精品解析：甘肃兰州市第五十八中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

兰州五十八中 2026—2027 学年第一学期期中考试试题 高一　数学 本试卷共 2 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷、草稿纸上无效. 3.非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色字迹签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸或答题卡非答题区域均无效. 一、单选题（40 分　共八题　每题 5 分） 1. 命题：“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题：“”的否定是， 故选项正确． 2. 设函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 4. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 即，所以，当且仅当时，等号成立． 因此的最大值为. 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出图中阴影部分表示的集合，从而得到真子集的个数 【详解】，，， 图中阴影部分表示的集合为， 其中， 故， 故阴影部分表示的集合的真子集的个数为. 6. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的符号以及与的等量关系，再代入所求不等式化简求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 8. 若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或， 由，得，则，解得， 由，得或，则或， 解得或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 二、多选题（18 分　共三题　每题 6 分） 9. 对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“ ”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】当，时，满足，但，所以由“”推不出“”， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 若“”，则一定有“”， 所以“”是“”的必要条件，故B正确； 当，，时，满足，但， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； ，所以“”是“ ”的充要条件，故D正确． 10. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】因为，所以N的元素只能是U中的元素，结合根与系数的关系，求出所有满足条件的a的可能值，确定所有可能的集合N，对每个可能的N，分别计算、、，再逐一验证选项是否成立即可. 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得，解得， 若，将代入方程得，解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：，若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C：若，则，只有一个元素； 若，则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，，所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D错误. 11. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的图象可知，，，从而可判断A；根据二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，可得，，从而可判断B,C；利用基本不等式并验证取等条件即可判断D. 【详解】由图可知，抛物线开口向上，且交于轴正半轴，则，， 因为对称轴在轴右侧，则，所以， 所以，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，则， 又，则， 所以，故C正确； 因为，则，当且仅当时等号成立， 但二次函数的图象与x轴交于两点，，其中， 则对称轴为，则，则等号无法取到，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（15 分　共三题　每题 5 分） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由根号下的非负性与分母不为零的限制即可求解. 【详解】由题意得即， 且即，解得或， 综上，所以函数的定义域为. 13. 已知，，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 14. 已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可． 【详解】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 四、解答题（77 分） 15. 求下列函数的值域. （1）， （2）， （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）分别代入的值，求函数的值域；（2）首先判断函数的对称轴和开口，再求函数的值域；（3）首先换元，转化为关于的二次函数求值域. 【详解】（1），，， 所以函数的值域是； （2），， 函数对称轴是，开口向下，所以函数的最大值是，函数的最小值是， 所以函数的值域是； （3）设，， 所以， 所以函数的值域是 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）证明：设， 则， 因为，， 所以，即在上单调递减， 又，，故值域为. 【解析】 【分析】（1）根据换元法计算求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域. 【小问1详解】 由，令，则， 则有，即； 【小问2详解】 略 17. 已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． （1）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）根据充要条件关系判断集合相等，根据方程的根和集合相等的概念，列出方程求出参数值； （2）根据必要不充分条件的关系判断集合的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【小问1详解】 存在满足条件的． 因为“”是“”的充要条件，所以， 可知方程的两个不同的实数根为， 所以，解得． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集． 则必须满足，解得， 即的取值集合为． 18. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式 【答案】（1）1 （2）因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【小问1详解】 由，令，得，得， 令，得，解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式； （2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况； （3）分离参数，可得，结合基本不等式可得参数范围. 【小问1详解】 由已知不等式，即的解集为， 当，即时，不等式为，解集为，不成立； 当时，有，解得， 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即，即， 当，即时，不等式为，解集为； 当，不等式对应方程为，， 当时，，不等式解集为； 当时，，对应方程的两根为，， 不等式解集为； 当时，不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 不等式，对恒成立； 可转化为，对恒成立， 因为，所以， 设，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十八中 2026—2027 学年第一学期期中考试试题 高一　数学 本试卷共 2 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷、草稿纸上无效. 3.非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色字迹签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸或答题卡非答题区域均无效. 一、单选题（40 分　共八题　每题 5 分） 1. 命题：“”的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 设函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 6. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（18 分　共三题　每题 6 分） 9. 对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“ ”的充要条件 10. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 11. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（15 分　共三题　每题 5 分） 12. 函数的定义域为______． 13. 已知，，若，则的取值范围为_______． 14. 已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（77 分） 15. 求下列函数的值域. （1）， （2）， （3） 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 17. 已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． （1）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 18. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $