（圆上、圆内、圆外）． 【答案】圆外 【解析】 【分析】计算待判定点到圆心O的距离，将该距离与圆的半径5比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的圆心O为坐标原点，坐标为，待判定的点坐标为． ∴该点到圆心的距离． ∵圆的半径． ∴分别计算距离与半径的平方值：，． ∵． ∴． ∴该点在圆外． 13. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式，先确定抛物线开口方向与对称轴；开口向上，对称轴左侧随增大而减小，根据都在递减区间，所以对称轴要在或者的右侧． 【详解】解：抛物线解析式为， 顶点式，，抛物线开口向上， 对称轴为直线． 开口向上时，在对称轴左侧，即，随增大而减小． 当时，随增大而减小． ∴全部落在递减区间里面， 所以 ， 解得 ． 15. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，那么的解是_________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，利用抛物线的轴对称性，结合给定区间的图像位置推导抛物线与轴的交点坐标，交点横坐标即为对应一元二次方程的解． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵当时，图象位于轴下方， ∴根据抛物线的轴对称性可得，当时，图象也位于轴下方， ∵当时，图象位于轴上方， ∴是抛物线与轴的一个交点，此时函数值为0， ∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴设另一个交点的横坐标为，则， 解得，即是抛物线与轴的另一个交点，此时函数值为0， ∴方程的解为和． 16. 二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为_________． 【答案】 【答案】3 【解析】 【分析】由可得，，结合二次函数开口向上、对称轴为的性质，先确定的取值范围，再根据函数在区间上的单调性列方程求解、的值. 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵ 区间上的函数最小值为，且函数值不小于， ∴ ，即， 结合，得． ∵ ，， ∴ 区间在对称轴及其右侧，函数在该区间上随的增大而增大． ∴ 区间上的最小值为时的函数值，最大值为时的函数值． 根据最小值为， 列方程：， 展开整理得， 因式分解得， 解得（不符合，舍去），， 根据最大值为，列方程：， 展开整理得， 因式分解得， 解得（符合），（不符合，舍去）， ∴ ． 三、解答题（本大题共68分，17、18、19、25每题6分，20、21、22、23、24每题5分，26题6分，27题7分，28题6分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点经过的路径的长 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）点的坐标为 （3）的长 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． 对于，将点A，B绕点O顺时针旋转，再依次连接作图即可； 对于，由图即可判断； 对于，先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为； 【小问3详解】 解：由图可知，， ， 答：的长． 19. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标_________； （2）在左图所示的平面直角坐标系中画出图象； （3）根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为_________； ②当时，函数的最小值是，实数的取值范围是_________． 【答案】（1） （2）在平面直角坐标系中画的图象如下： （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）对二次函数解析式配方，求出顶点坐标． （2）先列表，再描点连线画出抛物线． （3）①画出直线，结合图像确定对应的取值范围．②根据顶点为最小值点，结合自变量范围，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表， 0 在坐标系中描点并作图略． 【小问3详解】 解：①如图， 当或时，的图像在的上方， 故当时，或． ②如图， 抛物线顶点是函数最低点，函数处于灰色区域部分时，其有最小值， ∵时最小值为， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 21. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度为6米 【解析】 【分析】设车道宽度为x米，根据图片可列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：设车道宽度为x米， 由图可得， 解得（舍去）， 答：车道宽度为6米． 22. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】 （1）如图： （2）圆的半径为13 cm． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 23. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 24. 在中，，．将绕点逆时针旋转得到，直线交于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）补图见解答 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意补全图形即可； （）设直线交于点，连接，过点作于点，由旋转得，，，，可得为等边三角形，即可得，，．结合等腰直角三角形的性质可得，进而可得，从而可得．在中，可得，在中，可得，则，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意画图如下： 【小问2详解】 解：设直线交于点，连接，过点作于点， 由旋转得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转图形的作法及性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意正确画出图形是解题的关键． 25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； 【小问2详解】 解：设， 把代入中得， 解得， ∴满足条件的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】（1）直线. （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）把抛物线化成顶点式，解答即可； （2）根据点，在抛物线上，且，把坐标代入解析式，借助函数值关系建立不等式，解答即可； （3）根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点，继而得到，根据抛物线与线段始终有两个公共点利用分类思想，二次函数的性质，从特殊点入手，解答即可． 【小问1详解】 解：由抛物线， 故， 故抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得点，在抛物线上，且， 故， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点， 故点， 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与的另一个交点为，且， 满足抛物线与线段始终有两个公共点； 根据抛物线的性质，得到的值越大，抛物线的开口越小， 故此时； 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段始终有两个公共点； 此时有； 综上所述，符合题意的的取值范围是或． 27. 在中，是内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 （1）如图1，当点与点重合时，求证： （2）如图2，当点在的内部时，的延长线与交于点，取中点，连接，连接，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到，点与点重合， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：， 如图，延长至点，使得，连接， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，结合等腰三角形内角性质求出，推出AD平分，再根据等腰三角形三线合一证明． （2）采用倍长中线法，延长DP至G使，先证，得到、；再利用四边形内角和与等角代换证明，证得，得到；最后由等腰三线合一，得到，得出AP、PD、AD满足勾股关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形，点为图形上任意一点，点为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的转后距．已知点，点，点． （1）当时，记线段为图形． ①若点为图形，则转后距为_________； ②若线段为图形，求转后距； （2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，转后距大于，直接写出的取值范围、 【答案】（1）①；②； （2） 或 ． 【解析】 【分析】（1）①先求出点绕原点逆时针旋转后的坐标，得到线段，图形就是线段；再求与点之间距离，得到转后距． ②先求旋转后坐标，算出线段的长度，利用面积法求原点到线段的垂线段长度，该垂线段长就是转后距． （2）线段绕原点旋转，扫出区域是以原点为圆心、、为半径的圆环的一部分；对任意旋转角，转后距恒大于等价于线段上所有点到这个旋转区域的最小距离大于，据此列不等式求出范围． 【小问1详解】 解：①如图，令点绕点逆时针旋转得点，连接，， ， ， 点绕原点逆时针旋转，， ， ， ， 由图可得线段上的点到的最小距离为， “转后距”为； ②如图，连接，过点作于，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， “转后距”为； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ， ， ∴线段旋转形成的区域：到原点距离在之间． 要求线段上所有点到该区域距离恒大于， 由图可得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第四十四中学2026—2027学年度第一学期期中练习 初三数学 （考试时间：120分钟，满分100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 6. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的变化范围是 7. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．以下四个结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则是方程的解．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为_________． 10. 反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，过点作轴，垂足是点N，如果，则k的值为 _______． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 12. 平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，则点在_________（圆上、圆内、圆外）． 13. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 15. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，那么的解是_________． 16. 二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为_________． 三、解答题（本大题共68分，17、18、19、25每题6分，20、21、22、23、24每题5分，26题6分，27题7分，28题6分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点经过的路径的长 19. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标_________； （2）在左图所示的平面直角坐标系中画出图象； （3）根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为_________； ②当时，函数的最小值是，实数的取值范围是_________． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 22. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 23. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 24. 在中，，．将绕点逆时针旋转得到，直线交于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 27. 在中，是内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 （1）如图1，当点与点重合时，求证： （2）如图2，当点在的内部时，的延长线与交于点，取中点，连接，连接，请写出，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形，点为图形上任意一点，点为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的转后距．已知点，点，点． （1）当时，记线段为图形． ①若点为图形，则转后距为_________； ②若线段为图形，求转后距； （2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，转后距大于，直接写出的取值范围、 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $